Sách bài tập Toán 8 - Phần Đại số - Chương III - Ôn tập chương III - Phương trình bậc nhất một ẩn

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 62 trang 16 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Cho hai biểu thức A = \({5 \over {2m + 1}}\) và B = \({4 \over {2m - 1}}\)
    Hãy tìm các giá trị của m để hai biểu thức ấy có giá trị thỏa mãn hệ thức
    a. 2A + 3B = 0
    b. AB = A + B
    Giải:
    Ta có: A = \({5 \over {2m + 1}}\) và B = \({4 \over {2m - 1}}\) ĐKXĐ: \(m \ne \pm {1 \over 2}\)
    a.
    \(\eqalign{ & 2A + 3B = 0 \cr & \Leftrightarrow 2.{5 \over {2m + 1}} + 3.{4 \over {2m - 1}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {{10} \over {2m + 1}} +{{12} \over {2m - 1}} = 0 \cr & \Leftrightarrow {{10\left( {2m - 1} \right)} \over {\left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 1} \right)}} + {{12\left( {2m + 1} \right)} \over {\left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 1} \right)}} = 0 \cr & \Leftrightarrow 10\left( {2m - 1} \right) + 12\left( {2m + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 20m - 10 + 24m + 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow 44m + 2 = 0 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow m = - {1 \over {22}}\) (thỏa mãn)
    Vậy \(m = - {1 \over {22}}\) thì 2A + 3B = 0
    b. \(\eqalign{ & A.B = A + {\rm B} \cr & \Rightarrow {5 \over {2m + 1}}.{4 \over {2m - 1}} = {5 \over {2m + 1}} + {4 \over {2m - 1}} \cr} \)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{20} \over {\left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 1} \right)}} = {{5\left( {2m - 1} \right)} \over {\left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 1} \right)}} + {{4\left( {2m + 1} \right)} \over {\left( {2m + 1} \right)\left( {2m - 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 20 = 5\left( {2m - 1} \right) + 4\left( {2m + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 20 = 10m - 5 + 8m + 4 \cr & \Leftrightarrow 18m = 21 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow m = {7 \over 6}\) (thỏa mãn)
    Vậy \(m = {7 \over 6}\) thì A.B = A + B.

    Câu 63 trang 16 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Tính gần đúng nghiệm của các phương trình sau, làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai (dùng máy tính bỏ túi để tính toán)
    a. \(\left( {x\sqrt {13} + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - x\sqrt 3 } \right) = 0\)
    b. \(\left( {x\sqrt {2,7} - 1,54} \right)\left( {\sqrt {1,02} + x\sqrt {3,1} } \right) = 0\)
    Giải:
    a. \(\left( {x\sqrt {13} + \sqrt 5 } \right)\left( {\sqrt 7 - x\sqrt 3 } \right) = 0\)
    \( \Leftrightarrow x\sqrt {13} + \sqrt 5 = 0\) hoặc \(\sqrt 7 - x\sqrt 3 = 0\)
    + \(x\sqrt {13} + \sqrt 5 = 0 \Leftrightarrow x = - {{\sqrt 5 } \over {\sqrt {13} }} \approx - 0,62\)
    + \(\sqrt 7 - x\sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow x = {{\sqrt 7 } \over {\sqrt 3 }} \approx 1,53\)
    Vậy phương trình có nghiệm x = -0,62 hoặc x = 1,53.
    b. \(\left( {x\sqrt {2,7} - 1,54} \right)\left( {\sqrt {1,02} + x\sqrt {3,1} } \right) = 0\)
    \( \Leftrightarrow x\sqrt {2,7} - 1,54 = 0\) hoặc \(\sqrt {1,02} + x\sqrt {3,1} = 0\)
    + \(x\sqrt {2,7} - 1,54 = 0 \Leftrightarrow x = {{1,54} \over {\sqrt {2,7} }} \approx 0,94\)
    + \(\sqrt {1.02} + x\sqrt {3,1} = 0 \Leftrightarrow x = - {{\sqrt {1,02} } \over {\sqrt {3,1} }} \approx - 0,57\)
    Vậy phương trình có nghiệm x = 0,94 hoặc x = -0,57

    Câu 64 trang 16 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Giải các phương trình sau:
    a. \({{9x - 0,7} \over 4} - {{5x - 1,5} \over 7} = {{7x - 1,1} \over 3} - {{5\left( {0,4 - 2x} \right)} \over 6}\)
    b. \({{3x - 1} \over {x - 1}} - {{2x + 5} \over {x + 3}} = 1 - {4 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)
    c. \({3 \over {4\left( {x - 5} \right)}} + {{15} \over {50 - 2{x^2}}} = - {7 \over {6\left( {x + 5} \right)}}\)
    d. \({{8{x^2}} \over {3\left( {1 - 4{x^2}} \right)}} = {{2x} \over {6x - 3}} - {{1 + 8x} \over {4 + 8x}}\)
    Giải:
    a. \({{9x - 0,7} \over 4} - {{5x - 1,5} \over 7} = {{7x - 1,1} \over 3} - {{5\left( {0,4 - 2x} \right)} \over 6}\)
    \( \Leftrightarrow {{21\left( {9x - 0,7} \right)} \over {84}} - {{12\left( {5x - 1,5} \right)} \over {84}}\) = \({{28\left( {7x - 1,1} \right)} \over {84}} - {{70\left( {0,4 - 2x} \right)} \over {84}}\)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 21\left( {9x - 0,7} \right) - 12\left( {5x - 1,5} \right) = 28\left( {7x - 1,1} \right) - 70\left( {0,4 - 2x} \right) \cr & \Leftrightarrow 189x - 14,7 - 60x + 18 = 196x - 30,8 - 28 + 140x \cr & \Leftrightarrow 189x - 60x - 196x - 140x = - 30,8 - 28 + 14,7 - 18 \cr & \Leftrightarrow - 207x = - 62,1 \cr & \Leftrightarrow x = 0,3 \cr} \)
    Vậy phương trình có nghiệm x = 0,3
    b. \({{3x - 1} \over {x - 1}} - {{2x + 5} \over {x + 3}} = 1 - {4 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\) ĐKXĐ: \(x \ne 1\)và \(x \ne 3\)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left( {3x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} - {{\left( {2x + 5} \right)\left( {x - 1} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} - {4 \over {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {3x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) - \left( {2x + 5} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right) - 4 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} + 9x - x - 3 - 2{x^2} + 2x - 5x + 5 = {x^2} + 3x - x - 3 - 4 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 2{x^2} - {x^2} + 9x - x + 2x - 5x - 3x + x = - 3 - 4 + 3 - 5 \cr & \Leftrightarrow 3x = - 9 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x = - 3\) (loại)
    Vậy phương trình vô nghiệm
    c. \({3 \over {4\left( {x - 5} \right)}} + {{15} \over {50 - 2{x^2}}} = - {7 \over {6\left( {x + 5} \right)}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 5\)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {3 \over {4\left( {x - 5} \right)}} + {{15} \over {2\left( {25 - {x^2}} \right)}} = - {7 \over {6\left( {x + 5} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {3 \over {4\left( {x - 5} \right)}} - {{15} \over {2\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} = - {7 \over {6\left( {x + 5} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {{9\left( {x + 5} \right)} \over {12\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} - {{90} \over {12\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} = - {{14\left( {x - 5} \right)} \over {12\left( {x + 5} \right)\left( {x - 5} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 9\left( {x + 5} \right) - 90 = - 14\left( {x - 5} \right) \cr & \Leftrightarrow 9x + 45 - 90 = - 14x + 70 \cr & \Leftrightarrow 9x + 14x = 70 - 45 + 90 \cr & \Leftrightarrow 23x = 115 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x = 5\) (loại)
    Vậy phương trìnhvô nghiệm
    d. \({{8{x^2}} \over {3\left( {1 - 4{x^2}} \right)}} = {{2x} \over {6x - 3}} - {{1 + 8x} \over {4 + 8x}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm {1 \over 2}\)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{8{x^2}} \over {3\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} = {{ - 2x} \over {3\left( {1 - 2x} \right)}} - {{1 + 8x} \over {4\left( {1 + 2x} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {{32{x^2}} \over {12\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} = {{ - 8x\left( {1 + 2x} \right)} \over {12\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} - {{3\left( {1 + 8x} \right)\left( {1 - 2x} \right)} \over {12\left( {1 - 2x} \right)\left( {1 + 2x} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 32{x^2} = - 8x - 16{x^2} - 3\left( {1 - 2x + 8x - 16{x^2}} \right) \cr & \Leftrightarrow 32{x^2} = - 8x - 16{x^2} - 3 - 18x + 48{x^2} \cr & \Leftrightarrow 32{x^2} + 16{x^2} - 48{x^2} + 18x + 8x = - 3 \cr & \Leftrightarrow 26x = - 3 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x = - {3 \over {26}}\) (thỏa mãn)
    Vậy phương trình có nghiệm \(x = - {3 \over {26}}\)

    Câu 65 trang16 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Cho phương trình (ẩn x): \(4{x^2} - 25 + {k^2} + 4kx = 0\)
    a. Giải phương trình với k = 0
    b. Giải phương trình với k = -3
    c. Tìm các giá trị của k sao cho phương trình nhận x = -2 làm nghiệm
    Giải:
    a. Khi k = 0 ta có phương trình:
    \(4{x^2} - 25 = 0\)
    \( \Leftrightarrow \left( {2x + 5} \right)\left( {2x - 5} \right) = 0\)
    \( \Leftrightarrow 2x + 5 = 0\) hoặc \(2x - 5 = 0\)
    + \(2x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = - {5 \over 2}\)
    + \(2x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = {5 \over 2}\)
    Vậy phương trình có nghiệm \(x = - {5 \over 2}\) hoặc \(x = {5 \over 2}\)
    b. Khi k = -3 ta có phương trình:
    \(4{x^2} - 25 + {\left( { - 3} \right)^2} + 4\left( { - 3} \right)x = 0\)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 4{x^2} - 25 + 9 - 12x = 0 \cr & \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x - 16 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 4x + x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x - 4} \right) + \left( {x - 4} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 4} \right) = 0 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x + 1 = 0\) hoặc \(x - 4 = 0\)
    + \(x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\)
    + \(x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\)
    Vậy phương trình có nghiệm x = -1 hoặc x = 4

    Câu 66 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Giải các phương trình sau:
    a. \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = \left( {x + 2} \right){x^2}\)
    b. \({{ - 7{x^2} + 4} \over {{x^3} + 1}} = {5 \over {{x^2} - x + 1}} - {1 \over {x + 1}}\)
    c. \(2{x^2} - x = 3 - 6x\)
    d. \({{x - 2} \over {x + 2}} - {3 \over {x - 2}} = {{2\left( {x - 11} \right)} \over {{x^2} - 4}}\)
    Giải:
    a. \(\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) = \left( {x + 2} \right){x^2}\)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) - \left( {x + 2} \right){x^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left[ {\left( {{x^2} - 3x + 5} \right) - {x^2}} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 3x + 5 - {x^2}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {5 - 3x} \right) = 0 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x + 2 = 0\)hoặc \(5 - 3x = 0\)
    + \(x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\)
    + \(5 - 3x = 0 \Leftrightarrow x = {5 \over 3}\)
    Vậy phương trình có nghiệm x = -2 hoặc \(x = {5 \over 3}\)
    b. \({{ - 7{x^2} + 4} \over {{x^3} + 1}} = {5 \over {{x^2} - x - 1}} - {1 \over {x + 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne - 1\)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{ - 7{x^2} + 4} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = {5 \over {{x^2} - x + 1}} - {1 \over {x + 1}} \cr & \Leftrightarrow {{ - 7{x^2} + 4} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = {{5\left( {x + 1} \right)} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - {{{x^2} - x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {{ - 7{x^2} + 4} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = {{5x + 5} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} - {{{x^2} - x + 1} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow - 7{x^2} + 4 = 5x + 5 - {x^2} + x - 1 \cr & \Leftrightarrow - 7{x^2} + {x^2} - 5x - x = 5 - 1 - 4 \cr & \Leftrightarrow - 6{x^2} - 6x = 0 \cr & \Leftrightarrow - {x^2} - x = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x = 0\)hoặc \(x + 1 = 0\)
    \( \Leftrightarrow x = 0\)hoặc \(x = - 1\) (loại)
    Vậy phương trình có nghiệm x = 0
    c.\(\eqalign{ & 2{x^2} - x = 3 - 6x \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - x + 6x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 6x} \right) - \left( {x + 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2x\left( {x + 3} \right) - \left( {x + 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {2x - 1} \right) = 0 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow 2x - 1 = 0\)hoặc \(x + 3 = 0\)
    + \(2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = {1 \over 2}\)
    + \(x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 3\)
    Vậy phương trình có nghiệm x = -3 hoặc \(x = {1 \over 2}\)
    d. \({{x - 2} \over {x + 2}} - {3 \over {x - 2}} = {{2\left( {x - 11} \right)} \over {{x^2} - 4}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm 2\)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x - 2} \over {x + 2}} - {3 \over {x - 2}} = {{2x - 22} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} - {{3\left( {x + 2} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = {{2x - 22} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) = 2x - 22 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2x + 4 - 3x - 6 = 2x - 22 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 2x - 3x - 2x + 4 - 6 + 22 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 9x + 20 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 5x - 4x + 20 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x - 5} \right) - 4\left( {x - 5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x - 4 = 0\) hoặc \(x - 5 = 0\)
    + \(x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 4\)
    + \(x - 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5\)
    Vậy phương trình có nghiệm x = 4 hoặc x = 5.

    Câu 67 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Số nhà của Khanh là một số tự nhiên có hai chữ số. Nếu thêm chữ số 5 vào bên trái số đó thì được một số kí hiệu là A. Nếu thêm chữ số 5 vào bên phải số đó thì được một số kí hiệu là B. Tìm số nhà của Khanh, biết rằng A – B = 153.
    Giải:
    Gọi x là số nhà bạn Khanh. Điều kiện: và
    Thêm số 5 vào bên trái số nhà bạn Khanh ta được:
    \(A = \overline {5x} = 500 + x\)
    Thêm số 5 vào bên phải số nhà bạn Khanh ta được:
    \(B = \overline {x5} = 10x + 5\)
    Vì hiệu của A – B = 153 nên ta có phương trình:
    \(\eqalign{ & \left( {500 + x} \right) - \left( {10x + 5} \right) = 153 \cr & \Leftrightarrow 500 + x - 10x + 5 = 153 \cr & \Leftrightarrow - 9x = 153 - 500 - 5 \cr & \Leftrightarrow - 9x = - 342 \cr} \)
    \(x = 38\) ( thỏa mãn)
    Vậy số nhà bạn Khanh là 38.

    Câu 68 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Một đội thợ mỏ lập kế hoạch khai thác than, theo đó mỗi ngày phải khai thác được 50 tấn than. Khi thực hiện, mỗi ngày đội khai thác được 57 tấn than. Do đó, đội đã hoàn thành kế hoạch trước một ngày và vượt mức 13 tấn than. Hỏi theo kế hoạch, đội phải khai thác bao nhiêu tấn than ?
    Giải:
    Gọi x (tấn) là khối lượng than khai thác theo kế hoạch. ĐK: x > 0.
    Thời gian dự định làm là \({x \over {50}}\) (ngày)
    Khối lượng than thực tế khai thác là x + 13 (tấn)
    Thời gian thực tế làm là \({{x + 13} \over {57}}\) (ngày)
    Vì thời gian hoàn thành sớm hơn kế hoạch một ngày nên ta có phương trình:
    \(\eqalign{ & {x \over {50}} - {{x + 13} \over {57}} = 1 \cr & \Leftrightarrow {{57x} \over {2850}} - {{50\left( {x + 13} \right)} \over {2850}} = {{2850} \over {2850}} \cr & \Leftrightarrow 57x - 50x - 650 = 2850 \cr & \Leftrightarrow 7x = 2850 + 650 \cr & \Leftrightarrow 7x = 3500 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x = 500\) (thỏa mãn)
    Vậy theo kế hoạch, đội phải khai thác 500 tấn than

    Câu 69 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Hai xe ô tô cùng khởi hành từ Lạng Sơn về Hà Nội, quãng đường dài 163 km.Trong 43km đầu, hai xe có cùng vận tốc. Nhưng sau đó chiếc xe thứ nhất tăng vận tốc lên gấp 1,2 lần vận tốc ban đầu, trong khi chiếc xe thứ hai vẫn duy trì vận tốc cũ. Do đó xe thứ nhất đã đến Hà Nội sớm hơn xe thứ hai 40 phút. Tính vận tốc ban đầu của hai xe.
    Giải:
    Gọi x (km/h) là vận tốc ban đầu của hai xe. Điểu kiện: x > 0.
    Quãng đường còn lại sau khi xe thứ nhất tăng vận tốc là:
    163 – 43 = 120 (km)
    Vận tốc xe thứ nhất sau khi tăng tốc là 1,2x (km/h)
    Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường còn lại là \({{120} \over {1,2x}}\) (giờ)
    Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường còn lại là \({{120} \over x}\) (giờ)
    Vì xe thứ nhất đến sớm hơn xe thứ hai 40 phút \( = {2 \over 3}\) giờ nên ta có phương trình:
    \(\eqalign{ & {{120} \over x} - {{120} \over {1,2x}} = {2 \over 3} \cr & \Leftrightarrow {{120} \over x} - {{100} \over x} = {2 \over 3} \cr & \Leftrightarrow {{360} \over {3x}} - {{300} \over {3x}} = {{2x} \over {3x}} \cr & \Leftrightarrow 360 - 300 = 2x \cr & \Leftrightarrow 2x = 60 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x = 30\) (thỏa)
    Vậy vận tốc ban đầu của hai xe là 30 km/h.

    Câu 70 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Một đoàn tàu hỏa từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh. 1 giờ 48 phút sau, một đoàn tàu hỏa khác khởi hành từ Nam Định cũng đi Thành phố Hồ Chí Minh với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 5 km/h. Hai đoàn tàu gặp nhau ( tại một ga nào đó) sau 4 giờ 48 phút kể từ khi đoàn tàu thứ nhất khởi hành. Tính vận tốc mỗi đoàn tàu, biết rằng ga Nam Định nằm trên đường từ Hà Nội đi Thành phố Hồ Chí Minh và cách ga Hà Nội 87 km.
    Giải:
    Gọi x (km/h) là vận tốc của đoàn tàu thứ hai. Điều kiện: x > 0.
    Vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là x + 5 (km/h)
    Khi gặp nhau thì đoàn tàu thứ nhất đi được 4 giờ 48 phút. Vì đoàn tàu thứ hai đi sau 1 giờ 48 phút nên đoàn tàu thứ nhất đi được 3 giờ.
    Thời gian đoàn tàu thứ nhất đi được khi hai tàu gặp nhau là:
    4 giờ 48 phút = \(4{4 \over 5}\) giờ \({{24} \over 5}\) giờ
    Quãng đường đoàn tàu thứ hai đi được từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp nhau là 3x (km)
    Quãng đường đoàn tàu thứ nhất đi được từ lúc khởi hành đến lúc hai đoàn tàu gặp nhau là \({{24} \over 5}\left( {x + 5} \right)\) (km)
    Theo đề bài ta có phương trình:
    \(\eqalign{ & {{24} \over 5}\left( {x + 5} \right) = 3x + 87 \cr & \Leftrightarrow {{24} \over 5}x + 24 = 3x + 87 \cr & \Leftrightarrow {{24} \over 5}x - 3x = 87 - 24 \cr & \Leftrightarrow {9 \over 5}x = 63 \cr} \)
    \(x = 35\) (thỏa mãn)
    Vận tốc của đoàn tàu thứ hai là 35km/h, vận tốc của đoàn tàu thứ nhất là 35 + 5 = 40 (km/h).

    Câu 71 trang 17 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Lúc 7 giờ sáng, một chiếc ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B, cách nhau 36km, rồi ngay lập tức quay trở về và đến bến A lúc 11 giờ 30 phút. Tính vận tốc của ca nô khi xuôi dòng, biết rằng vận tốc nước chảy là 6 km/h.
    Giải:
    Gọi x (km/h) là vận tốc thực của ca nô. Điều kiện: x > 6
    Vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là x + 6 (km/h)
    Vận tốc của ca nô khi ngược dòng là x – 6 (km/h)
    Thời gian lúc ca nô đi xuôi dòng là \({{36} \over {x + 6}}\) (giờ)
    Thời gian lúc ca nô đi ngược dòng là \({{36} \over {x - 6}}\) (giờ)
    Thời gian ca nô đi và về:
    11 giờ 30 phút – 7 giờ = 4 giờ 30 phút = \(4{1 \over 2}\) giờ = \({9 \over 2}\) giờ
    Theo đề bài, ta có phương trình:
    \({{36} \over {x + 6}} + {{36} \over {x - 6}} = {9 \over 2}\)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{72\left( {x - 6} \right)} \over {2\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}} + {{72\left( {x + 6} \right)} \over {2\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}} = {{9\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)} \over {2\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right)}} \cr & \Leftrightarrow 72\left( {x - 6} \right) + 72\left( {x + 6} \right) = 9\left( {x + 6} \right)\left( {x - 6} \right) \cr & \Leftrightarrow 72x - 432 + 72x + 432 = 9{x^2} - 324 \cr & \Leftrightarrow 9{x^2} - 144x - 324 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 16x - 36 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 18x - 36 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x + 2} \right) - 18\left( {x + 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 18} \right) = 0 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x + 2 = 0\) hoặc \(x - 18 = 0\)
    + \(x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\) (loại)
    + \(x - 18 = 0 \Leftrightarrow x = 18\) (thỏa mãn)
    Vậy vận tốc thực của ca nô là 18 km/h, suy ra vận tốc của ca nô lúc xuôi dòng là 18 + 6 = 24 (km/h).

    Câu III.1 trang 18 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Giải các phương trình sau:
    a. \({{13} \over {\left( {2x + 7} \right)\left( {x - 3} \right)}} + {1 \over {2x + 7}} = {6 \over {{x^2} - 9}}\)
    b. \({\left( {1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}} \right)^3} + 6{\left( {1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}} \right)^2} = {{12\left( {2x - 1} \right)} \over {x + 1}} - 20\)
    Giải:
    a. ĐKXĐ: \(x \ne - {7 \over 2}\)và \(x \ne \pm 3\). Mẫu chung là \(\left( {2x + 7} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\)
    Khử mẫu ta được:
    \(\eqalign{ & 13\left( {x + 3} \right) + \left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) = 6\left( {2x + 7} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4x - 3x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x + 4} \right) - 3\left( {x + 4} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 4} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \)
    \( \Leftrightarrow x = - 4\) hoặc \(x = 3\)
    Trong hai giá trị tìm được, chỉ có x = -4 là thỏa mãn ĐKXĐ. Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất x = -4.
    b. Đặt y \( = 1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}\), ta có:
    \({{12\left( {2x - 1} \right)} \over {x + 1}} - 20 = - 12\left( {1 - {{2x - 1} \over {x + 1}}} \right) - 8 = - 12y - 8\)
    Do đó phương trình đã cho có dạng \({y^3} + 6{y^2} = - 12y - 8\) . Giải phương trình này:
    \(\eqalign{ & {y^3} + 6{y^2} = - 12y - 8 \cr & \Leftrightarrow {y^3} + 3{y^2}.2 + 3y{.2^2} + {2^3} = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {y + 2} \right)^3} = 0 \cr & \Leftrightarrow y = - 2 \cr} \)
    Vậy phương trình đã cho tương đương với phương trình
    \(1 - {{2x - 1} \over {x + 1}} = - 2\) hay \({{2x - 1} \over {x + 1}} = 3\)
    ĐKXĐ của phương trình là . Giải phương trình này bằng cách khử mẫu, ta được:
    \(\eqalign{ & 2x - 1 = 3\left( {x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow x = - 4 \cr} \)
    Giá trị x = -4 thỏa mãn ĐKXĐ nên là nghiệm của phương trình đã cho.

    Câu III.2 trang 18 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    a. Cho ba số a, b và c đôi một phân biệt. Giải phương trình
    \({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + {x \over {\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + {x \over {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 2\)
    b. Cho số a và ba số b, c, d khác a và thỏa mãn điều kiện c + d = 2b. Giải phương trình
    \({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - {{2x} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - d} \right)}} + {{3x} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} = {{4a} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\)
    Giải:
    a. \({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} + {x \over {\left( {b - a} \right)\left( {b - c} \right)}} + {x \over {\left( {c - a} \right)\left( {c - b} \right)}} = 2\)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x\left( {c - b} \right) + x\left( {a - c} \right) + x\left( {b - a} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)}} = 2 \cr & \Leftrightarrow 0x = 2\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right) \cr} \)
    Do a, b, c đôi một khác nhau nên . Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
    b. \({x \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)}} - {{2x} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - d} \right)}} + {{3x} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} = {{4a} \over {\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}}\)
    \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x\left( {a - d} \right) - 2x\left( {a - c} \right) + 3x\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} = {{4a\left( {a - b} \right)} \over {\left( {a - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {a - d} \right)}} \cr & \Leftrightarrow x\left( {a - d - 2a + 2c + 3a - 3b} \right) = 4a\left( {a - b} \right) \cr & \Leftrightarrow x\left( {2a - 3b + 2c - d} \right) = 4a\left( {a - b} \right) \cr & \Leftrightarrow x\left( {2a - 3b + 2c - d} \right) = 4a\left( {a - b} \right) \cr} \)
    Theo giả thiết, b + d = 2c nên 2a – 3b + 2c – d = 2a – 2b = 2 (a – b ). Do đó phương trình đã cho tương đương với phương trình
    \(2\left( {a - b} \right)x = 4a\left( {a - b} \right)\)
    Để ý rằng a – b ≠ 0, ta thấy ngay phương trình cuối có nghiệm duy nhất x = 2a. Vậy phương trình đã cho cũng có nghiệm duy nhất x =2a.

    Câu III.3 trang 18 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Cần phải thêm vào tử và mẫu của phân số \({{13} \over {18}}\) với cùng một số tự nhiên nào để được phân số \({4 \over 5}\)?
    Giải:
    Gọi x là số tự nhiên cần thêm vào cả tử và mẫu của phân số \({{13} \over {18}}\) để được phân số \({4 \over 5}\) , ta có phương trình
    \({{13 + x} \over {18 + x}} = {4 \over 5}\)
    Giải phương trình trên chú ý rằng x > 0, ta được x = 7
    Vậy số tự nhiên cần tìm là 7.

    Câu III.4 trang 18 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Cách đây 10 năm, tuổi của người thứ nhất gấp 3 lần tuổi của người thứ hai. Sau đây 2 năm, tuổi của người thứ hai bằng nửa tuổi của người thứ nhất. Hỏi hiện nay, tuổi của mỗi người là bao nhiêu ?
    Giải:
    Gọi tuổi hiện nay của người thứ nhất là x (x nguyên dương). Ta có thể lập bảng:
    Tuổi của người thứ nhấtTuổi của người thứ hai
    Cách đây 10 năm\(3\left( {x - 10} \right)\)\(x - 10\)
    Hiện nay\(3\left( {x - 10} \right) + 10 = 2\left( {x + 2} \right) - 2\)\(x\)
    Sau đây 2 năm\(2\left( {x + 2} \right)\)\(x + 2\)
    Từ đó ta có phương trình \(3\left( {x - 10} \right) + 10 = 2\left( {x + 2} \right) - 2\)
    Giải phương trình này ta được x = 22, thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy tuổi hiện nay của người thứ hai là 22 và của người thứ nhất là
    \(2\left( {x + 2} \right) - 2 = 46\)