Câu 45 trang 46 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, gọi I là giao điểm các đường phân giác của tam giác. Chứng minh rằng ba điểm A, G, I thẳng hàng. Giải Kẻ đường phân giác của \(\widehat A\) và \(\widehat C\) cắt nhau tại I, AI cắt BC tại M. ∆ABC cân tại A. Đường phân giác AM cũng là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) G là trọng tâm của ∆ABC \( \Rightarrow \) G ∈ AM Vậy A, I, G thẳng hàng. Câu 46 trang 46 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC. Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đoạn thẳng AB, BC, CA là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất. Giải Nếu O là điểm nằm trong ∆ABC Kẻ \(OH \bot AB,OK \bot BC,OI \bot {\rm{A}}C\) Vì điểm O cách đều các đường thẳng AB, BC, CA. \( \Rightarrow \) OH = OK = OI OH = OK \( \Rightarrow \) O nằm trên tia phân giác \(\widehat {ABC}\) OI = OK \( \Rightarrow \) O nằm trên tia phân giác \(\widehat {ACB}\) Vậy O là giao điểm các đường phân giác của ∆ABC. Nếu O’ nằm ngoài ∆ABC Kẻ \(O'D \bot AB,O'E \bot BC,O'F \bot {\rm{AC}}\) \( \Rightarrow \) O'D = O'E = O'F O'D = O'F \( \Rightarrow \) O nằm trên tia phân giác \(\widehat {BAC}\) O’D = O’E \( \Rightarrow \) O’ nằm trên tia phân giác \(\widehat {DBC}\) \( \Rightarrow \) O’ là giao điểm phân giác trong của \(\widehat {BAC}\) và phân giác ngoài tại đỉnh D. nên A, O, O’ thẳng; A, H, D thẳng hàng. Ta có: OH < O’D Vậy O là giao điểm các đường phân giác trong của ∆ABC cách đều ba đường thẳng AB, BC, CA và ngắn nhất. Câu 47 trang 46 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân. Giải Kẻ \(MH \bot AB,MK \bot {\rm{A}}C\) AM là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) \( \Rightarrow \) MH = MK (tính chất tia phân giác) Xét hai tam giác vuông MHB và MKC: \(\widehat {MHB} = \widehat {MKC} = 90^\circ \) MH = MK (chứng minh trên) MB = MC (gt) Do đó: ∆MHB = ∆MKC (cạnh huyền, cạnh góc vuông) \( \Rightarrow \widehat B = \widehat C\) Vậy ∆ABC cân tại A. Câu 48 trang 46 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng AK đi qua trọng điểm của BC. Giải Các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại K nên AK là đường phân giác của góc A. Gọi M là trung điểm của BC. Trong tam giác cân đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy. Vậy AK đi qua trung điểm M của BC. Câu 49 trang 46 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh rằng DE = DF. Giải ∆ABC cân tại A. DB = DC (gt) Nên đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác của góc BAC. \(\eqalign{ & DE \bot AB\left( {gt} \right) \cr & DF \bot {\rm{A}}C\left( {gt} \right) \cr} \) Suy ra: DE = DF (tính chất đường phân giác của góc). Câu 50 trang 46 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC có Â = 70°, các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính \(\widehat {BIC}\). Giải Trong ∆ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) \( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \ \(\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\) (vì BD là tia phân giác) \(\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\) (vì CE là tia phân giác) Trong ∆BIC ta có: \(\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác) \(\Rightarrow \widehat {BIC} = 180 - (\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}})\) \(\widehat {BIC} = 180^\circ - {1 \over 2}(\widehat B + \widehat C) = 180^\circ - {1 \over 2}.110^\circ = 125^\circ \) Câu 51 trang 46 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Tính góc A của tam giác ABC biết rằng các đường phân giác BD, CB cắt nhau tại I trong đó góc BIG bằng: a) 120° b) ∝(∝ > 90°) Giải Trong ∆BIC ta có: \(\widehat {BIC} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ \) (tổng 3 góc trong tam giác) \(\Rightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = 180^\circ - \widehat {BIC} = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) \(\widehat {{B_1}} = {1 \over 2}\widehat B\) (Vì BD là tia phân giác) \(\widehat {{C_1}} = {1 \over 2}\widehat C\) (Vì CE là tia phân giác) \( \Rightarrow \widehat B + \widehat C = 2\left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}} \right) = 2.60^\circ = 120^\circ \) Trong ∆ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác) \( \Rightarrow \widehat A = 180^\circ - (\widehat B + \widehat C) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \) Câu 52 trang 46 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC. Các tia phân giác các góc A và C cắt nhau ở I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt nhau ở K. Chứng minh rằng ba điểm B, I, K thẳng hàng. Giải Kẻ \(IH \bot AB,IJ \bot BC,IG \bot AC\), \(KD \bot AB,KE \bot AC,KF \bot BC\) I nằm trên tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) \( \Rightarrow \) IH = IG (tính chất tia phân giác) I nằm trên tia phân giác của \(\widehat {BCA}\) \( \Rightarrow \) IG = IJ (tính chất tia phân giác) Suy ra: IH = IJ Nên I nằm trên tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (1) K nằm trên tia phân giác của \(\widehat {DAC}\) \( \Rightarrow \) KD = KE (tính chất tia phân giác) K nằm trên tia phân giác của \(\widehat {ACF}\) \( \Rightarrow \) KE = KF (tính chất tia phân giác) Suy ra: KD = KF => K nằm trên tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: B, I, K thẳng hàng Câu 53 trang 46 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC. a) Chứng minh rằng AD = AE. b) Tính các dộ dài AD, AE biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm. Giải a) I là giao điểm phân giác trong của \(\widehat B\) và \(\widehat C\) nên AI là tia phân giác của Â. \( \Rightarrow \) ID = IE (tính chất tia phân giác) (1) ∆ADI vuông tại D có \(\widehat {DAI} = 45^\circ \) Nên ∆ADI vuông cân tại D. \( \Rightarrow \) ID = DA (2) ∆AEI vuông tại E có \(\widehat {E{\rm{A}}I} = 45^\circ \) Nên ∆ AEI vuông cân tại E \( \Rightarrow \) IE = AE (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: AD = AE b) Trong tam giác vuông ABC có Â=90° Theo định lý Pitago ta có: \(\eqalign{ & B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \cr & B{C^2} = {6^2} + {8^2} = 36 + 64 = 100 \cr} \) \( \Rightarrow \) BC = 10 (cm) Kẻ \(IF \bot BC\) Xét hai tam giác vuông IDB và IFB: \(\eqalign{ & \widehat {IDB} = \widehat {IFB} = 90^\circ \cr & \widehat {DBI} = \widehat {FBI}\left( {gt} \right) \cr} \) Cạnh huyền BI chung Do đó: ∆IDB = ∆IFB (cạnh huyền, góc nhọn) \( \Rightarrow \) DB = FB (4) Xét hai tam giác vuông IEC và IFC: \(\eqalign{ & \widehat {IEC} = \widehat {IFC} = 90^\circ \cr & \widehat {ECI} = \widehat {FCI}\left( {gt} \right) \cr} \) Cạnh huyền CI chung Do đó: ∆IEC = ∆IFC (cạnh huyền, góc nhọn) \( \Rightarrow \) CE = CF (5) AD + AE = AB – DB + AC – CE \( \Rightarrow \) AD + AE = AB + AC – (DB + CF) (6) Từ (4), (5) và (6) suy ra: AD + AE = AB + AC – (FB + FC) = AB + AC – BC AD + AE = 6 + 8 – 10 = 4 (cm) Mà AD = AE (chứng minh trên) \( \Rightarrow \) AD = AE = 4: 2 = 2 (cm) Câu 6.1 trang 47Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC. Trên tia phân giác của góc B, lấy điểm O nằm trong tam giác ABC sao cho O cách đều hai cạnh AB, AC. Khẳng định nào sau đây sai? (A) Điểm O nằm trên tia phân giác của góc A. (B) Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C. (C) Điểm O cách đều AB, BC. (D) Điểm O cách đều AB, AC, BC. Giải Điểm O cách đều AB, AC nên O thuộc tia phân giác của góc A. Mặt khác, O thuộc tia phân giác của góc B nên O là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC. Vậy (B) sai còn (A), (C), (D) đúng. Đáp số: (B) Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C. Câu 6.2 trang 47Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC có \(\widehat A = \widehat B + \widehat C\). Hai đường phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Khi đó BOC bằng: (A) 85° ; (B) 90° ; (C) 135° ; (D) 150° Giải Tam giác ABC có \(\widehat A = \widehat B + \widehat C\) vuông tại A ; AO, CO lần lượt là tia phân giác của \(\widehat A\) và \(\widehat C\) nên BO là tia phân giác của \(\widehat B\). Ta có \(\widehat {OBC} + \widehat {COB} = {1 \over 2}\left( {\widehat B + \widehat C} \right) = 45^\circ \) nên \(\widehat {BOC} = 135^\circ \) Chọn (C) 135°. Câu 6.3 trang 47 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng EF = BE + CF. Giải Vì điểm I cách đều ba cạnh của tam giác ABC và nằm trong tam giác nên I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC, tức là BI, CI lần lượt là tia phân giác của góc N và góc C. Do EF // BC nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{I_1}}\)(so le trong), suy ra \(\widehat {{I_2}} = \widehat {{B_2}}\). Vậy tam giác EBI cân tại E, tức là EI = EB. Tương tự ta có FI = FC Vậy EF = EI + IF = BE = CF. Câu 6.4 trang 47 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Hai đường phân giác \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) và \(B{B_1}\) của tam giác ABC cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc ACM, BCM nếu \({\rm{a}})\widehat {AMB} = 136^\circ \) \(b)\widehat {AMB = }111^\circ \) Giải Do ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm nên CM là tia phân giác của góc C. a) \({1 \over 2}\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = \widehat {MAB} + \widehat {MBA} = 180 - \widehat {AMB}\) \( = 180^\circ - 136^\circ = 44^\circ \) Suy ra \(\widehat A + \widehat B = 2.44^\circ = 88^\circ \) \(\widehat C = 180^\circ - 88^\circ = 92^\circ \) Vậy \(\widehat {ACM} = \widehat {BCM} = 92^\circ :2^\circ = 46^\circ \) b) Ta có \({1 \over 2}\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = 180^\circ - 111^\circ = 69^\circ \). Suy ra \(\widehat A + \widehat B = 138^\circ \) Suy ra \(\widehat C = 180^\circ - 138^\circ = 42^\circ \). Vậy \(\widehat {ACM} = \widehat {BCM} = 21^\circ \).
