Câu 1 trang 23 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau chứng minh các đẳng thức sau: a. \({{{x^2}{y^3}} \over 5} = {{7{x^3}{y^4}} \over {35xy}}\) b. \({{{x^2}\left( {x + 2} \right)} \over {x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {x \over {x + 2}}\) c. \({{3 - x} \over {3 + x}} = {{{x^2} - 6x + 9} \over {9 - {x^2}}}\) d. \({{{x^3} - 4x} \over {10 - 5x}} = {{ - {x^2} - 2x} \over 5}\) Giải: a. \({x^2}{y^3}.35xy = 35{x^3}{y^4};5.7{x^3}{y^4} = 35{x^3}{y^4}\) \( \Rightarrow {x^2}{y^3}.35xy = 5.7{x^3}{y^4}\). Vậy \({{{x^2}{y^3}} \over 5} = {{7{x^3}{y^4}} \over {35xy}}\) b. \({x^2}\left( {x + 2} \right).\left( {x + 2} \right) = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2};x{\left( {x + 2} \right)^2}.x = {x^2}{\left( {x + 2} \right)^2}\) \( \Rightarrow {x^2}\left( {x + 2} \right).\left( {x + 2} \right) = x{\left( {x + 2} \right)^2}x\). Vậy \({{{x^2}\left( {x + 2} \right)} \over {x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {x \over {x + 2}}\) c. \(\left( {3 - x} \right)\left( {9 - {x^2}} \right) = 27 - 3{x^2} - 9x + {x^3}\) \(\left( {3 + x} \right)\left( {{x^2} - 6x + 9} \right) = 3{x^2} - 18x + 27 + {x^3} - 6{x^2} + 9x = 27 - 3{x^2} - 9x + {x^3}\) \( \Rightarrow \left( {3 - x} \right)\left( {9 - {x^2}} \right) = \left( {3 + x} \right)\left( {{x^2} - 6x + 9} \right)\). Vậy \({{3 - x} \over {3 + x}} = {{{x^2} - 6x + 9} \over {9 - {x^2}}}\) d. \(\left( {{x^3} - 4x} \right).5 = 5{x^3} - 20x;\left( {10 - 5x} \right)\left( { - {x^2} - 2x} \right) = - 10{x^2} - 20x + 5{x^3} + 10{x^2} = 5{x^3} - 20x\) \( \Rightarrow \left( {{x^3} - 4x} \right).5 = \left( {10 - 5x} \right)\left( { - {x^2} - 2x} \right)\) Vậy \({{{x^3} - 4x} \over {10 - 5x}} = {{ - {x^2} - 2x} \over 5}\) Câu 2 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dùng định nghĩa hai phân thức bằng nhau, hãy tìm đa thức A trong mỗi đẳng thức sau: a. \({A \over {2x - 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} - 1}}\) b. \({{4{x^2} - 3x - 7} \over A} = {{4x - 7} \over {2x + 3}}\) c. \({{4{x^2} - 7x + 3} \over {{x^2} - 1}} = {A \over {{x^2} + 2x + 1}}\) d. \({{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} - 3x - 2}} = {{{x^2} + 2x} \over A}\) Giải: a. \({A \over {2x - 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} - 1}}\) \( \Rightarrow A\left( {4{x^2} - 1} \right) = \left( {2x - 1} \right).\left( {6{x^2} + 3x} \right)\) \( \Rightarrow A\left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) = \left( {2x - 1} \right).3x\left( {2x + 1} \right)\) \( \Rightarrow A = 3x\) Ta có: \({{3x} \over {2x - 1}} = {{6{x^2} + 3x} \over {4{x^2} - 1}}\) b. \({{4{x^2} - 3x - 7} \over A} = {{4x - 7} \over {2x + 3}}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \left( {4{x^2} - 3x - 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x - 7} \right) \cr & \Rightarrow \left( {4{x^2} + 4x - 7x - 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x - 7} \right) \cr & \Rightarrow \left[ {4x\left( {x + 1} \right) - 7\left( {x + 1} \right)} \right]\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x - 7} \right) \cr & \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x - 7} \right)\left( {2x + 3} \right) = A\left( {4x - 7} \right) \cr & \Rightarrow A = \left( {x + 1} \right)\left( {2x + 3} \right) = 2{x^2} + 3x + 2x + 3 = 2{x^2} + 5x + 3 \cr} \) Ta có: \({{4{x^2} - 3x - 7} \over {2{x^2} + 5x + 3}} = {{4x - 7} \over {2x + 3}}\) c. \({{4{x^2} - 7x + 3} \over {{x^2} - 1}} = {A \over {{x^2} + 2x + 1}}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \left( {4{x^2} - 7x + 3} \right).\left( {{x^2} + 2x + 1} \right) = A.\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{\pi \over 2} - \theta } \right) \cr & \Rightarrow \left( {4{x^2} - 4x - 3x + 3} \right).{\left( {x + 1} \right)^2} = A\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \cr & \Rightarrow \left[ {4x\left( {x - 1} \right) - 3\left( {x - 1} \right)} \right].{\left( {x + 1} \right)^2} = A\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \cr & \Rightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {4x - 3} \right){\left( {x + 1} \right)^2} = A\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) \cr & \Rightarrow A = \left( {4x - 3} \right)\left( {x + 1} \right) = 4{x^2} + 4x - 3x - 3 = 4{x^2} + x - 3 \cr} \) Ta có: \({{4{x^2} - 7x + 3} \over {{x^2} - 1}} = {{4{x^2} + x - 3} \over {{x^2} + 2x + 1}}\) d. \({{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} - 3x - 2}} = {{{x^2} + 2x} \over A}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \left( {{x^2} - 2x} \right).A = \left( {2{x^2} - 3x - 2} \right)\left( {{x^2} + 2x} \right) \cr & \Rightarrow x\left( {x - 2} \right).A = \left( {2{x^2} - 4x + x - 2} \right).x\left( {x + 2} \right) \cr & \Rightarrow x\left( {x - 2} \right).A = \left[ {2x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right)} \right].x\left( {x + 2} \right) \cr & \Rightarrow x\left( {x - 2} \right).A = \left( {2x + 1} \right)\left( {x - 2} \right).x.\left( {x + 2} \right) \cr & \Rightarrow A = \left( {2x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 2{x^2} + 4x + x + 2 = 2{x^2} + 5x + 2 \cr} \) Ta có : \({{{x^2} - 2x} \over {2{x^2} - 3x - 2}} = {{{x^2} + 2x} \over {{x^2} + 2x + 1}}\) Câu 3 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Bạn Lan viết các đẳng thức sau và đố các bạn trong nhóm học tập tìm ra chỗ sai. Em hãy sửa chỗ sai cho đúng. a. \({{5x + 3} \over {x - 2}} = {{5{x^2} + 13x + 6} \over {{x^2} - 4}}\) b. \({{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\) c. \({{{x^2} - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\) d. \({{2{x^2} - 5x + 3} \over {{x^2} + 3x - 4}} = {{2{x^2} - x - 3} \over {{x^2} + 5x + 4}}\) Giải: a. \(\left( {5x + 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right) = 5{x^3} - 20x + 3{x^3} - 12\) \(\left( {x - 2} \right)\left( {5{x^2} + 13x + 6} \right) = 5{x^3} + 13{x^2} + 6x - 10{x^2} - 26x - 12 = 5{x^3} - 20x + 3{x^2} - 12\) Đẳng thức đúng. b. \(\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = {x^3} + 6{x^2} + 9x + {x^2} + 6x + 9 = {x^3} + 7{x^2} + 15x + 9\) \(\left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3} \right) = {x^3} + 3x + 3{x^2} + 9 \Rightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 6x + 9} \right) \ne \left( {x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3} \right)\) Đẳng thức sai \({{x + 1} \over {x + 3}} \ne {{{x^2} + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\). Sửa lại \({{x + 1} \over {x + 3}} = {{{x^2} + 4x + 3} \over {{x^2} + 6x + 9}}\) c. \(\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^3} + {x^2} - 2x - 2\) \(\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = {x^3} + 2{x^2} - x - 2\) \(\left( {{x^2} - 2} \right)\left( {x + 1} \right) \ne \left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\) Đẳng thức sai \({{{x^2} - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\). Sửa lại \({{{x^2} + x - 2} \over {{x^2} - 1}} = {{x + 2} \over {x + 1}}\) d. \(\left( {2{x^2} - 5x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right)\) \( = 2{x^4} + 10{x^3} + 8{x^2} - 5{x^3} - 25{x^2} - 20x + 3{x^2} + 15x + 12\) \(\eqalign{ & = 2{x^4} + 5{x^3} - 14{x^2} - 5x + 12 \cr & \left( {{x^2} + 3x - 4} \right)\left( {2{x^2} - x - 3} \right) = 2{x^4} - {x^3} - 3{x^2} + 6{x^3} - 3{x^2} - 9x - 8{x^2} + 4x + 12 \cr & = 2{x^4} + 5{x^3} - 14{x^2} - 5x + 12 \cr & \Rightarrow \left( {2{x^2} - 5x + 3} \right)\left( {{x^2} + 5x + 4} \right) = \left( {{x^2} + 3x - 4} \right)\left( {2{x^2} - x - 3} \right) \cr} \) Đẳng thức đúng. Câu 1.1 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tìm đa thức P để \({{x - 3} \over {{x^2} + x + 1}} = {P \over {{x^3} - 1}}\) . Phương án nào sau đây là đúng ? A. \(P = {x^2} + 3\) B. \(P = {x^2} - 4x + 3\) C. \(P = x + 3\) D. \(P = {x^2} - x - 3\) Giải: Chọn B. \(P = {x^2} - 4x + 3\) Câu 1.2 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Trong mỗi trường hợp sau hãy tìm hai đa thức P và Q thỏa mãn đẳng thức : a. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)Q} \over {{x^2} - 4}}\) b. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left( {x - 2} \right)Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\) Giải: a. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)Q} \over {{x^2} - 4}}\) P \( = x - 1\) ;Q \( = {\left( {x + 2} \right)^2} = {x^2} + 4x + 4\) b. \({{\left( {x + 2} \right)P} \over {{x^2} - 1}} = {{\left( {x - 2} \right)Q} \over {{x^2} - 2x + 1}}\) P \( = \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right) = {x^2} - x - 2\) Q \( = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) = {x^2} + x - 2\) Câu 1.3 trang 24 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hai phân thức \({P \over Q}\) và\({R \over S}\). Chứng minh rằng : a. Nếu \({P \over Q} = {R \over S}\) thì \({{P + Q} \over Q} = {{R + S} \over S}\) b. Nếu và P ≠ Q thì R ≠ S và Giải: a. \({P \over Q} = {R \over S}\) \( \Rightarrow PS = QR\) (1). Vì \({P \over Q},{R \over S}\) là phân thức ⇒ Q, S khác không. Cộng vào hai vế của đẳng thức (1) với Q S P S + Q S = Q R + Q S ⇒ (P + Q). S = Q (R + S) ⇒\({{P + Q} \over Q} = {{R + S} \over S}\) b. \({P \over Q} = {R \over S}\)⇒ P S = Q R (1) và P ≠ Q, R ≠ S Trừ từng vế đẳng thức (1) với PR : P S – P R = Q R – P R ⇒ P (S – R) = R (Q – P) ⇒ \({P \over {Q - P}} = {R \over {S - R}}\)