Câu 64 trang 49 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC. Tìm một điểm O cách đều ba điểm A, B, C. Giải Điểm O cách đều hai điểm A và B \( \Rightarrow \) O thuộc đường trung trực của AB. Điểm O cách đều hai điểm A và C \( \Rightarrow \) O thuộc đường trung trực AC. Điểm O cách đều hai điểm B và C \( \Rightarrow \) O thuộc đường trung trực của BC. Trong tam giác ba đường trung trực đồng quy tại một điểm, ta dựng đường trung trực AB và BC cắt nhau tại O. Điểm O điểm cần tìm. Câu 65 trang 49 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình bên. Chứng minh rằng ba điểm B, K, C thẳng hàng. Giải Nối KA, KB, KC. Ta có KD là đường trung trực của AB \( \Rightarrow \) KA = KB (tính chất đường trung trực) \( \Rightarrow \) ∆KAB cân tại K nên KD là đường phân giác của \(\widehat {AKB}\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {{K_1}} = \widehat {{K_3}}\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {AKB} = 2\widehat {{K_1}}\) (1) KE là đường trung trực của AC \( \Rightarrow \) KA = KC (tính chất đường trung trực) \( \Rightarrow \) ∆KAC cân tại K nên KE là đường phân giác của \(\widehat {AKC}\) \( \Rightarrow \) \(\widehat {{K_2}} = \widehat {{K_4}}\) \( \Rightarrow \widehat {AKC} = 2\widehat {{K_2}}\left( 2 \right)\) \(\eqalign{ & K{\rm{D}} \bot AB\left( {gt} \right) \cr & AC \bot AB\left( {gt} \right) \cr} \) Câu 66 trang 49 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Dựa vào kết quả của bài 65, chứng minh rằng: a) Các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm của cạnh huyền. b) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng một nửa cạnh huyền. Giải a) Kẻ đường trung trực AC cắt BC tại K. Nối AK. =>AK = KC (tính chất đường trung trực) =>∆KAC cân tại K \( \Rightarrow \widehat {K{\rm{A}}C} = \widehat C\) (1) \(\widehat C + \widehat B = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2) \(\widehat {K{\rm{A}}C} + \widehat {K{\rm{A}}B} = \widehat {BAC} = 90^\circ \) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {K{\rm{A}}B} = \widehat B\) ð ∆KAB cân tại K ð KA = KB Nên K thuộc đường trung trực của AB Suy ra K là giao điểm ba đường trung trực của ∆ABC Suy ra: KB = KC = KA =>K là trung điểm của BC Vậy các đường trung trực của tam giác vuông đi qua trung điểm cạnh huyền. b) Giả sử ∆ABC có Â = 90°. M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA Xét ∆AMC và ∆BMD: BM = CM (gt) \(\widehat {AMC} = \widehat {BM{\rm{D}}}\) (đối đỉnh) MA = MD (theo cách vẽ) Do đó: ∆AMC = ∆BMD (c.c.c) \( \Rightarrow \widehat {MAC} = \widehat D\) Suy ra: BD // AC (vì có cặp góc so le trong bằng nhau) \({\rm{AC}} \bot {\rm{AB}}\) (gt) Suy ra: \(B{\rm{D}} \bot AB\) hay \(\widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \) Xét ∆ABC và ∆BAD: \(\widehat {BAC} = \widehat {AB{\rm{D}}} = 90^\circ \) AB cạnh chung BD = AC (Vì ∆AMC = ∆MBD) Do đó: ∆ABC = ∆BAD (c.g.c) =>AD = BC \(AM = M{\rm{D}} = {1 \over 2}A{\rm{D}}\) \( \Rightarrow AM = {1 \over 2}BC\) Vậy trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. Câu 67 trang 50 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gẫy (hình bên). Hãy nêu cách xác định tâm của đường viền. Giải Gọi A, B, C là ba điểm trên đường viền. Kẻ các đường trung trực của AB và BC, chúng cắt nhau tại O. Điểm O cách đều ba điểm A, B, C nên là tâm của đường tròn. Câu 68 trang 50 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AC cắt đường thẳng AM ở D. Chứng minh rằng DA = DB. Giải ∆ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy BC nên AM cũng là đường trung trực của BC. D là giao điểm của các đường trung trực AC và BC nên D thuộc trung trực của AB. Vậy DA = DB (tính chất đường trung trực). Câu 69 trang 50 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC có Â là góc tù. Các đường trung trực của AB và của AC cắt nhau ở O và cắt BC theo thứ tự ở D và E. a) Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì? b) Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trong hình vẽ? Giải a) D thuộc đường trung trực của AB nên DA = DB (tính chất đường trung trực) Vậy ∆ADB cân tại D. E thuộc đường trung trực của AC nên AE = EC (tính chất đường trung trực) Vậy ∆AEC cân tại A. b)Vì O là giao điểm ba đường trung trực của ∆ABC nên: OA = OB = OC Vậy (O;OA) đi qua ba điểm A, B, C. Câu 8.1 trang 50 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác cân (không đều) ABC có AB = AC. Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O. Khi đó khẳng định nào sau đây là đúng? \(\left( A \right)OA > OB\) \(\left( B \right)\widehat {AOB} > \widehat {AOC}\) \(\left( C \right)AO \bot BC\) (D)O cách đều ba cạnh của tam giác ABC Giải Vì O thuộc đường trung trực của cạnh AB nên OA = OB. Vì ba đường trung trực của một tam giác đồng quy nên OA là đường trung trực của BC, do đó \(AO \bot BC\). Vì tam giác ABC cân tại A nên đường trung trực AO đồng thời là đường phân giác của góc A, do đó ∆AOB = ∆AOC, suy ra \(\widehat {AOB} = \widehat {AOC}\). Do đó tam giác ABC cân tại A nhưng không là tam giác đều nên O không là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC. Vậy O không cách đều ba cạnh của tam giác ABC. Đáp số \(\left( C \right)AO \bot BC\). Câu 8.2 trang 50 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của ba cạnh AB, AC, BC. Gọi O là giao điểm của ba đường phân giác. Khi đó, tâm đường trong ngoại tiếp tam giác ABC là điểm: (A) O (B) P; (C) Q; (D) R. Hãy chọn phương án đúng. Giải Chọn đáp án (D) R. Câu 8.3 trang 50 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC có Â = 100°. Các đường trung trực của AB và AC lần lượt cắt BC ở E và F. Tính \(\widehat {{\rm{EAF}}}\). Giải Vì E thuộc đường trung trực của đoạn thẳng AB nên EA = EB, hay tam giác EAB cân tại đỉnh E. Suy ra \(\widehat B = \widehat {{A_1}}\). Tương tự, có \(\widehat C = \widehat {{A_2}}\). Ta có: $$\widehat {{\rm{EAF}}} = \widehat A - \left( {\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}}} \right) = \widehat A - \left( {\widehat B + \widehat C} \right)$$ Mặt khác $$\widehat B + \widehat C = 180^\circ - \widehat A = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ $$ Do đó \(\widehat {{\rm{EAF}}} = 100^\circ - 80^\circ = 20^\circ \) Câu 8.4 trang 50 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC có góc A là góc tù. Các đường trung trực của AB; AC cắt nhau tại O và lần lượt cắt BC tại M, N. Chứng minh rằng AO là tia phân giác của góc MAN. Giải Theo bài 8.3 ta đã có \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}},\widehat {{A_2}} = \widehat {{C_1}}\) (1) Ta có O là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC nên OA = OB = OC, hay các tam giác OAB, OAC, OBC cân tại O. Suy ra \(\widehat {OAB} = \widehat {OBA},\)\(\widehat {OAC} = \widehat {OC{\rm{A}}}\), \(\widehat {OBC} = \widehat {OCB}\). Kết hợp với (1) \(\widehat {OBM} = \widehat {OAM},\widehat {OCN} = \widehat {OAN}\) hay \(\widehat {OAM} = \widehat {OBC} = \widehat {OCB} = \widehat {OAN}\). Vậy OA là tia phân giác góc MAN.
