Câu 124 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho đoạn thẳng AB. Kẻ tia Ax bất kì, lấy các điểm C, D, E sao cho AC = CD = DE. Qua C và D kẻ các đường thẳng song song với EB. Chứng minh rằng đoạn thẳng AB bị chia ra ba phần bằng nhau. Giải: Gọi giao điểm của các đường thẳng kẻ từ C và D song song với BE cắt AB tại M và N. Ta có: AC = CD = DE (gt) CM // DN // BE Theo tính chất đường thẳng song song cách đều ta có: AM = MN = NB. Câu 125 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho góc vuông xOy, điểm A trên tia Oy. Điểm B di chuyển trên tia Ox. Gọi C là điểm đối xứng với A qua B. Điểm C di chuyển trên đường nào ? Giải: Vì điểm C đối xứng với điểm A qua điểm B ⇒ BA = BC Kẻ CH ⊥ Ox Xét hai tam giác vuông AOB và CHB: \(\widehat {AOB} = \widehat {CHB} = {90^0}\) BA = BC (chứng minh trên) \(\widehat {ABO} = \widehat {CBH}\) (đối đỉnh) Do đó: ∆ AOB = ∆ CHB (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ CH = AO A, O cố định ⇒ OA không đổi nên CH không đổi. C thay đổi cách Ox một khoảng bằng OA không đổi nên C chuyển động trên đường thẳng song song với Ox, cách Ox một khoảng OA. Khi B trùng O thì C trùng với điểm K đối xứng với A qua điểm O. Vậy C chuyển động trên tia Km // Ox, cách Ox một khoảng không đổi bằng OA. Câu 126 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC, điểm M di chuyển trên cạnh BC. Gọi I là trung điểm của AM. Điểm I di chuyển trên đường nào ? Giải: Kẻ AH ⊥ BC, IK ⊥ BC ⇒ AH // IK Trong tam giác AHM ta có: ⇒ AI = IM (gt) IK // AH (chứng minh trên) Suy ra: IK là đường trung bình của ∆ AHM ⇒ IK = \({1 \over 2}\)AH ∆ ABC cố định nên AH không thay đổi ⇒ IK = \({1 \over 2}\)AH không đổi. I thay đổi cách BC một khoảng bằng \({{AH} \over 2}\) không đổi nên I nằm trên đường thẳng song song với BC, cách BC một khoảng bằng\({{AH} \over 2}\). Khi M trùng với điểm B thì I trùng với P là trung điểm của AB. Khi M trùng với điểm C thì I trùng với Q là trung điểm của AC. Vậy khi M chuyển động trên cạnh BC của ∆ ABC thì trung điểm I của AM chuyển động trên đường trung bình PQ của ∆ ABC. Câu 127 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm M thuộc cạnh BC. Gọi D, E theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ M đến AB, AC. a. So sánh các độ dài AM, DE. b. Tìm vị trí của điểm M trên cạnh BC để DE có độ dài nhỏ nhất. Giải: a. Xét tứ giác ADME ta có: \(\widehat A = {90^0}\) (gt) MD ⊥ AB (gt) \( \Rightarrow \widehat {MDA} = {90^0}\) ME ⊥ AC (gt) \( \Rightarrow \widehat {MEA} = {90^0}\) Suy ra: Tứ giác ADME là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông) ⇒ AM = DE (tính chất hình chữ nhật) b. Ta có: AH ⊥ BC nên AM ≥ AH. Dấu “=” xảy ra khi M trùng với H. mà DE = AM (chứng minh trên) Vậy DE có độ dài nhỏ nhất bằng AH khi M là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Câu 128 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho điểm A nằm ngoài đường thẳng d. Điểm M di chuyển trên đường thẳng d. Gọi B là điểm đối xứng với A qua M. Điểm B di chuyển trên đường nào ? Giải: Kẻ AK ⊥ d, BH ⊥ d M thay đổi trên d, B đối xứng với A qua M nên AM = MB Xét hai tam giác vuông AKM và BHM: \(\widehat {AKM} = \widehat {BHM} = {90^0}\) AM = MB (chứng minh trên) \(\widehat {AMK} = \widehat {BMH}\) (đối đỉnh) Do đó: ∆ AKM = ∆ BHM (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ AK = BH Điểm A cố định, đường thẳng d cố định nên AK không thay đổi M thay đổi, B thay đổi cách đường thẳng d cố định một khoảng bằng AK không đổi nên B chuyển động trên đường thẳng xy song song với d một khoảng bằng AK. Câu 129 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho đoạn thẳng AB, điểm M di chuyển trên đoạn thẳng ấy. Vẽ về một phía của AB các tam giác đều AMD, BME. Trung điểm I của DE di chuyển trên đường nào ? Giải: Gọi giao điểm của AD và BE là C. ∆ ABC có: \(\widehat A = {60^0}\) (vì ∆ ADM đều) \(\widehat B = {60^0}\) (vì ∆ BEM đều) Suy ra: ∆ ABC đều, AC = AB = BC nên điểm C cố định \(\widehat A = \widehat {EMB} = {60^0}\) ⇒ ME // AC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau) hay ME // DC \(\widehat {DMA} = \widehat B = {60^0}\) ⇒ MD // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau) hay MD // EC Tứ giác CDME là hình bình hành I là trung điểm của DE nên I là trung điểm của CM Kẻ CH ⊥ AB, IK ⊥ AB ⇒ IK // CH Trong ∆ CHM ta có: CI = IM IK // CH nên IK là đường trung bình của ∆ CHM ⇒ IK = \({1 \over 2}\)CH C cố định ⇒ CH không đổi ⇒ IK =\({1 \over 2}\)CH không thay đổi nên I chuyển động trên đường thẳng song song AB, cách AB một khoảng bằng \({1 \over 2}\)CH. Khi M trùng với A thì I trùng trung điểm P của AC. Khi M trùng với B thì I trùng với trung điểm Q của BC. Vậy khi M chuyển động trên đoạn thẳng AB thì I chuyển động trên đoạn PQ (P là trung điểm của AC, Q là trung điểm của BC) Câu 130 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hình chữ nhật ABCD có cạnh AD bằng nửa đường chéo AC. Tính góc nhọn tạo bởi hai đường chéo. Giải: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. AC = BD (tính chất hình chữ nhật) ⇒ OA = OD = \({1 \over 2}\)AC AD = \({1 \over 2}\)AC (gt) Suy ra: OA = OD = AD ⇒ ∆ OAD đều \( \Rightarrow \widehat {AOD} = {60^0}\) Câu 131 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng hình chữ nhật ABCD, biết đường chéo AC = 4cm, góc tạo bởi hai đường chéo bằng 100°. Giải: Cách dựng: - Dựng ∆ OAB biết OA = OB = 2cm. \(\widehat {AOB} = {100^0}\) - Trên tia đối tia OA dựng điểm C sao cho OC = OA = 2cm - Trên tia đối tia OB dựng điểm D sao cho OD = OB = 2cm Nối AD, BC, CD ta có hình chữ nhật ABCD cần dựng. Chứng minh: OA = OC, OB = OD nên tứ giác ABCD là hình bình hành AC = BD = 4(cm) nên hình bình hành ABCD là hình chữ nhật Lại có : \(\widehat {AOB} = {100^0}\) Câu 10.1 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tập hợp giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật ABCD có A và B cố định là A. Đường trung trực của AD; B. Đường trung trực của AB; C. Đường trung trực của BC; D. Đường tròn (A; AB) Hãy chọn phương án đúng. Giải: Chọn B. Đường trung trực của AB. Đúng Câu 10.2 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho góc xOy cố định khác góc bẹt. Các điểm A và B theo thứ tự chuyển động trên các tia Ox và Oy sao cho OA = OB. Đường vuông góc với OA tại A và đường vuông góc với OB tại B cắt nhau ở M. Điểm M chuyển động trên đường nào ? Giải: Xét hai tam giác vuông MOA và MOB: \(\widehat {MAO} = \widehat {MBO} = {90^0}\) OA = OB (gt) OM cạnh huyền chung Do đó: ∆ MAO = ∆ MBO (cạnh huyền, cạnh góc vuông) \( \Rightarrow \widehat {AOM} = \widehat {BOM}\) A và B thay đổi, OA và OB luôn bằng nhau nên ∆ MAO và ∆ MBO luôn luôn bằng nhau do đó \(\widehat {AOM} = \widehat {BOM}\) Vậy khi A chuyển động trên Ox, B chuyển động trên Oy mà OA = OB thì điểm M chuyển động trên tia phân giác của góc xOy. Câu 10.3 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Xét các hình bình hành ABCD có cạnh AD cố định, cạnh AB = 2cm. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Điểm I chuyển động trên đường nào ? Giải: Gọi K là trung điểm của cạnh AD. ta có AD cố định nên điểm K cố định. Trong ∆ ABD ta có: IB = ID (tính chất hình bình hành) KA = KD (theo cách vẽ) nên KI là đường trung bình của ∆ ABD ⇒ KI = \({1 \over 2}\)AB =\({1 \over 2}\).2 = 1 (cm) (tính chất đường trung bình của tam giác) B và C thay đổi thì I thay đổi luôn cách điểm K cố định một khoảng không đổi nên I chuyển động trên (K ; 1 cm)
