Câu 19 trang 40 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Có thể có tam giác nào mà độ dài ba cạnh như sau không: a) 5cm; 10cm; 12cm? b) 1m; 2m; 3,3m? c) 1,2m; 1m; 2,2m? Giải a) 5 + 10 > 12; 5 + 12 > 10; 10 + 12 > 5 Vậy có tam giác mà ba cạnh của nó là 5cm; 10cm; 12cm. b) 1 + 2 < 3,3 Không có tam giác mà ba cạnh của nó là 1m; 2m; và 3,3 m vì tổng hai cạnh bé hơn một cạnh. c) 1,2 + 1 = 2,2 Không có tam giác mà ba cạnh của nó là: 1,2m; 1m; 2,2m vì tổng hai cạnh bằng một cạnh. Câu 20 trang 40 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC có AB = 4cm; AC = 1cm. Hãy tìm độ dài cạnh BC biết rằng dộ dài này là một số nguyên (cm). Giải Theo bất đẳng thức tam giác và hệ quả ta có: AB – AC < BC < AB + AC \( \Rightarrow \) 4 – 1 < BC < 4 + 1 \( \Rightarrow \) 2 < BC < 5 Vì độ dài cạnh BC là một số nguyên nên BC = 4cm. Câu 21 trang 40 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình dưới. Chứng minh rằng MA + MB < IA + IB < CA + CB Giải Trong ∆AMI ta có: MA < MI + IA (bất đẳng thức tam giác) Cộng vào 2 vế với MB ta có: MA + MB < MI + IA + MB \( \Rightarrow \) MA + MB < IB + IA (1) Trong ∆BIC ta có: IB < IC + CB (bất đẳng thức tam giác) Cộng vài 2 vế với IA ta có: IB + IA < IC + CB + IA \( \Rightarrow \) IB + IA < CA + CB (2) Từ (1) và (2) suy ra: MA + MB < IB + IA < CA + CB Câu 22 trang 40 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Tính chu vi của một tam giác cân có hai cạnh bằng 4m và 9m. Giải Cạnh 4m không thể là cạnh bên vì nếu cạnh bên là 4m Ta có: 4 + 4 < 9 trái bất đẳng thức tam giác Vậy cạnh 4m là cạnh đáy nên cạnh bên là 9m Ta có chu vi của tam giác đó là 4 + 9 + 9 = 22 m. Câu 23 trang 40 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC trong đó BC là cạnh lớn nhất. a) Vì sao các góc B và C không thể là góc vuông hoặc góc tù? b) Gọi AH là đường vuông góc kẻ từ A đến BC. So sánh AB + AC với BH + CH rồi chứng minh rằng AB + AC > BC. Giải a) Giả sử \(\widehat B \ge 90^\circ\) => AC > BC (Trong một tam giác cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù là cạnh lớn nhất) Trái giả thiết cạnh BC là cạnh lớn nhất Giả sử \(\widehat C \ge 90^\circ \) => AB > BC (Trong một tam giác cạnh đối diện với góc vuông hoặc góc tù là cạnh lớn nhất) Trái với giả thiết BC là cạnh lớn nhất Vậy \(\widehat B,\widehat C\) là các góc nhọn. b) Ta có điểm H nằm giữa B và C => BH + HC = BC (1) Ta có: AB > BH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc) AC > CH (đường xiên lớn hơn đường vuông góc) Cộng từng vế ta có : B + AC > BH + CH (2) Từ (1) và (2) suy ra: AB + AC > BC Câu 24 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm điểm C thuộc đường thẳng d sao cho tổng AC + CB là nhỏ nhất. Giải Gọi C là giao điểm của đoạn thẳng AB với đường thẳng d. Vì C nằm giữa A và B nên AC + CB = AB (1) Lấy điểm C’ bất kỳ trên d (C’ # C) Nối AC’, BC’. Trong ∆ABC’ ta có: AC’ + BC’ > AB (bất đẳng thức tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: AC’ + C’B > AC + CB Vậy C là điểm cần tìm. Câu 25 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Ba thành phố A, B C trên bản đồ là ba đỉnh của một tam giác, trong đó AC = 30km, AB = 70km a) Nếu đặt ở C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 40km thì thành phố B có nhận được tín hiệu không? Vì sao? b) Cũng hỏi như trên với máy phát sóng có bán kính hoạt động bằng 100km. Giải Để giải quyết câu hỏi của bài toán ta cần xét khoảng cách BC. Trong ∆ABC theo bất đẳng thức của tam giác và hệ quả ta có: AB – AC < BC < AB + AC Thay giá trị: AB = 70km, AC = 30km \( \Rightarrow \) 70 – 30 < BC < 70 + 30 => 40 < BC < 100 a) Nếu máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 40km thì ở B không nhận được tín hiệu vì BC > 40. b) Nếu máy phát sóng để ở C có bán kính hoạt động bằng 100km thì ở B nhận được tín hiệu vì BC < 100. Câu 26 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC, điểm D nằm giữa B và C. Chứng minh rằng AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC. Giải Trong ∆ABD ta có: AD < AB + BD (bất đẳng thức tam giác) (1) Trong ∆ADC ta có: AD < AC + DC (bất đẳng thức tam giác) (2) Cộng từng vế (1) và (2): \(\eqalign{ & 2{\rm{AD}} < AB + B{\rm{D}} + AC + DC \cr & \Rightarrow 2AD < AB + AC + BC \cr & \Rightarrow A{\rm{D}} < {{AB + AC + BC} \over 2} \cr} \) Câu 27 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho điểm M nằm trong tam giác ABC. Chứng minh rằng tổng MA + MB + MC lớn hơn nửa chu vi tam giác ABC. Giải Trong ∆AMB ta có: MA + MB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1) Trong ∆AMC ta có: MA + MC > AC (bất đẳng thức tam giác) (2) Trong ∆BMC ta có: MB + MC > BC (bất đẳng thức tam giác) (3) Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta có: 2(MA + MB + MC) > AB + AC + BC Suy ra: \(MA + MB + MC > {{AB + AC + BC} \over 2}\) Câu 28 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Tính chu vi của một tam giác cân biết độ dài hai cạnh của nó bằng 3dm và 5dm. Giải Vì tam giác cân hai cạnh bên bằng nhau. Trong hai số đo 3dm và 5dm có một số đo độ dài cạnh bên và một số đo độ dài cạnh đáy. Nếu 3dm độ dài cạnh bên ta có: 3 + 3 > 5: tồn tại tam giác Chu vi tam giác cân là: 3 + 3 + 5 = 11 (dm) Nếu 5dm độ dài cạnh bên ta có: 5 + 5 > 3: tồn tại tam giác Chu vi tam giác cân là: 5 + 5 + 3 = 13 (dm). Câu 29 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Độ dài hai cạnh của một tam giác bằng 7cm và 2cm. Tính độ dài cạnh còn lại biết rằng số đo của nó theo xentimét là một số tự nhiên lẻ. Giải Giả sử ∆ ABC có AB = 7cm, AC = 2cm. Theo định lý và hệ quả về quan hệ giữa các cạnh trong một tam giác ta có: AB – AC < BC < AB + AC => 7 – 2 < BC < 7 + 2 => 5 < BC < 9 Vì số đo cạnh BC là một số tự nhiên lẻ nên BC = 7(cm) Câu 30 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \(AM < {{AB + AC} \over 2}\) Giải Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD Xét ∆AMB và ∆DMC: MA = MD (theo cách vẽ) \(\widehat {AMB} = \widehat {DMC}\) (đối đỉnh) MB = MC (gt) Do đó: ∆AMB = ∆DMC (c.g.c) \( \Rightarrow \) AB = BC (hai cạnh tương ứng) Trong ∆ACD ta có: AD < AC + CD (bất đẳng thức tam giác) Mà AD = AM + MD = 2AM CD = AB \(2{\rm{A}}M < AC + AB \Rightarrow AM < {{AB + AC} \over 2}\) Câu 3.1 trang 41Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Bộ ba nào sau đây không thể là số đo ba cạnh của một tam giác? (A) 1cm, 2m, 2,5cm (B) 3cm; 4cm ; 6cm; (C) 6cm, 7cm, 13cm (D) 6cm, 7cm, 12cm Giải Bộ ba không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác là 6cm, 7cm, 13cm. Chọn (C) 6cm, 7cm, 13cm. Câu 3.2 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Độ dài hai cạnh của một tam giác là 2cm và 10cm. Trong các số đo sau đây, số đo nào là độ dài cạnh thứ ba của tam giác đó? (A) 6cm (B) 7cm; (C) 8cm ; (D) 9cm. Giải Chọn đáp án (D) 9cm. Câu 3.3 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Có hay không tam giác với độ dài các cạnh là a) 1m ; 2m và 3m? b) 1,2dm ; 1dm và 2,4dm? Giải a) Không có, vì 1 + 2 không lớn hơn 3. b) Không có, vì 1,2 + 1 không lớn hơn 2,4. Câu 3.4 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Hãy tìm cạnh của tam giác cân, nếu hai cạnh của nó bằng a) 7cm và 3cm ; b) 8cm và 2cm ; c) 10cm và 5cm; Giải a) Vì 3 + 3 < 7 nên tam giác cân đó có cạnh bên bằng 7cm và cạnh đáy bằng 3cm b) Cạnh bên bằng 8cm và cạnh đáy bằng 2cm. c) Cạnh bên bằng 10cm và cạnh đáy bằng 5cm. Câu 3.5 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Chứng minh rằng trong một đường tròn, đường kính là dây lớn nhất. Giải Giả sử CD là một dây của đường tròn bán kính R và AB là một đường kính của nó. Ta có: - Nếu C, O, D không thẳng hàng thì trong tam giác COD có CD < OC + OD = 2R = AB. - Nếu C, O, D thằng hàng thì CD = OC + OD = 2R = AB Vậy trong mọi trường hợp ta luôn có đường kính là dây lớn nhất. Câu 3.6 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Chứng minh “Bất đẳng thức tam giác mở rộng ”: Với ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có AB + AC ≥ BC Giải - Nếu A, B, C không thẳng hàng thì trong tam giác ABC ta có AB + AC > BC - Nếu A, B, C thẳng hàng và A ở giữa B và C hoặc trùng B, C thì AB + AC = BC Vậy với ba điểm A, B, C bất kỳ ta luôn có AB + AC ≥ BC Câu 3.7 trang 41 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho đường thẳng d và hai điểm A, B nằm cùng một phía của d và AB không song song với d. Một điểm M di động trên d. Tìm vị trí của M sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) là lớn nhất Giải Vì AB không song song với d nên AB cắt d tại N. Với điểm M bất kỳ thuộc d mà M không trùng với N thì ta có tam giác MAB. Do đó \(\left| {MA - MB} \right| < AB\) Khi M ≡ N thì \(\left| {MA - MB} \right| = AB\) Vậy \(\left| {MA - MB} \right|\) lớn nhất là bằng AB, khi đó M ≡ N là giao điểm của hai đường thẳng d và AB.
