Câu 22 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hình thang cân ABCD có AB// CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng DH = CK. Giải: Xét hai tam giác vuông AHD và BKC: \(\widehat {AHD} = \widehat {BKC} = {90^0}\) AD=BC (tính chất hình thang cân) \(\widehat C = \widehat D\) (gt) Do đó: ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền, góc nhọn) Câu 23 trang 82 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA=OB, OC=OD. Giải: Xét ∆ ADC và ∆ BCD, ta có: AD = BC (tính chất hình thang cân) \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) (gt) DC cạnh chung Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD (c.g.c) \( \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat D_1}\) Trong ∆ OCD ta có: \({\widehat C_1} = {\widehat D_1}\) ⇒ ∆ OCD cân tại O ⇒ OC = OD (1) AC = BD ( tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2) Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO Câu 24 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh bên AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN. a. Tứ giác BMNC là hình gì ? Vì sao ? b. Tính các góc của tứ giác BMNC biết rằng \(\widehat A = {40^0}\) Giải: a. ∆ ABC cân tại A \( \Rightarrow \widehat B = \widehat C = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) (tính chất tam giác cân) (1) AB = AC (gt) ⇒ AM + BM= AN+ CN ⇒ mà BM = CN (gt) ⇒ suy ra: AM = AN ⇒ ∆ AMN cân tại A \( \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat N_1} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) ( tính chất tam giác cân) (2) ⇒ Từ (1) và (2) suy ra: \({\widehat M_1} = \widehat B\) ⇒MN // BC ( vì có các cặp góc đồng vị bằng nhau) Tứ giác BCMN là hình thang có \(\widehat B = \widehat C\). Vậy BCMN là hình thang cân. b. \(\widehat B = \widehat C = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2} = {{{{180}^0} - {{40}^0}} \over 2} = {70^0}\) Mà \({\widehat M_2} + \widehat B = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía) \( \Rightarrow {\widehat M_2} = {180^0} - \widehat B = {180^0} - {70^0} = {110^0}\) \({\widehat N_2} = {\widehat M_2} = {110^0}\) (tính chất hình thang cân) Câu 25 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên. Giải: Xét hai tam giác AEB và AFC Có AB = AC (∆ ABC cân tại A) \(\widehat {ABE} = {{\widehat B} \over 2} = {{\widehat C} \over 2} = \widehat {ACF}\) và \(\widehat A\) là góc chung \( \Rightarrow \Delta ADB = \Delta AEC\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow AE = AF \Rightarrow \Delta AEF\) cân tại A \( \Rightarrow \widehat {AFE} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) và trong tam giác \(\Delta ABC:\,\,\widehat B = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) \( \Rightarrow \widehat {AFE} = \widehat B \Rightarrow FE//BC\) ⟹ tứ giác BFEC là hình thang. Câu 26 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Giải: Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K. Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK Mà AC = BD (gt) Suy ra: BD = BK do đó ∆ BDK cân tại B \( \Rightarrow {\widehat D_1} = \widehat K\) (tính chất tam giác cân) Ta lại có: \({\widehat C_1} = \widehat K\) (hai góc đồng vị) Suy ra: \({\widehat D_1} = {\widehat C_1}\) Xét ∆ ACD và ∆ BDC: AC = BD (gt) \({\widehat D_1} = {\widehat C_1}\) (chứng minh trên) CD cạnh chung Do đó: ∆ ACD = ∆ BDC (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) Hình thang ABCD có \(\widehat {ADC} = \widehat {BCD}\) nên là hình thang cân. Câu 27 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bằng \({50^0}\) Giải: Giả sử hình thang cân ABCD có AB // CD và \(\widehat D = {50^0}\) Vì \(\widehat C = \widehat D\) (tính chất hình thang cân) \( \Rightarrow \widehat C = {50^0}\) \(\widehat A + \widehat D = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía) \( \Rightarrow \widehat A = {180^0} - \widehat D = {180^0} - {50^0} = {130^0}\) \(\widehat B = \widehat A\) (tính chất hình thang cân) \(\Rightarrow \widehat B = {130^0}\) Câu 28 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C. Giải: AB = AD (gt) AD = BC (tính chất hình thang cân) ⇒ AB = BC do đó ∆ ABC cân tại B \(\Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat C_1}\) (tính chất tam giác cân) Mặt khác: AB // CD (gt) \({\widehat A_1} = {\widehat C_2}\) (hai góc so le trong) Suy ra: \({\widehat C_1} = {\widehat C_2}\) Vậy CA là tia phân giác của \(\widehat {BCD}\). Câu 29 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại O. Biết rằng OA = OC, OB = OD. Tứ giác ACBD là hình gì ? Vì sao ? Giải: Ta có: OA = OC (gt) ⇒ ∆ OAC cân tại O \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {{{{180}^0} - \widehat {AOC}} \over 2}\) (tính chất tam giác cân) (1) OB = OD (gt) ⇒ ∆ OBD cân tại O \( \Rightarrow {\widehat B_1} = {{{{180}^0} - \widehat {BOD}} \over 2}\) (tính chất tam giác cân) (2) \(\widehat {AOC} = \widehat {BOD}\) (đối đỉnh) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({\widehat A_1} = {\widehat B_1}\) ⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau) Suy ra: Tứ giác ACBD là hình thang Ta có: AB = OA + OB CD = OC + OD Mà OA = OC, OB = OD Suy ra: AB = CD Vậy hình thang ACBD là hình thang cân. Câu 30 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE. a. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ? b. Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD = DE = EC ? Giải: a. AD = AE (gt) ⇒ ∆ ADE cân tại A \( \Rightarrow \widehat {ADE} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) ∆ ABC cân tại A \( \Rightarrow \widehat {ABC} = {{{{180}^0} - \widehat A} \over 2}\) Suy ra: \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\) ⇒ DE // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau) Tứ giác BDEC là hình thang \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân) Hay \(\widehat {DBC} = \widehat {ECB}\). Vậy BDEC là hình thang cân b. Ta có: BD = DE ⇒ ∆ BDE cân tại D \( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat E_1}\) Mà \({\widehat E_1} = {\widehat B_2}\) (so le trong) \( \Rightarrow {\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) DE = EC ⇒∆ DEC cân tại E \( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\) \({\widehat D_1} = {\widehat C_2}\) (so le trong) \( \Rightarrow {\widehat C_1} = {\widehat C_2}\) Vậy khi BE là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\), CD là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) thì BD = DE = EC. Câu 31 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hình thang cân ABCD có O là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy. Giải: \(\eqalign{ & \widehat {ADC} = \widehat {BCD}\,\,\,\,(gt) \cr & \Rightarrow \widehat {ODC} = \widehat {OCD} \cr} \) ⇒ ∆ OCD cân tại O ⇒ OC = OD ⇒ OA + AD = OB + BC Mà AD = BC (tính chất hình thang cân) ⇒ OA = OB Xét ∆ ADC và ∆ BCD : AD = BC (chứng minh trên) AC = BD (tính chất hình thang cân) CD cạnh chung Do đó: ∆ ADC = ∆ BCD (c.c.c) \( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\) ⇒ ∆ EDC cân tại E ⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực của CD OC = OD nên O thuộc đường trung trực của CD E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của CD. BD = AC (chứng minh trên) ⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC ⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB E≢ O. Vậy OE là đường trung trực của AB. Câu 32 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. a. Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = b, đáy lớn CD = a, đường cao AH. Chứng minh rằng (a và b có cùng đơn vị đo) b. Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm Giải: a. Kẻ đường cao BK Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có: \(\widehat {AHB} = \widehat {BKC} = {90^0}\) AD = BC (tính chất hình thang cân) \(\widehat D = \widehat C\) (gt) Do đó: ∆ AHD = ∆ BKC (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ HD = KC Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK a−b = DC – AB = DC – HK = HD + KC = 2HD \( \Rightarrow HD = {{a - b} \over 2}\) \(HD = DC-HD = a - {{a - b} \over 2} = {{a + b} \over 2}\) b. \(HD = {{CD - AB} \over 2} = {{26 - 10} \over 2} = 8\left( {cm} \right)\) Trong tam giác vuông AHD có \(\widehat {AHD} = {90^0}\) \(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2}\) (định lí Pi-ta-go) \(\eqalign{ & \Rightarrow A{H^2} = A{D^2} - H{D^2} \cr & A{H^2} = {17^2} - {8^2} = 289 - 64 = 225 \cr & AH = 15(cm) \cr} \) Câu 33 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hình thang cân ABCD có đường chéo DB vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm. Giải: Ta có: AD = BC = 3 (cm) (tính chất hình thang cân) \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (so le trong) \(\eqalign{ & \widehat {ADB} = \widehat {BDC}(gt) \cr & \Rightarrow \widehat {ABD} = \widehat {ADB} \cr} \) ⇒ ∆ ABD cân tại A ⇒ AB = AD = 3 (cm) ∆ BDC vuông tại B \( \Rightarrow \widehat {BDC} + \widehat C = {90^0}\) \(\widehat {ADC} = \widehat C\) (gt) Mà \(\widehat {BDC} = {1 \over 2}\widehat {ADC}\) nên \(\widehat {BDC} = {1 \over 2}\widehat C\) \(\widehat C + {1 \over 2}\widehat C = {90^0} \Rightarrow \widehat C = {60^0}\) Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E. Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE ⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm) \(\widehat {BEC} = \widehat {ADC}\) (đồng vị ) Suy ra: \(\widehat {BEC} = \widehat C\) ⇒ ∆ BEC cân tại B có \(\widehat C = {60^0}\) ⇒ ∆ BEC đều ⇒ EC = BC = 3 (cm) CD = CE + ED = 3 + 3 = 6 (cm) Chu vi hình thang ABCD bằng: AB + BC + CD + DA = 3+3 +6 +3=15 (cm) Câu 3.1 trang 83 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1. Hình thang cân ABCD (AB // CD) có \(\widehat A = {70^0}\). Khẳng định nào dưới đây là đúng ? A. \(\widehat C = {110^0}\) B. \(\widehat B = {110^0}\) C. \(\widehat C = {70^0}\) D. \(\widehat D = {70^0}\) Giải: Chọn A. \(\widehat C = {110^0}\) Câu 3.2 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1. Hình thang cân ABCD (AB// CD) có hai đường chéo cắt nhau tại I, hai đường thẳng chứa các cạnh bên cắt nhau ở K. Chứng minh rằng KI là đường trung trực của hai đáy. Giải: ∆ACD = ∆BDC (c.c.c) suy ra do đó ID = IC (1) Tam giác KCD có hai góc ở đấy bằng nhau nên KD = KC (2) Từ (1) và (2) suy ra KI là đương trung trực của CD. Chứng minh tương tự có IA = IB, KA = KB Suy ra KI là đường trung trực của AB Câu 3.3 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hình thang cân ABCD (AB // CD) có , DB là tia phân giác của góc D. Tính các cạnh của hình thang, biết chu vi hình thang bằng 20cm. Giải: Hình thang ABCD cân có AB // CD \( \Rightarrow \widehat D = \widehat C = {60^0}\) DB là tia phân giác của góc D \( \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {BDC}\) \(\widehat {ABD} = \widehat {BDC}\) (hai góc so le trong) Suy ra: \(\widehat {ADB} = \widehat {ABD}\) ⇒ ∆ ABD cân tại A ⇒ AB = AD (1) Từ B kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại E Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = ED, AD= BE (2) \(\widehat {BEC} = \widehat {ADC}\) (đồng vị ) Suy ra: \(\widehat {BEC} = \widehat C = {60^0}\) ⇒∆ BEC đều ⇒ EC = BC (3) AD = BC (tính chất hình thang cân) (4) Từ (1), (2), (3) và (4) ⇒ AB = BC = AD = ED = EC ⇒ Chu vi hình thang bằng: AB + BC + CD + AD = AB + BC + EC +ED +AD = 5AB ⇒AB = BC = AD = 20:5 = 4 (cm) CD = CE + DE = 2 AB = 2.4 = 8 (cm)
