Câu 132 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng trung điểm bốn cạnh của một hình chữ nhật là đỉnh của một hình thoi. Giải: Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA của hình chữ nhật ABCD. Kẻ đường chéo AC. - Trong ∆ ABC ta có: E là trung điểm của AB F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình của ∆ ABC ⇒ EF // AC và EF = \({1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1) - Trong ∆ ADC ta có: H là trung điểm AD G là trung điểm DC nên HG là đường trung bình của ∆ ADC. ⇒ HG // AC và HG = \({1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) - Xét ∆ AEH và ∆ DGH: AH = HG (gt) \(\widehat {EAH} = \widehat {GDH} = {90^0}\) AE = DG (vì AB = CD) Do đó: ∆ AEH = ∆ DGH (c.g.c) ⇒ HE = HG Vậy hình bình hành EFGH là hình thoi (vì có hai cạnh kề bằng nhau) Câu 133 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng trung điểm các cạnh của một hình thoi là đỉnh của một hình chữ nhật. Giải: Giả sử hình thoi ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. - Trong ∆ ABC ta có: E là trung điểm của AB F là trung điểm của BC nên EF là đường trung bình của tam giác ABC. ⇒ EF // AC và EF = \({1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (1) - Trong ∆ ADC ta có: H là trung điểm của AD G là trung điểm của CD nên HG là đường trung bình của ∆ ADC ⇒ HG // AC và HG = \({1 \over 2}\)AC ( tính chất đường trung bình của tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG Suy ra tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) Mặt khác: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi) EF // AC (chứng minh trên) Suy ra: EF ⊥ BD Trong ∆ ABD ta có EH là đường trung bình ⇒ EH // BD (tính chất đường trung bình của tam giác) Suy ra: EH ⊥ EF hay = 1v Vậy hình bình hành EFGH là hình chữ nhật. Câu 134 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng trong hình thoi: a. Giao điểm của hai đường chéo là tâm đối xứng của hình thoi b. Hai đường chéo là hai trục đối xứng của hình thoi. Giải: a. Hình bình hành có tâm đối xứng là giao điểm của hai đường chéo. Hình thoi cũng là một hình bình hành nên cũng có tâm đối xứng là giao điểm hai đường chéo của nó. b. Ta có: AC ⊥ BD (tính chất hình thoi) OB = OD ( tính chất hình thoi) nên AC là đường trung trực của BD. Do đó điểm đối xứng với điểm B qua AC là điểm D Điểm đối xứng với điểm A qua AC là điểm A Điểm đối xứng với điểm C qua AC là điểm C Vậy điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua AC cũng thuộc hình thoi. Do đó AC là trục đối xứng của hình thoi ABCD. OC = OA ( tính chất hình thoi) nên BD là đường trung trực của AC Do đó điểm đối xứng với điểm A qua BD là điểm C Điểm đối xứng với điểm B qua BD là điểm B Điểm đối xứng với điểm D qua BD là điểm D Vậy điểm đối xứng với mỗi đỉnh của hình thoi qua BD cũng thuộc hình thoi. Do đó BD là trục đối xứng của hình thoi ABCD. Câu 135 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tứ giác ABCD có tọa độ các đỉnh như sau: A(0; 2), B( 3; 0), C(0; −2 ), D(−3; 0). Tứ giác ABCD là hình gì ? Tính chu vi của tứ giác đó ? Giải: A(0; 2) và C(0; −2) nên hai điểm A và C đối xứng nhau qua O (0, 0) ⇒ OA = OC B(3; 0) và D(−3; 0) nên hai điểm B và D đối xứng qua O (0; 0) ⇒ OB = OD Tứ giác ABCD là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) Ox ⊥ Oy hay AC ⊥ BD Vậy tứ giác ABCD là hình thoi Trong ∆ OAB vuông tại O. Theo định lý Pi-ta-go ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} \cr & A{B^2} = {2^2} + {3^2} = 4 + 9 = 13 \cr & AB = \sqrt {13} \cr} \) Chu vi hình thoi bằng \(4\sqrt {13} \) Câu 136 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. a. Cho hình thoi ABCD. Kẻ hai đường cao AH, AK. Chứng minh rằng AH = AK b. Hình bình hành ABCD có hai đường cao AH , AK bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi. Giải: a. Xét hai tam giác vuông AHB và AKD: \(\widehat {AHB} = \widehat {AKD} = {90^0}\) AB = AD (gt) \(\widehat B = \widehat D\) (tính chất hình thoi) Do đó: ∆ AHB = ∆ AKD (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ AH = AK b. Xét hai tam giác vuông AHC và AKC: \(\widehat {AHC} = \widehat {AKC} = {90^0}\) AH = AK (gt) AC cạnh huyền chung Do đó: ∆ AHC = ∆ AKC (cạnh huyền, góc nhọn) \( \Rightarrow \widehat {ACH} = \widehat {ACK}\) hay \(\widehat {ACB} = \widehat {ACD}\) ⇒ CA là tia phân giác \(\widehat {BCD}\) Hình bình hành ABCD có đường chéo CA là tia phân giác nên là hình thoi. Câu 137 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hình thoi ABCD có\(\widehat A = {60^0}\). Kẻ hai đường cao BE, BF. Tam giác BEF là tam giác gì ? Vì sao ? Giải: Xét hai tam giác vuông BEA và BFC: \(\widehat {BEA} = \widehat {BFC} = {90^0}\) \(\widehat A = \widehat C\) (tính chất hình thoi) BA = BC (gt) Do đó: ∆ BEA = ∆ BFC (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ BE = BF ⇒ ∆ BEF cân tại B \( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) ⇒ Trong tam giác vuông BEA ta có: \(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat A + {\widehat B_1} = {90^0} \Rightarrow {\widehat B_1} = {90^0} - \widehat A = {90^0} - {60^0} = {30^0} \cr & \Rightarrow {\widehat B_2} = {\widehat B_1} = {30^0} \cr} \) \( \Rightarrow \widehat A + \widehat {ABC} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau) \(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {ABC} - {180^0} - \widehat A = {180^0} - {60^0} = {120^0} \cr & \Rightarrow \widehat {ABC} = {\widehat B_1} + {\widehat B_2} + {\widehat B_3} \cr & \Rightarrow {\widehat B_3} = \widehat {ABC} - \left( {{{\widehat B}_1} + {{\widehat B}_2}} \right)\cr & = {120^0} - \left( {{{30}^0} + {{30}^0}} \right) = {60^0} \cr} \) Vậy ∆ BEF đều. Câu 138 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình thoi ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ O đến AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao? Giải: Ta có: AB // CD (gt) OE ⊥ AB (gt) ⇒ OE ⊥ CD OG ⊥ CD (gt) Suy ra: OE trùng với OG nên ba điểm O, E, G thẳng hàng. BC // AD (gt) OF ⊥ BC (gt) ⇒ OF ⊥ AD OH ⊥ AD (gt) Suy ra : OF trùng với OH nên ba điểm O, H, F thẳng hàng AC và BD là đường phân giác các góc của hình thoi OE = OF (tính chất tia phân giác) (1) OE = OH (tính chất tia phân giác) (2) OH = OG (tính chất tia phân giác) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: OE = OF = OH = OG Tứ giác EFGH có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật. Câu 139 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hình thoi ABCD có chu vi bằng 16cm, đường cao AH bằng 2cm. Tính các góc của hình thoi, biết rằng \(\widehat A > \widehat B\) Giải: Chứng minh: Chu vi hình thoi bằng 16 (m) nên độ dài một cạnh bằng: 16 : 4 = 4 (cm) Gọi M là trung điểm của AD. Trong tam giác vuông AHD ta có HM là trung tuyến thuộc cạnh huyền HM = AM = \({1 \over 2}\)AD =\({1 \over 2}\).4 = 2 (cm) ⇒ AM = HM = AM = 2 cm ⇒ ∆ AHM đều \( \Rightarrow \widehat {HAM} = {60^0}$hay $\widehat {HAD} = {60^0}\) Trong tam giác vuông AHD ta có: \(\widehat {HAD} + \widehat D = {90^0}\) \( \Rightarrow \widehat D = {90^0} - \widehat {HAD} = {90^0} - {60^0} = {30^0}\) \( \Rightarrow \widehat B = \widehat D = {30^0}\) (tính chất hình thoi) \(\widehat B + \widehat C = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau) \( \Rightarrow \widehat C = {180^0} - \widehat B = {180^0} - {30^0} = {150^0}\) \(\widehat A = \widehat C = {150^0}\) (tính chất hình thoi) Câu 140 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hình thoi ABCD có \(\widehat A = {60^0}\) . Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm N sao cho AM = DN. Tam giác BMN là tam giác gì ? Vì sao ? Giải: Nối BD, ta có: AB = AD (gt) nên ∆ ABD cân tại A mà \(\widehat A = {60^0}\) ⇒ ∆ ABD đều \( \Rightarrow \widehat {ABD} = {\widehat D_1} = {60^0}\) và BD = AB Suy ra: BD = BC = CD ⇒ ∆ CBD đều \( \Rightarrow {\widehat D_2} = {60^0}\) Xét ∆ BAM và ∆ BDN: AB = BD (chứng minh trên) \(\widehat A = {\widehat D_2} = {60^0}\) AM = DN Do đó: ∆ BAM = ∆ BDN (c.g.c) \( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_3}\) và BM = BN Suy ra: ∆ BMN cân tại B \({\widehat B_2} + {\widehat B_1} = \widehat {ABD} = {60^0}\) Suy ra: \({\widehat B_2} + {\widehat B_3} = \widehat {MBN} = {60^0}\) Vậy ∆ BMN đều Câu 141 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC. Lấy các điểm D, E theo thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. Gọi M, N, I, K theo thứ tự là trung điểm của BE, CD, DE, BC. Chứng minh rằng IK vuông góc với MN. Giải: Trong ∆ BCD ta có: K là trung điểm của BC (gt) N là trung điểm của CD (gt) nên NK là đường trung bình của ∆ BCD ⇒ NK // BD và NK =\({1 \over 2}\)BD (1) Trong ∆ BED ta có: M là trung điểm của BE (gt) I là trung điểm của DE (gt) nên MI là đường trung bình của ∆ BED ⇒ MI // BD và MI =\({1 \over 2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MI // NK và MI = NK nên tứ giác MKNI là hình bình hành Trong ∆ BEC ta có: MK là đường trung bình MK = \({1 \over 2}\)CE (tính chất đường trung bình của tam giác) BD = CE (gt) Suy ra: MK = KN Vây hình bình hành MKNI là hình thoi. ⇒ IK ⊥ MN (tính chất hình thoi) Câu 142 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD, các đường chéo cắt nhau ở O. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là giao điểm của các đường phân giác của các tam giác AOB, BOC, COD, DOA. Chứng minh rằng EFGH là hình thoi. Giải: Ta có: \(\widehat {AOB} = \widehat {COD}\) (đối đỉnh) \(\widehat {EOB} = {1 \over 2}\widehat {AOB}\) (gt) \(\widehat {COG} = {1 \over 2}\widehat {COD}\) (gt) Suy ra: \(\widehat {EOB} = \widehat {COG}\) \(\widehat {EOB} + \widehat {BOC} + \widehat {COG} = 2\widehat {EOB} + \widehat {BOC}\) mà \(\widehat {AOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\) (kề bù) hay \(2\widehat {EOB} + \widehat {BOC} = {180^0}\) Suy ra: E, O, G thẳng hàng Ta lại có: \(\widehat {BOC} = \widehat {AOD}\) (đối đỉnh) \(\widehat {HOD} = {1 \over 2}\widehat {AOD}\) (gt) \(\widehat {FOC} = {1 \over 2}\widehat {BOC}\) (gt) Suy ra: \(\widehat {HOD} = \widehat {FOC}\) \(\widehat {HOD} + \widehat {COD} + \widehat {FOC} = 2\widehat {HOD} + \widehat {COD}\) mà \(\widehat {AOD} + \widehat {COD} = {180^0}\) (kề bù) hay\(2\widehat {HOD} + \widehat {COD} = {180^0}\) Suy ra: H, O, F thẳng hàng \(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\) (so le trong) \(\widehat {HDO} = {1 \over 2}\widehat {ADO}\) (gt) \(\widehat {FBO} = {1 \over 2}\widehat {CBO}\) (gt) Suy ra: \(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\) - Xét ∆ BFO và ∆ DHO: \(\widehat {HDO} = \widehat {FBO}\) (chứng minh trên_ OD = OB (tính chất hình bình hành) \(\widehat {HOD} = \widehat {FOB}\) (đối đỉnh) Do đó: ∆ BFO = ∆ DHO (g.c.g) ⇒ OF = OH \(\widehat {OAB} = \widehat {OCD}\) (so le trong) \(\widehat {OAE} = {1 \over 2}\widehat {OAB}\) (gt) \(\widehat {OCG} = {1 \over 2}\widehat {OCD}\) (gt) Suy ra: \(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\) - Xét ∆ OAE và ∆ OCG: \(\widehat {OAE} = \widehat {OCG}\) (chứng minh trên) OA = OC (tính chất hình bình hành) \(\widehat {EOA} = \widehat {GOC}\) (đối đỉnh) Do đó: ∆ OAE = ∆ OCG (g.c.g) ⇒ OE = OG Suy ra: Tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) OE ⊥ OF (tính chất hai góc kề bù) hay EG ⊥ FH Vậy: Tứ giác EFGH là hình thoi. Câu 143 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng hình thoi ABCD, biết cạnh bằng 2cm, một đường chéo bằng 3cm. Giải: Cách dựng: - Dựng ∆ ABD biết AB = AD = 2(cm), BD = 3cm - Trên nửa mặt phẳng bờ BD không chứa điểm A. Từ B dựng tia Bx // AD, từ D dựng tia Dy // AB, chúng cắt nhau tại C. Ta có hình thoi ABCD cần dựng Chứng minh: Vì AB // CD và AD // BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành AB = AD = 2cm. Vậy tứ giác ABCD là hình thoi Lại có: BD = 3cm Hình thoi dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 11.1 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cạnh của một hình thoi bằng 25, một đường chéo bằng 14. Đường chéo kia bằng: A. 24 B. 48 C. \(\sqrt {429} \) D. Một đáp số khác. Hãy chọn phương án đúng Giải: Chọn B. 48 đúng Câu 11.2 trang 97 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình thang cân ABCD( AB // CD). Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Giải: Trong ∆ ABD ta có: E là trung điểm của AB (gt) H là trung điểm của AD (gt) nên EH là đường trung bình của ∆ ABD ⇒ EH // BD và EH = \({1 \over 2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1) - Trong ∆ CBD ta có: F là trung điểm của BC (gt) G là trung điểm của CD (gt) nên FG là đường trung bình của ∆ CBD ⇒ FG // BD và FG = \({1 \over 2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: EH // FG và EH = FG Suy ra: Tứ giác EFGH là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) Trong ∆ ABC ta có: EF là đường trung bình ⇒ EF = \({1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình của tam giác) (3) AC = BD (tính chất hình thang cân) (4) Từ (1), (3) và (4) suy ra: EH = EF Vậy : Tứ giác EFGH là hình thoi. Câu 11.3 trang 98 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh BC. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC, cắt AB ở I. Qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở K. a. Tứ giác AIDK là hình gì ? b. Điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC thì AIDK là hình thoi ? Giải: a. Ta có: DK // AB (gt) hay DK // AI DI // AC (gt) hay DI // AK Vậy tứ giác AIDK là hình bình hành b. Để hình bình hành AIDK là hình thoi. ⇒ AD là đường phân giác \(\widehat {IAK}\) hay AD là đường phân giác \(\widehat {BAC}\) Ngược lại nếu AD là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) Ta có tứ giác AIDK là hình bình hành có đường chéo AD là phân giác của góc A nên tứ giác AIDK là hình thoi Vậy hình bình hành AIDK là hình thoi khi và chỉ khi D là giao điểm tia phân giác của góc A và cạnh BC.
