Sách bài tập Toán 8 - Phần Đại số - Chương II - Bài 3. Rút gọn phân thức

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 9 trang 26 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Rút gọn các phân thức sau:
    a. \({{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)} \over {21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\)
    b. \({{8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^3}} \over {12{x^3}\left( {1 - 3x} \right)}}\)
    c. \({{20{x^2} - 45} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)
    d.\({{5{x^2} - 10xy} \over {2{{\left( {2y - x} \right)}^3}}}\)
    e. \({{80{x^3} - 125x} \over {3\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {8 - 4x} \right)}}\)
    f. \({{9 - {{\left( {x + 5} \right)}^2}} \over {{x^2} + 4x + 4}}\)
    g. \({{32x - 8{x^2} + 2{x^3}} \over {{x^3} + 64}}\)
    h. \({{5{x^3} + 5x} \over {{x^4} - 1}}\)
    i. \({{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 4x + 4}}\)
    Giải:
    a. \({{14x{y^5}\left( {2x - 3y} \right)} \over {21{x^2}y{{\left( {2x - 3y} \right)}^2}}}\) \(= {{2{y^4}} \over {3x\left( {2x - 3y} \right)}}\)
    b. \({{8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^3}} \over {12{x^3}\left( {1 - 3x} \right)}}\) \( = {{ - 8xy{{\left( {3x - 1} \right)}^3}} \over {12{x^2}\left( {3x - 1} \right)}} = {{ - 2y{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \over {3x}}\)
    c. \({{20{x^2} - 45} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\) \( = {{5\left( {4{x^2} - 9} \right)} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = {{5\left( {2x + 3} \right)\left( {2x - 3} \right)} \over {{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = {{5\left( {2x - 3} \right)} \over {2x + 3}}\)
    d. \({{5{x^2} - 10xy} \over {2{{\left( {2y - x} \right)}^3}}}\) \( = {{ - 5x\left( {2y - x} \right)} \over {2{{\left( {2y - x} \right)}^3}}} = {{ - 5x} \over {2{{\left( {2y - x} \right)}^2}}}\)
    e. \({{80{x^3} - 125x} \over {3\left( {x - 3} \right) - \left( {x - 3} \right)\left( {8 - 4x} \right)}}\) \( = {{5x\left( {16{x^2} - 25} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {3 - 8 + 4x} \right)}} = {{5x\left( {16{x^2} - 25} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {4x - 5} \right)}} = {{5x\left( {4x + 5} \right)} \over {x - 3}}\)
    f. \({{9 - {{\left( {x + 5} \right)}^2}} \over {{x^2} + 4x + 4}}\) \( = {{\left( {3 + x + 5} \right)\left( {3 - x - 5} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{ - \left( {8 + x} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{ - \left( {8 + x} \right)} \over {x + 2}}\)
    g. \({{32x - 8{x^2} + 2{x^3}} \over {{x^3} + 64}}\) \( = {{2x\left( {16 - 4x + {x^2}} \right)} \over {\left( {x + 4} \right)\left( {{x^2} - 4x + 16} \right)}} = {{2x} \over {x + 4}}\)
    h. \({{5{x^3} + 5x} \over {{x^4} - 1}}\)\( = {{5x\left( {{x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}} = {{5x} \over {{x^2} - 1}}\)
    i. \({{{x^2} + 5x + 6} \over {{x^2} + 4x + 4}}\) \( = {{{x^2} + 2x + 3x + 6} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{x\left( {x + 2} \right) + 3\left( {x + 2} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = {{x + 3} \over {x + 2}}\)

    Câu 10 trang 26 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Chứng minh các đẳng thức sau:
    a. \({{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}} \over {2{x^2} + xy - {y^2}}} = {{xy + {y^2}} \over {2x - y}}\)
    b. \({{{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}} = {1 \over {x - y}}\)
    Giải:
    a. Biến đổi vế trái :
    \({{{x^2}y + 2x{y^2} + {y^3}} \over {2{x^2} + xy - {y^2}}} = {{y\left( {{x^2} + 2xy + {y^2}} \right)} \over {2{x^2} + 2xy - xy - {y^2}}} = {{y{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {2x\left( {x + y} \right) - y\left( {x + y} \right)}}\)
    \( = {{y{{\left( {x + y} \right)}^2}} \over {\left( {x + y} \right)\left( {2x - y} \right)}} = {{y\left( {x + y} \right)} \over {2x - y}} = {{xy + {y^2}} \over {2x - y}}\)
    Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.
    b. Biến đổi vế trái:
    \({{{x^2} + 3xy + 2{y^2}} \over {{x^3} + 2{x^2}y - x{y^2} - 2{y^3}}} = {{{x^2} + xy + 2xy + 2{y^2}} \over {{x^2}\left( {x + 2y} \right) - {y^2}\left( {x + 2y} \right)}} = {{x\left( {x + y} \right) + 2y\left( {x + y} \right)} \over {\left( {x + 2y} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)}}\)
    \( = {{\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right)} \over {\left( {x + 2y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)}} = {1 \over {x - y}}\)
    Vế trái bằng vế phải, đẳng thức được chứng minh.

    Câu 11 trang 26 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Cho hai phân thức \({{{x^3} - {x^2} - x + 1} \over {{x^4} - 2{x^2} + 1}}\) , \({{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}}\). Theo bài tập 8, có vô số cặp phân thức có cùng mẫu thức và bằng cặp phân thức đã cho. Hãy tìm cặp phân thức như thế với mẫu thức là đa thức có bậc thấp nhất.
    Giải:
    \({{{x^3} - {x^2} - x + 1} \over {{x^4} - 2{x^2} + 1}}\) \( = {{{x^2}\left( {x - 1} \right) - \left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = {{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
    \( = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {1 \over {x + 1}}\)
    \({{5{x^3} + 10{x^2} + 5x} \over {{x^3} + 3{x^2} + 3x + 1}} = {{5x\left( {{x^2} + 2x + 1} \right)} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = {{5x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} = {{5x} \over {x + 1}}\)

    Câu 12 trang 27 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Tìm x, biết:
    a. \({a^2}x + x = 2{a^4} - 2\)với a là hằng số;
    b. \({a^2}x + 3ax + 9 = {a^2}\)với a là hằng số, a ≠ 0 và a ≠ −3.
    Giải:
    a. \({a^2}x + x = 2{a^4} - 2\)
    \(\eqalign{ & x\left( {{a^2} + 1} \right) = 2\left( {{a^4} - 1} \right) \cr & x = {{2\left( {{a^4} - 1} \right)} \over {{a^2} + 1}} = {{2\left( {{a^2} - 1} \right)\left( {{a^2} + 1} \right)} \over {{a^2} + 1}} = 2\left( {{a^2} - 1} \right) \cr} \)
    b. \({a^2}x + 3ax + 9 = {a^2}\)
    \(\eqalign{ & \Rightarrow ax\left( {a + 3} \right) = {a^2} - 9 \cr & x = {{{a^2} - 9} \over {a\left( {a + 3} \right)}} = {{\left( {a - 3} \right)\left( {a + 3} \right)} \over {a\left( {a + 3} \right)}} = {{a - 3} \over a} \cr} \) (với a ≠ 0, a ≠ −3)

    Câu 3.1 trang 27 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Rút gọn phân thức :
    a. \({{{x^4} - {y^4}} \over {{y^3} - {x^3}}}\)
    b. \({{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} - 27} \right)}}\)
    c. \({{2{x^3} + {x^2} - 2x - 1} \over {{x^3} + 2{x^2} - x - 2}}\)
    Giải:
    a. \({{{x^4} - {y^4}} \over {{y^3} - {x^3}}}\) \( = {{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {{x^2} - {y^2}} \right)} \over {\left( {y - x} \right)\left( {{y^2} + xy + {x^2}} \right)}} = {{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)} \over {\left( {y - x} \right)\left( {{y^2} + xy + {x^2}} \right)}}\)
    \( = - {{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x - y} \right)} \over {\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} = {{\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\left( {x + y} \right)} \over {{x^2} + xy + {y^2}}}\)
    b. \({{\left( {2x - 4} \right)\left( {x - 3} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {3{x^2} - 27} \right)}}\) \( = {{2\left( {x - 2} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x - 2} \right)3\left( {{x^2} - 9} \right)}} = {{2\left( {x + 3} \right)} \over {3\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)}} = {2 \over {3\left( {x - 3} \right)}}\)
    c. \({{2{x^3} + {x^2} - 2x - 1} \over {{x^3} + 2{x^2} - x - 2}}\)\( = {{2x\left( {{x^2} - 1} \right) + \left( {{x^2} - 1} \right)} \over {x\left( {{x^2} - 1} \right) + 2\left( {{x^2} - 1} \right)}} = {{\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)} \over {\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {{2x + 1} \over {x + 2}}\)

    Câu 3.2 trang 27 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Rút gọn phân thức:
    Q\( = {{{x^{10}} - {x^8} - {x^7} + {x^6} + {x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} + 1} \over {{x^{30}} + {x^{24}} + {x^{18}} + {x^{12}} + {x^6} + 1}}\)
    Giải:
    Q\( = {{{x^{10}} - {x^8} - {x^7} + {x^6} + {x^5} + {x^4} - {x^3} - {x^2} + 1} \over {{x^{30}} + {x^{24}} + {x^{18}} + {x^{12}} + {x^6} + 1}}\)
    \(\eqalign{ & = {{\left( {{x^{10}} - {x^8} + {x^6}} \right) - \left( {{x^7} - {x^5} + {x^3}} \right) + \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)} \over {\left( {{x^{30}} + {x^{24}} + {x^{18}}} \right) + \left( {{x^{12}} + {x^6} + 1} \right)}} \cr & = {{{x^6}\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right) - {x^3}\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right) + \left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)} \over {{x^{18}}\left( {{x^{12}} + {x^6} + 1} \right) + \left( {{x^{12}} + {x^6} + 1} \right)}} \cr & = {{\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^6} - {x^3} + 1} \right)} \over {\left( {{x^{12}} + {x^6} + 1} \right)\left( {{x^{18}} + 1} \right)}} = {{\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^6} - {x^3} + 1} \right)} \over {\left( {{x^{12}} + 2{x^6} + 1 - {x^6}} \right)\left[ {{{\left( {{x^6}} \right)}^3} + 1} \right]}} \cr & = {{\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^6} - {x^3} + 1} \right)} \over {\left[ {{{\left( {{x^6} + 1} \right)}^2} - {{\left( {{x^3}} \right)}^2}} \right]\left( {{x^6} + 1} \right)\left( {{x^{12}} - {x^6} + 1} \right)}} \cr & = {{\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^6} - {x^3} + 1} \right)} \over {\left( {{x^6} + {x^3} + 1} \right)\left( {{x^6} + 1 - {x^3}} \right)\left( {{x^6} + 1} \right)\left( {{x^{12}} - {x^6} + 1} \right)}} \cr & = {{{x^4} - {x^2} + 1} \over {\left( {{x^6} + {x^3} + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^4} - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^{12}} - {x^6} + 1} \right)}} \cr & = {1 \over {\left( {{x^6} + {x^3} + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^{12}} - {x^6} + 1} \right)}} \cr} \)