Câu 1 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính tổng các góc ngoài của tứ giác (tại mỗi đỉnh của tứ giác chỉ chọn một góc ngoài). Giải: Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat B_1} + {\widehat C_1} + {\widehat D_1} = {360^0}\) (tổng các góc của tứ giác) Tại mỗi đỉnh của tứ giác tổng một góc trong và một góc ngoài bằng 180° nên \(\eqalign{ & {\widehat A_1} + {\widehat A_2} + {\widehat B_1} + {\widehat B_2} + {\widehat C_1} + {\widehat C_2} + {\widehat D_1} + {\widehat D_2} \cr & = {180^0}.4 = {720^0} \cr & \Rightarrow {\widehat A_2} + {\widehat B_2} + {\widehat C_2} + {\widehat D_2} \cr & = {720^0} - \left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat B}_1} + {{\widehat C}_1} + {{\widehat D}_1}} \right) \cr & = {720^0} - {360^0} = {360^0} \cr} \) Câu 2 trang 80 Sách bài tập(SBT) Toán 8 tập 1. Tứ giác ABCD có AB=BC, CD=DA. a. Chứng minh rằng BD là đường trung trực của AC b. Cho biết \(\widehat B = {100^0},\widehat D = {70^0}\) tính \(\widehat A\) và \(\widehat C\). Giải: a) BA=BC (gt) ⇒ điểm B thuộc đường trung trực của AC DA=DC (gt) ⇒ điểm D thuộc đường trung trực của AC B và D là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường trung trực của AC nên đường thẳng BD là đường trung trực của AC. b) Xét ∆ BAD và ∆ BCD, ta có: BA = BC (gt) DA = DC (gt) BD cạnh chung Do đó ∆ BAD =∆ BCD (c.c.c) \(\Rightarrow \widehat {BAD} = \widehat {BCD}\) \(\eqalign{ & \widehat {BAD} + \widehat {BCD} + \widehat {ABC} + \widehat {ADC} = {360^0} \cr & \widehat {BAD} + \widehat {BAD} = {360^0} - \left( {\widehat {ABC} + \widehat {ADC}} \right) \cr & 2\widehat {BAD} = {360^0} - \left( {{{100}^0} + {{70}^0}} \right) = {190^0} \cr & \Rightarrow \widehat {BAD} = {190^0}:2 = {95^0} \cr & \Rightarrow \widehat {BCD} = \widehat {BAD} = {95^0} \cr} \) Câu 3 trang 80 Sách bài tập(SBT) Toán 8 tập 1. Vẽ lại tứ giác ABCD ở hình 1 vào vở bằng cách vẽ hai tam giác. Giải: Vẽ ∆ABD, biết ba cạnh: AD = 4cm, BD = 3cm, AB = 2.5 cm. Vẽ ∆BCD, biết hai cạnh và góc xen giữa: BD = 3cm, \(\widehat {DBC} = {60^0}\) , BC = 3cm (A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ BD) Câu 4 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính các góc của tứ giác ABCD, biết rằng: \(\widehat A:\widehat B:\widehat C:\widehat D = 1:2:3:4\) Giải: Theo bài ra ta có: \({{\widehat A} \over 1} = {{\widehat B} \over 2} = {{\widehat C} \over 3} = {{\widehat D} \over 4};\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0}\) (tổng các góc của tứ giác) Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có: \(\eqalign{ & {{\widehat A} \over 1} = {{\widehat B} \over 2} = {{\widehat C} \over 3} = {{\widehat D} \over 4} \cr & = {{\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D} \over {1 + 2 + 3 + 4}} \cr & = {{{{360}^0}} \over {10}} = {36^0} \cr & \widehat A = {1.36^0} = {36^0} \cr & \widehat B = {2.36^0} = {72^0} \cr & \widehat C = {3.36^0} = {108^0} \cr & \widehat D = {4.36^0} = {144^0} \cr} \) Câu 5 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tứ giác ABCD có \(\widehat A = {65^0},\widehat B = {117^0},\widehat C = {71^0}\). Tính số đo góc ngoài tại định D Giải: Trong tứ giác ABCD ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0}\) (tổng các góc trong tứ giác) \(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat D = {360^0} - \left( {\widehat A + \widehat B + \widehat C} \right) \cr & = {360^0} - \left( {{{65}^0} + {{117}^0} + {{71}^0}} \right) = {107^0} \cr} \) \(\widehat D + \widehat {{D_1}} = {180^0}\) (2 góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {{D_1}} = {180^0} - \widehat D = {180^0} - {107^0} = {73^0}\) Câu 6 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng các góc của một tứ giác không thể đều là góc nhọn, không thể đều là góc tù. Giải: Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc nhọn thì tổng bốn góc của tứ giác nhỏ hơn 360°, trái với tính chất tổng các góc của tứ giác bằng 360°. Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc nhọn. Giả sử cả bốn góc của tứ giác đều là góc tù thì tổng bốn góc của tứ giác lớn hơn 360°, trái với tính chất tổng các góc của tứ giác bằng 360°. Vậy bốn góc của tứ giác không thể đều là góc tù. Câu 7 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng tổng hai góc ngoài tại các đỉnh A và C bằng tổng hai góc trong tạo các đỉnh B và D Giải: Gọi \(\widehat {{A_1},}\widehat {{C_1}}\) là góc trong của tứ giác tại đỉnh A và C. \({\widehat A_2},{\widehat C_2}\) là góc ngoài tại đỉnh A và C. Ta có: \({\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {180^0}\) (2 góc kề bù) \(\Rightarrow {\widehat A_2} = {180^0} - {\widehat A_1}\) \({\widehat C_1} + {\widehat C_2} = {180^0}\) (2 góc kề bù) \( \Rightarrow {\widehat C_2} = {180^0} - {\widehat C_1}\) Suy ra: \(\eqalign{ & {\widehat A_2} + {\widehat C_2} = {180^0} - {\widehat A_1} + {180^0} - {\widehat C_1} \cr & = {360^0} - \left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat C}_1}} \right) \cr}\) (1) Trong tứ giác ABCD ta có: \({\widehat A_1} + \widehat B + {\widehat C_1} + \widehat D = {360^0}\) (tổng các góc của tứ giác) \(\Rightarrow \widehat B + \widehat D = {360^0} - \left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat C}_1}} \right)\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \({\widehat A_2} + {\widehat C_2} = \widehat B + \widehat D\) Câu 8 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tứ giác ABCD có \(\widehat A = {110^0},\widehat B = {100^0}\). Các tia phân giác của các góc C và D cắt nhau ở E. Các đường phân giác của các góc ngoài tại các đỉnh C và D cắt nhau ở F. Tính \(\widehat {CED},\widehat {CFD}\) Giải: - Trong tứ giác ABCD, ta có: \(\eqalign{ & \widehat A + \widehat B + \widehat C + \widehat D = {360^0} \cr & \Rightarrow \widehat C + \widehat D = {360^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right) \cr & = {360^0} - \left( {{{110}^0} + {{100}^0}} \right) = {150^0} \cr & {\widehat D_1} + {\widehat C_1} = {{\widehat C + \widehat D} \over 2} = {{{{150}^0}} \over 2} = {75^0} \cr} \) - Trong ∆CED, ta có: \(\widehat {CED} = {180^0} - \left( {{{\widehat C}_1} + {{\widehat D}_1}} \right) = {180^0} - {75^0} = {105^0}\) DE ⊥ DF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù) \(\Rightarrow \widehat {EDF} = {90^0}\) CE ⊥ CF (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù) \( \Rightarrow \widehat {ECF} = {90^0}\) Trong tứ giác CEDF, ta có: \(\eqalign{ & \widehat {DEC} + \widehat {EDF} + \widehat {DFC} + \widehat {ECF} = {360^0} \cr & \Rightarrow \widehat {DFC} = {360^0} - \left( {\widehat {DEC} + \widehat {EDF} + \widehat {ECF}} \right) \cr & \widehat {DFC} = {360^0} - \left( {{{105}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right) = {75^0} \cr} \) Câu 9 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn tổng hai cạnh đối. Giải: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Trong ∆OAB, ta có: OA + OB > AB (bất đẳng thức tam giác) (1) Trong ∆OCD, ta có: OC + OD > CD (bất đẳng thức tam giác) (2) Cộng từng vế (1) và (2): OA + OB + OC + OD > AB + CD ⇒ AC + BD > AB + CD Câu 10 trang 80 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng trong một tứ giác, tổng hai đường chéo lớn hơn nửa chu vi nhưng nhỏ hơn chu vi của tứ giác ấy. Giải: Đặt độ dài AB = a, BC = b, CD = c, AD = d Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Trong ∆OAB, ta có: OA + OA > a (bất đẳng thức tam giác) (1) Trong ∆OCD ta có: Từ (1) và (2) suy ra: OA + OB + OC + OD > a + c Hay AC + BD > a + c (*) -Trong ∆OAD ta có: OA + OD > d (bất đẳng thức tam giác) (3) -Trong ∆OBC ta có: OB + OC > b (bất đẳng thức tam giác) (4) Từ (3) và (4) suy ra: OA + OD + OB + OC > b + d ⇒ AC + BD > b + d (**) Từ (*) và (**) suy ra: 2(AC + BD) > a + b + c + d \(⇒ AC + BD > {{a + b + c + d} \over 2}\) -Trong ∆ABC ta có: AC < AB + BC = a + b (bất đẳng thức tam giác) -Trong ∆ADC ta có: AC < AD + DC = c + d (bất đẳng thức tam giác) Suy ra: 2AC < a + b + c + d \(AC < {{a + b + c + d} \over 2}\) (5) -Trong ∆ABD ta có: BD < AB + AD = a + d (bất đẳng thức tam giác) -Trong ∆BCD ta có: BD < BC + CD = b + c (bất đẳng thức tam giác) Suy ra: 2BD < a + b + c + d \(BD < {{a + b + c + d} \over 2}\) (6) Từ (5) và (6) suy ra: AC + BD < a + b + c + d Câu 1.1 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1. Tứ giác ABCD có . Khẳng định nào dưới đây là đúng? A. \(\widehat A = {65^0}\) B. \(\widehat B = {85^0}\) C. \(\widehat C = {100^0}\) D. \(\widehat D = {90^0}\) Giải: Chọn B. \(\widehat B = {85^0}\) Câu 1.2 trang 81 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1. Tứ giác ABCD có \(\widehat C = {60^0},\widehat D = {80^0},\widehat A - \widehat B = {10^0}\). Tính số đo góc A và B Giải: \(\eqalign{ & \widehat A + \widehat B = {360^0} - \left( {{{60}^0} + {{80}^0}} \right) = {220^0} \cr & \widehat A - \widehat B = {10^0} \cr} \) Vậy \(\widehat A = {115^0},\widehat B = {105^0}\) Câu 1.3 trang Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1. Tứ giác ABCD có chu vi 66cm. Tính độ dài AC, biết chu vi tam giác ABC bằng 56cm, chu vi tam giác ACD bằng 60cm Giải: Chu vi ∆ABC + chu vi ∆ACD – chu vi ABCD =2AC ⇒ 2AC = 56 + 60 − 66 = 50 (cm) AC = 25 (cm)
