Câu 70 trang 50 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC vuông tại B. Điểm nào là trực tâm của tam giác đó? Giải ∆ABC vuông tại B => \(AB \bot BC\) nên AB là đường cao từ đỉnh A. \( \Rightarrow CB \bot AB\) nên CB là đường cao kẻ từ đỉnh C. B là giao điểm của 2 đường cao AB và CB. Vậy B là trực tâm của ∆ABC. Câu 71 trang 50 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình bên. a) Chứng minh rằng: \(CI \bot AB.\) b) Cho \(\widehat {ACB} = 40^\circ \). Tính \(\widehat {BI{\rm{D}}},\widehat {DIE}\) Giải a) Trong ∆ABC ta có hai đường cao AD và BE cắt nhau tại I nên I là trực tâm của ∆ABC \( \Rightarrow \) CI là đường cao thứ ba Vậy \(CI \bot AB\) b) Trong tam giác vuông BEC có \(\widehat {BEC} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {EBC} + \widehat C = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) \( \Rightarrow \widehat {EBC} = 90^\circ - \widehat C = 90^\circ - 40^\circ = 50^\circ \) hay \(\widehat {IB{\rm{D}}} = 50^\circ \) Trong tam giác IDB có \(\widehat {I{\rm{DB}}} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat {IB{\rm{D}}} + \widehat {BI{\rm{D}}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) \( \Rightarrow \widehat {BI{\rm{D}}} = 90^\circ - \widehat {IB{\rm{D}}} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ \) \(\widehat {BI{\rm{D}}} + \widehat {DIE} = 180^\circ \) (2 góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {DIE} = 180^\circ - \widehat {BI{\rm{D}}} = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ \) Câu 72 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho H là trực tâm của tam giác ABC không vuông. Tìm trực tâm của các tam giác HAB, HAC, HBC. Giải Trong ∆ABC ta có H là trực tâm nên \(AH \bot BC,BH \bot AC,CH \bot AB\) Trong ∆AHB ta có: \(\eqalign{ & AC \bot BH \cr & BC \bot AH \cr} \) Hai đường cao kẻ từ A và B cắt nhau tại C. Vậy C là trực tâm của ∆AHB. Trong ∆HAC ta có: \(\eqalign{ & BA \bot CH \cr & CB \bot BH \cr} \) Hai đường cao kẻ từ A và C cắt nhau tại B, Vậy B là trực tâm của ∆HAC. Trong ∆HBC ta có: \(\eqalign{ & BA \bot HC \cr & CA \bot BH \cr} \) Hai đường cao kẻ từ B và C cắt nhau tại A. Vậy A là trực tâm của ∆HBC. Câu 73 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Tam giác ABC có các đường cao BD và CE bằng nhau. Chứng minh rằng tam giác cân đó là tam giác cân. Giải Xét hai tam giác vuông BDC và CEB: \(\widehat {B{\rm{D}}C} = \widehat {CEB} = 90^\circ \) BD = CE (gt) BC cạnh huyền chung Do đó: ∆BDC = ∆CEB (cạnh huyền, cạnh góc vuông) \( \Rightarrow \) \(\widehat {DCB} = \widehat {EBC}\) Hay \(\widehat {ACB} = \widehat {ABC}\) Vậy ∆ABC cân tại A. Câu 74 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Tìm trực tâm của tam giác ABC, AHB, AHC. Giải ∆ABC có \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) CA là đường cao xuất phát từ đỉnh C. BA là đương cao xuất phát từ đỉnh B. Giao điểm của hai đường này là A. Vậy A là trực tâm của ∆ABC. ∆AHB có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A; BH là là đường cao xuất phát từ đỉnh B. Giao điểm của hai đường này là H. Vậy H là trực tâm của ∆AHB ∆AHC có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A; CH là đường cao xuất phát từ đỉnh C. Giao điểm của hai đường này là H Vậy H là trực tâm của ∆AHC. Câu 75 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình sau. Có thể khẳng định rằng các đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm hay không? Vì sao? Giải Trong ∆AEB ta có: \(AC \bot {\rm{E}}B\) nên AC là đường cao xuất phát từ đỉnh A. \(B{\rm{D}} \bot A{\rm{E}}\) nên BD là đường cao xuất phát từ đỉnh B. \(EK \bot AB\) nên EK là đường cao xuất phát từ đỉnh E. Theo tính chất ba đường cao trong tam giác nên các đường thẳng AC, BD và EK cùng đi qua một điểm. Câu 76 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Qua kẻ đường thẳng d vuông góc với AM. Chứng minh rằng d song song với BC. Giải ∆ABC cân tại A, AM là đường trung tuyến nên AM cũng là đường cao. \(\eqalign{ & {\rm{AM}} \bot {\rm{BC}} \cr & {\rm{d}} \bot {\rm{AM}}\left( {gt} \right) \cr} \) Suy ra: d // BC (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba). Câu 77 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC cân tại A. Vẽ điểm D sao cho A là trung điểm của BD. Kẻ đường cao AE của ∆ABC, đường cao AF của ∆ACD. Chứng minh rằng \(\widehat {EAF} = 90^\circ \) Giải ∆ABC cân tại A. \(A{\rm{E}} \bot BC\left( {gt} \right)\) Ta có: AE là đường cao nên AE cũng là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) ∆ADC cân tại A. \({\rm{AF}} \bot {\rm{DC}}\left( {gt} \right)\) Ta có: AF là đường cao nên AF cũng là đường phân giác của \(\widehat {CA{\rm{D}}}\) Mà \(\widehat {BAC}\) và \(\widehat {CA{\rm{D}}}\) là hai góc kề bù. Suy ra: \(A{\rm{E}} \bot {\rm{AF}}\) Câu 78 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao CH cắt tia phân giác của góc A tại D. Chứng minh rằng BD vuông góc với AC. Giải ∆ABC cân tại A, đường phân giác của góc ở đỉnh cũng là đường cao. Do đó: \(\eqalign{ & A{\rm{D}} \bot BC \cr & CH \bot AB\left( {gt} \right) \cr} \) Trong ∆ABC có hai đường cao AD và CH cắt nhau tại D nên D là trực tâm của ∆ABC, do đó BD là đường cao xuất phát từ đỉnh B đến cạnh đối diện AC. Vậy \(B{\rm{D}} \bot AC\). Câu 79 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC có AB = AC = 13cm, BC = 10cm. Tính độ dài đường trung tuyến AM. Giải ∆ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao. \( \Rightarrow AM \bot BC\) \(MB = MC = {1 \over 2}BC = 5\left( {cm} \right)\) Trong tam giác vuông AMB có \(\widehat {AMB} = 90^\circ \) Theo định lý Pytago ta có: \(A{B^2} = A{M^2} + M{B^2}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow A{M^2} = A{B^2} - M{B^2} = {15^2} - {5^2} \cr & = 169 - 25 = 144 \Rightarrow AM = 12\left( {cm} \right) \cr} \) Câu 80 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC có \(\widehat B,\widehat C\) là các góc nhọn, AC < AB. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng \(\widehat {AHB} < \widehat {HAC}\). Giải Trong ∆ABC ta có: AC > AB \(\Rightarrow \widehat B > \widehat C\) (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) Trong ∆AHB có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat B + \widehat {{A_1}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (1) Trong ∆AHC có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat C + \widehat {{A_2}} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B + \widehat {{A_1}} = \widehat C + \widehat {{A_2}}\) Mà \(\widehat B > \widehat C\) nên \(\widehat {{A_1}} < \widehat {{A_2}}\) Câu 81 trang 51 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC. Qua mỗi đỉnh A, B, C kẻ các đường thẳng song song với cạnh đối diện, chúng cắt nhau tạo thành tam giác DEF (hình dưới) a) Chứng minh rằng A là trung điểm EF. b) Các đường cao của tam giác ABC là các đường trung trực của tam giác nào? Giải a) Xét ∆ABC và ∆ACE: \(\widehat {ACB} = \widehat {CA{\rm{E}}}\) (so le trong, AE // BC) AC cạnh chung \(\widehat {CAB} = \widehat {AC{\rm{E}}}\) (so le trong, CE // AB) Do đó: ∆ABC = ∆CEA (g.c.g) \( \Rightarrow \) AE = BC (1) Xét ∆ABC và ∆ABF: \(\widehat {ABC} = \widehat {{\rm{BAF}}}\) (so le trong, BF // AC) AC cạnh chung \(\widehat {BAC} = \widehat {ABF}\) (so le trong, BF // AC) Do đó: ∆ABC = ∆BAF (g.c.g) \( \Rightarrow \) AF = BC (2) Từ (1) và (2) suy ra: AE = AF. Vậy A là trung điểm EF. b) Kẻ \({\rm{A}}H \bot BC\) EF // BC (gt) \( \Rightarrow \) \(AH \bot EF\) AE = AF (chứng minh trên) Vậy đường cao AH là đường trung trực của EF. Chứng minh tương tự câu a, ta có B là trung điểm DF và DF // AC nên đường cao kẻ từ đỉnh B của ∆ABC là đường trung trực DFF. Ta có C là trung điểm DE và DE // AB nên đường cao kẻ từ đỉnh C của ∆ABC là đường trung trực của DE. Câu 9.4 trang 52 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác nhọn ABC cân tại đỉnh A. Hai đường cao xuất phát từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc của tam giác ABC, biết \(\widehat {BMC} = 140^\circ \). Giải Xét tam giác vuông BKM. Do \(\widehat {BMC} = 140^\circ \) nên \(\widehat {{B_1}} = 140^\circ - 90^\circ = 50^\circ \) Trong tam giác vuông AHB có $$\widehat A = 90^\circ - \widehat {{B_1}} = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ $$ Tam giác ABC cân tại A, có Â = 40° nên \(\widehat B = \widehat C = \left( {180^\circ - 40^\circ } \right):2 = 70^\circ \). Câu 9.5 trang 52 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Chứng minh rằng trong một tam giác, tia phân giác của một góc trong và hai tia phân giác của hai góc ngoài không kề với nó đồng quy tại một điemr, điểm đó cách đều ba đường thẳng chứa ba cạnh của tam giác. Giải Giả sử hai tia phân giác của các góc ngoài tại đỉnh B và C của tam giác ABC cắt nhau tại O. Ta sẽ chứng minh AO là tia phân giác của góc A. Kẻ các đường vuông góc OH, OI, OK từ O lần lượt đến các đường thẳng AB, BC, AC. Vì BO là tia phân giác của góc HBC nên OH = OI (1) Vì CO là tia phân giác của góc KCB nên OI = OK (2) Từ (1) và (2) suy ra OI = OH = OK (3) Từ (3) suy ra AO là tia phân giác của góc BAC và ta có điều phải chứng minh. Câu 9.6 trang 52 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC, Hai đường phân giác của các cặp góc ngoài đỉnh B và C, đỉnh C và A, đỉnh A và B lần lượt cắt nhau tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng AA’, BB’, CC’ là các đường cao của tam giác A’B’C’. Từ đó suy ra giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC là trực tâm của tam giác A’B’C’. Giải Ta có \({\rm{AA}}' \bot AB'\) vì chúng là hai tia phân giác của hai góc kề bù. Tương tự \({\rm{AA}}' \bot AC'\). Vì qua A chỉ có một đường vuông góc với AA’ nên ba điểm B’, A, C’ thẳng hàng và \({\rm{AA}}' \bot B'C'\), hay A’A là một đường cao của tam giác A’B’C’. Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được BB’ và CC’ là hai đường cao của tam giác A’B’C’. Mặt khác theo cách chứng minh của bài 9.5 ta có AA’, BB’, CC’ là ba tia phân giác của các góc A, B, C của tam giác ABC.Từ đó suy ra giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC là trực tâm của tam giác A’B’C’.
