Câu 82 trang 52 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho Tam giác ABC có AB < AC. Trên tia dối của tia BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho CN = CA. a) Hãy so sánh các góc AMB và ANC. b) Hãy so sánh các độ dài AM và AN. Giải Trong ∆ABC có AB < AC \( \Rightarrow \) \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) (1) Ta có: AB = BM (gt) \( \Rightarrow \) ∆ABM cân tại B \( \Rightarrow \) \(\widehat M = \widehat {{A_1}}\) (tính chất tam giác cân) Trong ∆ABM ta có có góc ngoài tại đỉnh B \(\widehat {ABC} = \widehat M + \widehat {{A_1}}\) Suy ra: \(\widehat M = {1 \over 2}\widehat {ABC}\) (2) Ta có: AC = CN (gt) \( \Rightarrow \) ∆CAN cân tại C \( \Rightarrow \) \(\widehat N = \widehat {{A_2}}\) (tính chất tam giác cân) Trong ∆CAN ta có \(\widehat {ACB}\) là góc ngoài tại đỉnh C. \( \Rightarrow \widehat {ACB} = \widehat N + \widehat {{A_2}}\) Suy ra: \(\widehat N = {1 \over 2}\widehat {ACB}\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat M > \widehat N\) b) Trong ∆AMN ta có: \(\widehat M > \widehat N\) Suy ra: AN > AM (đối diện góc lớn hơn là cạnh lớn hơn) Câu 83 trang 52 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC có AB < AC, đường cao AH. Chứng minh rằng: HB < HC, \(\widehat {HAB} < \widehat {HAC}\) (xét hai trường hợp: \(\widehat B\) nhọn và \(\widehat B\) tù). Giải a) Trường hợp: \(\widehat B < 90^\circ \) Đường xiên AB < AC nên hình chiếu HB < HC Trong ∆ABC ta có: AB < AC \( \Rightarrow \widehat B < \widehat C\) (đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn) Trong ∆AHB có \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat B + \widehat {HAC} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (1) Trong ∆AHC có \(\widehat {AHC} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \widehat C + \widehat {HAC} = 90^\circ \) (tính chất tam giác vuông) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat B + \widehat {HAB} = \widehat C + \widehat {HAC}\) Mà \(\widehat B > \widehat C\) nên \(\widehat {HAB} < \widehat {HAC}\) b) Nếu \(90^\circ < \widehat B < 180^\circ \) điểm B nằm giữa H và C. \(\widehat {HAC} = \widehat {HAB} + \widehat {BAC}\) \( \Rightarrow \widehat {HAB} < \widehat {HAC}\) Câu 84 trang 52 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài 1cm, 2cm, 3cm, 4cm, 5cm. Giải 1 = 3 – 2 = 4 – 3 = 5 – 4 Nên trong 3 cạnh của tam giác không có cạnh nào có độ dài 1cm. Nếu cạnh nhỏ nhất là 2cm 4 – 3 < 2 < 4 + 3; 5 – 4 < 2 < 5 + 4 Thì 2 cạnh kia là 3cm và 4cm hoặc 4cm và 5cm. Nếu cạnh nhỏ nhất là 3cm 5 – 4 < + < 5 + 4; 3 = 5 – 2; 3 > 4 – 2 Như vậy hai cạnh kia là 5 và 4. Không có trường hợp cạnh nhỏ nhất là 4cm. Vậy ta có thể vẽ được 3 tam giác có ba cạnh là: 2cm; 3cm; 4cm 2cm; 4cm; 5cm 3cm; 4cm; 5cm Câu 85 trang 53 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho bốn điểm A, B, C, D như hình dưới. Hãy tìm một điểm M sao cho tổng MA + MB + MC + MD là nhỏ nhất. Giải Với M là điểm bất kỳ. Ta có M không trùng với giao điểm của AC và BD Trong ∆MBD ta có: MB + MD > BD (bất đẳng thức tam giác) Nếu M trùng với giao điểm AC và BD \( \Rightarrow \) MA + MC = AC MB + MD = BD Vậy MA + MC ≥ AC MB + MD ≥ BD (dấu bằng xảy ra khi M trùng với giao điểm của AC và BD) \( \Rightarrow \) MA + MB + MC + MD ≥ AC + BD Vậy MA + MB + MC + MD = AC + BD bé nhất khi đó M là giao điểm của AC và BD Câu 86 trang 53 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình sau trong đó G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) \({S_{AGC}} = 2{{\rm{S}}_{GMC}}\) b) \({S_{Gmb}} = {S_{GMC}}\) c) \({S_{AGB}} = {S_{AGC}} = {S_{BGC}}\) Giải a) G là trọng tâm của ∆ABC \( \Rightarrow \) GA = 2GM (tính chất đường trung tuyến) ∆AGC và ∆GMC có chung đường cao kẻ từ đỉnh C đến AM. Cạnh đáy GA = 2GM Chiều cao chung của hai tam giác Suy ra: \({S_{AGC}} = 2{{\rm{S}}_{GMC}}\) (1) b) ∆GMB và ∆GMC có cạnh đáy MB = MC, chung chiều cao kẻ từ đỉnh G đến cạnh BC \({S_{Gmb}} = {S_{GMC}}\) (2) c) Hai tam giác AGB và GMB có chung chiều cao kẻ từ đỉnh B đến cạnh AM. AG = 2GM (chứng minh trên) Suy ra: \(\eqalign{ & {S_{AGB}} = 2{{\rm{S}}_{GMB}}\left( 3 \right) \cr & {S_{BGC}} = {S_{GMB}} + {S_{GMC}} = 2{S_{GMB}}\left( 4 \right) \cr} \) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{\rm{S}}_{AGC}} = {S_{AGB}} = {S_{BGC}}\) Câu 87 trang 53 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho góc xOy khác góc bẹt, điểm A thuộc cạnh Ox, điểm B thuộc cạnh Oy. a) Hãy tìm điểm M nằm trong góc xOy, cách đều Ox, Oy và cách đều A, B. b) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a? Giải a) - Điểm nằm trong góc xOy và cách đều hai cạnh Ox và Oy nên nó thuộc tia phân giác Ot của \(\widehat {xOy}\). - Điểm cách đều 2 điểm A và B thuộc đường thẳng d là đường trung trực của AB Vậy M là giao điểm của dường trung trực của đoạn thẳng AB và tia phân giác Ot của \(\widehat {xOy}\) b) Nếu OA = OB \( \Rightarrow \) ∆OAB cân tại O Tia phân giác của \(\widehat {xOy}\) cũng là đường trung trực của AB. Vậy bất kỳ điểm M nào nằm trên tia phân giác của \(\widehat {xOy}\) đều thỏa mãn điều kiện câu a. Câu 88 trang 53 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho góc xOy khác góc bẹt. Dùng một chiếc thước thẳng có chia khoảng, hãy nêu cách vẽ tia phân giác của góc xOy. Giải - Dùng thước chia khoảng, trên Ox lấy điểm A, trên tia Oy lấy điểm B sao cho OA = OB. - Nối AB - Dùng thước chia khoảng, đo đoạn AB, lấy trung điểm M của AB. - Kẻ tia OM. Ta có ∆OAB cân tại O, OM là đường trung tuyến nên OM cũng là đường phân giác \(\widehat {AOB}\). Vậy OM là tia phân giác của \(\widehat {xOy}\). Câu 89 trang 53 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho hình 20 trong đó giao điểm O của hai đường thẳng a và a nằm ngoài phạm vi tờ giấy. Chỉ vẽ hình trong phạm vi tờ giấy, hãy vẽ đường thẳng d đi qua A sao cho đường thẳng d cũng đi qua O nếu kéo dài đường thẳng d ra ngoài phạm vi tờ giấy. Giải - Kẻ \(AH \bot a\) kéo dài, HA cắt b tại B. - Kẻ \(AK \bot b\) kéo dài KA cắt a tại C. - Kẻ \(AI \bot BC\), đường thẳng AI đi qua O. Vì trong ∆OBC có 2 đường cao BH và CK cắt nhau tại A nên A là trực tâm của ∆OBC. OA là đường cao thứ 3 nên \(OA \bot BC\) \(AI \bot BC\) nên đường thẳng OA và đường thẳng AI trùng nhau hay đường thẳng AI đi qua O. Câu 90 trang 54 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Đường trung trực d của đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần (không kể đường thẳng d): phần chứa điểm A ký hiệu là \({P_A}\), phần chứa điểm B ký hiệu là \({P_B}\) (hình dưới) a) Gọi M là một điểm của \({P_A}\). Chứng minh rằng MA < MB. b) Gọi N là một điểm của \({P_B}\). Chứng minh rằng NB < NA. c) Gọi K là một điểm sao cho KA < KB. Hỏi rằng K nằm ở đâu trong \({P_A}\),\({P_B}\) hay trên d? Giải a) Giải tương tự như bài 57, ta có MA < MB. b) Giải tương tự như câu a, ta có NB < NA c) Nếu K nằm trong \({P_B}\) thì theo câu b ta có KB < KA, trái với đề bài. Nếu K nằm trên d thì KA = KB, trái với đề bài. Vậy K nằm trong \({P_A}\). Câu 91 trang 54 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2. Cho tam giác ABC, các đường phân giác của góc ngoài tại B và C cắt nhau ở E. Gọi G, H, K theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ E đến các đường thẳng BC, AB, AC. a) Có nhận xét gì về các độ dài EH, EG, AK. b) Chứng minh AE là tia phân giác của góc BAC. c) Đường phân giác của góc ngoài tại A của tam giác ABC cắt đường thẳng BE, CE tại D, F. Chứng minh rằng AE vuông góc với DF. d) Các đường thẳng AE, BF, CD là các đường gì trong tam giác ABC? e) Các đường thẳng AE, FB, DC là các đường gì trong tam giác DEF? Giải a) E thuộc tia phân giác của \(\widehat {CBH}\) \( \Rightarrow \) EG = EH (tính chất tia phân giác) (1) E thuộc tia phân giác của \(\widehat {BCK}\) \( \Rightarrow \) EG = EK (tính chất tia phân giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: EH = EG = EK b) EH = EK \( \Rightarrow \) E thuộc tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) mà E # A Vậy AE là tia phân giác của \(\widehat {BAC}\) c) AE là tia phân giác góc trong tại đỉnh A. AF là tia phân giác góc ngoài tại đỉnh A. \( \Rightarrow \) \(A{\rm{E}} \bot {\rm{AF}}\) (tính chất hai góc kề bù) Hay \(A{\rm{E}} \bot {\rm{DF}}\) d) Chứng minh tương tự câu a ta có BF là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) CD là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) Vậy các đường AE, BF, CD là các đường phân giác của ∆ABC e) BF là phân giác góc trong tại đỉnh B. BE là phân giác góc ngoài tại đỉnh B. \(\Rightarrow BF \bot BE\) (tính chất hai góc kề bù) Hay \(BF \bot E{\rm{D}}\) CD là đường phân giác góc trong tại C CE là đường phân giác góc ngoài tại C \( \Rightarrow C{\rm{D}} \bot CE\) (tính chất hai góc kề bù) Hay \(C{\rm{D}} \bot {\rm{EF}}\) Câu III.1 trang 54 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Chứng minh rằng trong một tam giác, đường cao không lớn hơn đường trung tuyến xuất phát từ một đỉnh. Giải Vì đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ cùng một đỉnh lần lươt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ cùng một điểm đến cùng một đường thẳng nên ta có điều phải chứng minh. Câu III.2 trang 54 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến AD, BE vuông góc với nhau. Chứng minh rằng BC > 2AC. Giải BC < 2AC nếu \({1 \over 2}BC = C{\rm{D < AC}}\) Xét hai tam giác ADC có \(\widehat {{D_1}} = \widehat {{G_1}} + \widehat {{B_1}}\). Theo giả thiết \(\widehat {{G_1}} = 90^\circ \) nên \(\widehat {{D_1}}\) là góc tù. Cạnh AC đối diện với góc \({{\rm{D}}_1}\) nên là cạnh lớn nhất, vậy AC > DC hay 2AC > 2DC = BC. Câu III.3 trang 54Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Ba đường phân giác AD, BE, CF của tam giác ABC quy đồng tại O. Kẻ đường vuông góc OG đến BC. Chứng minh rằng \(\widehat {BOG} = \widehat {CO{\rm{D}}}\). Giải Đế chứng minh \(\widehat {BOG} = \widehat {CO{\rm{D}}}\), ta chứng minh \(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {GOC}\). Xét tam giác OAB, ta có \(\widehat {BO{\rm{D}}} = {1 \over 2}\left( {\widehat A + \widehat B} \right) = {1 \over 2}\left( {180^\circ - \widehat C} \right)\) (1) Xét tam giác vuông OCG ta có: \(\widehat {GOC} = 90^\circ - {1 \over 2}\widehat C = {1 \over 2}\left( {180^\circ - \widehat C} \right)\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {BO{\rm{D}}} = \widehat {GOC}\). Vậy \(\widehat {BOG} = \widehat {CO{\rm{D}}}\). Câu III.4 trang 54Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC cân tại B có \(\widehat B = 112^\circ \). Kẻ đường cao AH và đường phân giác AD của tam giác đó. Tính các góc của tam giác AHD. Giải Xét tam giác vuông AHB. Ta có: \(\widehat {ABH} = 180^\circ - 112^\circ = 68^\circ \) \(\widehat {{A_1}} = 90^\circ - \widehat {ABH} = 90^\circ - 68^\circ = 22^\circ \) Tam giác ABC cân tại B có \(\widehat B = 112^\circ \) nên $$\widehat {BAC} = \left( {180^\circ - 112^\circ } \right):2 = 34^\circ $$ Do đó \(\widehat {{A_2}} = 34^\circ :2 = 17^\circ \).Từ đó \(\widehat {HA{\rm{D}}} = \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = 22^\circ + 17^\circ = 39^\circ \) \(\widehat {H{\rm{D}}A} = 90^\circ - \widehat {HA{\rm{D}}} = 90^\circ - 39^\circ = 51^\circ \) Câu III.5 trang 54 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC cân tại C. Kẻ các đường cao \({\rm{A}}{{\rm{A}}_1}\) và \(B{B_1}\) của tam giác đó. Hai đường cao này cắt nhau tại M. Chứng minh rằng đường thẳng MC là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Giải Gọi giao điểm của CM và AB là C1. Ta cần chứng minh \(C{C_1} \bot AB\) và C1 là trung điểm của đoạn thẳng AB. Vì trong một tam giác ba đường cao đồng quy nên CM hay \(C{C_1}\) vuông góc với AB. Hai tam giác vuông \(C{C_1}A\) và \(C{C_1}B\) bằng nhau vì có \(\widehat A = \widehat B\), CA = CB nên \({C_1}A = {C_1}B\) hay C1 là trung điểm của AB. Vậy MC là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Câu III.6 trang 55 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác ABC có Â = 130°. Gọi C’, B’là các điểm sao cho AB là đường trung trực của CC’ và AC là đường trung trực của BB’. Hai đường thẳng CB’ và BC’ cắt nhau tại A’. Hãy tìm bên trong tam giác A’BC điểm cách đều ba cạnh của tam giác đó. Giải Xét tam giác A’BC. Vì AC là đường trung trực của BB’ nên có \(\widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\). Vì AB là đường trung trực của CC’ nên \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\). Suy ra AB, AC lần lượt là đường phân giác của các góc A’BC và A’CB. Vậy ba đường phân giác của tam giác A’BC đồng quy tại A, hay A là điểm nằm trong tam giác A’BC và cách đều ba cạnh của tam giác này. Câu III.7 trang 55 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Dựng các hình vuông ABDE và ACFG bên ngoài tam giác nhọn ABC cho trước. a) Gọi H là điểm thuộc đường thẳng BC sao cho \({\rm{A}}H \bot BC\). Gọi I, J là các điểm thuộc đường thẳng AH sao cho \(EI \bot AH\) và \(GJ \bot AH\). Chứng minh ∆ABH = ∆EAI, ∆ACH = ∆GAJ Từ đó suy ra đường thẳng AH cắt EG tại trung điểm K của EG (tức là AK là trung tuyến của tam giác AEG) b) Gọi L là điểm thuộc đường thẳng AK sao cho K là trung điểm của AL. Chứng minh AL = BC. c) Chứng minh ∆ABL = ∆BDC. Từ đó suy ra CD là một đường cao của tam giác BCL. d) Chứng minh rằng các đường thẳng AH, BF, CD đồng quy. Giải a) Hai tam giác vuông ABH và EAI bằng nhau vì có AB = EA, \(\widehat {BAH} = \widehat {A{\rm{E}}I}\) (cùng phụ với góc EAI). Tương tự hai tam giác vuông ACH và GAJ bằng nhau. Suy ra EI = AH = GJ. Mặt khác, \(\widehat {JKG} = \widehat {IKE}\)(đối đỉnh), do đó ∆EKI = ∆GKJ. Từ đó ta có trung điểm của EG. Vậy AK là trung tuyến của tam giác AEG. b) Theo a) ∆EKI = ∆GKJ nên KI = KJ. Mặt khác, theo giả thiết K là trung điểm của Al nên AI = LJ. Ta có: AL = AJ + JL = AJ + AI = HC + HB = BC c) Hai tam giác ALB và BCD bằng nhau và có AL = BC. AB = BD và \(\widehat {BAL} = 90^\circ + \widehat {E{\rm{A}}L} = 90^\circ + \widehat {ABC} = \widehat {DBC}\) Suy ra \(\widehat {ALB} = \widehat {BC{\rm{D}}}\). Mặt khác ta có \(\widehat {ALB} + \widehat {LBH} = 90^\circ \) nên \(\widehat {BC{\rm{D}}} + \widehat {LBH} = 90^\circ \). Suy ra \(LB \bot C{\rm{D}}\), tức CD là một đường cao của tam giác LBC. d) Lập luận tương tự câu c), ta có BF là một đường cao của tam giác LBC. Vậy ba đường thẳng AH, BF, CD là ba đường cao của tam giác LBC nên chứng đồng quy. Câu III.8 trang 55 Sách Bài Tập (SBT) Toán lớp 7 tập 2 Cho tam giác. a) Qua trung điểm D của cạnh BC, kẻ đường thẳng song song với AB, nó cắt cạnh AC tại E. Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, nó cắt AB tại F. Chứng minh ∆CDE = ∆EFA. Từ đó suy ra E là trung điểm của cạnh AC. b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua các trung điểm hai cạnh của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba của tam giác đó. c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trực tâm của tam giác có ba đỉnh là trung điểm ba cạnh của tam giác ABC. Giải a) Ta có ∆BDF = ∆EFD (g.c.g) Suy ra BD = EF. Theo giả thiết, D là trung điểm của BC nên CD = DB = EF. Hai tam giác CDE và EFA bằng nhau vì CD = EF, \(\widehat {C{\rm{D}}E} = \widehat {CBA} = \widehat {{\rm{EFA}}}\) và \(\widehat {EC{\rm{D}}} = \widehat {{\rm{EAF}}}\) (các góc đồng vị). Suy ra CE = EA. b) Gọi D là trung điểm của BC, E là trung điểm của AAC. Theo câu a)) đường thẳng qua D, song song với AB phải cắt AC tại trung điểm của AC nên đường thẳng đó phải đi qua E, hay DE // AB. c) Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB. Đường trung trực của BC phải vuông góc với EF (vì (EF // BC), hay nó là một đường cao của tam giác DEF. Suy ra ba đường trung trực của tam giác ABC là ba đường cao của tam giác DEF. Do đó tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (giao điểm của ba đường trung trực của tam giác ABC) là trực tâm của tam giác DEF.
