Sách bài tập Toán 8 - Phần Hình học - Chương I - Bài 4. Đường trung bình của tam giác, của hình thang

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 34 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Cho tam giác ABC, điểm D thuộc cạnh AC sao cho \(AD = {1 \over 2}DC\). Gọi M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BD và AM. Chứng minh rằng AI = IM.
    Giải:
    01.jpg
    Gọi E là trung điểm của DC
    Trong ∆ BDC ta có:
    M là trung điểm của BC (gt)
    E là trung điểm của CD (gt)
    Nên ME là đường trung bình của ∆ BCD
    ⇒ ME // BD( tính chất đường trung bình của tam giác)
    Suy ra: DI // ME
    \(AD = {1 \over 2}DC\) (gt)
    \(DE = {1 \over 2}DC\) (theo cách vẽ)
    ⇒AD = DE
    DI // ME
    Nên AI = IM (tính chất đường trung bình của tam giác)

    Câu 35 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Hình thang ABCD có đáy AB, CD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC. Chứng minh rằng ba điểm E, I, F thẳng hàng.
    Giải:
    02.jpg

    Hình thang ABCD có AB// CD
    E là trung điểm của AD (gt)
    F là trung điểm của BC (gt)
    Nên EF là đường trung bình của hình thang ABCD
    ⇒ EF // CD (tính chất đường trung bình hình thang) (1)
    Trong ∆ ADC có:
    E là trung điểm của AD (gt)
    I là trung điểm của AC (gt)
    Nên EI là đường trung bình của ∆ ADC
    ⇒ EI // CD (tính chất đường trung bình tam giác) (2)
    Từ (1) và (2) theo tiên đề Ơclít đường thẳng EF và EI trùng nhau
    Vậy E, I, F thẳng hàng.

    Câu 36 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, I theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, AC.
    Chứng minh rằng:
    a. EI// CD, IF // AB
    b. \(EF \le {{AB + CD} \over 2}\)
    Giải:
    03.jpg
    a) Trong tam giác ADC, ta có:
    E là trung điểm của AD (gt)
    I là trung điểm của AC (gt)
    Nên EI là đường trung bình của ∆ ABC
    ⇒ EI // CD (tính chất đường trung bình của tam giác)
    Và \(EI = {{CD} \over 2}\)
    Trong tam giác ABC ta có:
    I là trung điểm của AC
    F là trung điểm của BC
    Nên IF là đường trung bình của ∆ ABC
    ⇒ IF // AB (tính chất đường trung bình của tam giác)
    Và \(IF = {{AB} \over 2}\)
    b) Trong ∆ EIF ta có: EF ≤ EI + IF (dấu “=” xảy ra khi E, I, F thẳng hàng)
    Mà \(EI = {{CD} \over 2}{\rm{;}}\,\,IF{\rm{ = }}{{AB} \over 2}\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow {\rm{EF}} \le {{CD} \over 2} + {{AB} \over 2}\)
    Vậy \(EF \le {{AB + CD} \over 2}\) (dấu bằng xảy ra khi AB // CD)

    Câu 37 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Cho hình thang ABCD (AB // CD), M là trung điểm của AD, N là trung điểm của BC. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, AC. Cho biết AB = 6cm,
    CD = 14 cm. Tính các độ dài MI, IK, KN.
    Giải:
    04.jpg
    Hình thang ABCD có AB // CD
    M là trung điểm của AD (gt)
    N là trung điểm của BC (gt)
    Nên MN là đường trung bình của hình thang ABCD
    ⇒ MN // AB // CD
    \(MN = {{AB + CD} \over 2} = {{6 + 14} \over 2} = 10\left( {cm} \right)\)
    Trong tam giác ADC ta có:
    M là trung điểm của AD
    MK // CD
    ⇒ AK = KC và MK là đường trung bình của ∆ ADC.
    \( \Rightarrow MK = {1 \over 2}CD = {1 \over 2}.14 = 7\left( {cm} \right)\)
    Vậy: KN = MN – MK = 10 – 7 = 3 (cm)
    Trong ∆ ADB ta có:
    M là trung điểm của AD
    MI // AB nên DI = IB
    ⇒ MI là đường trung bình của ∆ DAB
    \( \Rightarrow MI = {1 \over 2}AB = {1 \over 2}.6 = 3\left( {cm} \right)\)
    IK = MK – MI = 7 – 3 = 4 (cm)

    Câu 38 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của GB, GC. Chứng minh rằng DE // IK, DE = IK.
    Giải:
    05.jpg
    Trong tam giác ABC ta có:
    E là trung điểm của AB (gt)
    D là trung điểm của AC (gt)
    Nên ED là đường trung bình của tam giác ABC
    ⇒ED // BC và \(ED = {{BC} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (1)
    Trong tam giác GBC ta có:
    I là trung điểm của BG (gt)
    K là trung điểm của CG (gt)
    Nên IK là đường trung bình của ∆ GBC
    ⇒ IK // BC và \(IK = {{BC} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra: IK // DE và IK = DE.

    Câu 39 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi D là trung điểm của AM, E là giao điểm của BD và AC. Chứng minh rằng \(AE = {1 \over 2}EC\).
    Giải:
    06.jpg
    Gọi F là trung điểm của EC
    Trong ∆ CBE ta có:
    M là trung điểm của cạnh CB
    F là trung điểm của cạnh CE
    Nên MF là đường trung bình của ∆ CBE
    ⇒ MF // BE (tính chất đường trung bình của tam giác)
    Hay DE // MF
    Trong tam giác AMF ta có:
    D là trung điểm của AM
    DE // MF
    Suy ra: AE = EF (tính chất đường trung bình của tam giác)
    Mà \(EF = FC = {{EC} \over 2}\) nên \(AE = {1 \over 2}EC\).

    Câu 40 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD, CE. Chứng minh rằng MI = IK = KN.
    Giải:
    07.jpg
    Trong tam giác ABC ta có:
    E là trung điểm của cạnh AB
    D là trung điểm của cạnh AC
    Nên ED là đường trung bình của ∆ ABC
    \( \Rightarrow ED//BC\) và \(ED = {1 \over 2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
    Trong hình thang BCDE, ta có: BC // DE
    M là trung điểm cạnh bên BE
    N là trung điểm cạnh bên CD
    Nên MN là đường trung bình hình thang BCDE ⇒ MN // DE
    \(MN = {{DE + BC} \over 2} = {{{{BC} \over 2} + BC} \over 2} = {{3BC} \over 4}\) (tính chất đường trung bình hình thang)
    Trong tam giác BED ta có:
    M là trung điểm của BE
    MI // DE
    Suy ra: MI là đường trung bình của ∆ BED
    \( \Rightarrow MI = {1 \over 2}DE = {1 \over 4}BC\) (tính chất đường trung bình tam giác)
    Trong tam giác CED ta có:
    N là trung điểm của CD
    NK // DE
    Suy ra: NK là đường trung bình của ∆ BED
    \( \Rightarrow NK = {1 \over 2}DE = {1 \over 4}BC\) (tính chất đường trung bình tam giác)
    \(\eqalign{
    & IK = MN - \left( {MI + NK} \right) \cr
    & = {3 \over 4}BC - \left( {{1 \over 4}BC + {1 \over 4}BC} \right) = {1 \over 4}BC \cr
    & \Rightarrow MI = IK = KN = {1 \over 4}BC \cr} \)

    Câu 41 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Chứng minh rằng đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm của hai đường chéo và đi qua trung điểm của cạnh bên thứ hai.
    Giải:
    08.jpg
    Xét hình thang ABCD có: AB // CD.
    E là trung điểm của AD, đường thẳng đi qua E song song với AB cắt BC tại F, AC tại K, BD tại I.
    Vì E là trung điểm của AD
    EF // AB
    Suy ra: BF = FC (tính chất đường trung bình hình thang)
    Trong tam giác ADC ta có:
    E là trung điểm của AD
    EK // DC
    Suy ra: AK = KC (tính chất đường trung bình tam giác)
    Trong tam giác ABD ta có:
    E là trung điểm cạnh AD
    EI // AB
    Suy ra: BI = ID (tính chất đường trung bình của tam giác)
    Vậy đường thẳng đi qua trung điểm E của cạnh bên AD của hình thang ABCD thì đi qua trung điểm cạnh bên BC và trung điểm hai đường chéo AC, BD.

    Câu 42 trang 84 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Chứng minh rằng trong hình thang mà hai đáy không bằng nhau, đoạn thẳng nối trung điểm của hai đường chéo bằng nửa hiệu hai đáy.
    Giải:
    09.jpg
    Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, AB < CD.
    I, K lần lượt là trung điểm hai đường chéo BD, AC
    Gọi F là trung điểm của BC
    Trong tam giác ACB ta có:
    K là trung điểm của cạnh AC
    F là trung điểm của cạnh BC
    Nên KF là đường trung bình của ∆ BDC
    ⇒ KF // AB và \(KF = {1 \over 2}AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
    Trong tam giác BDC ta có:
    I là trung điểm của cạnh BD
    F là trung điểm của cạnh BC
    Nên IF là đường trung bình của ∆ BDC
    ⇒ IF // CD và \(IF = {1 \over 2}CD\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
    FK // AB mà AB // CD nên FK // CD
    FI // CD (chứng minh trên)
    Suy ra hai đường thẳng FI và FA trùng nhau.
    ⇒ I, K, F thẳng hàng, AB < CD ⇒ FK < FI nên K nằm giữa I và F
    IF = IK + KF
    \(\eqalign{
    & \Rightarrow IK = IF - KF \cr
    & = {1 \over 2}CD - {1 \over 2}AB = {{CD - AB} \over 2} \cr} \)

    Câu 43 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Hình thang ABCD có AB // CD, AB = a, BC = b, CD = c, DA = d. Các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh A và D cắt nhau tại M, các đường phân giác của các góc ngoài đỉnh B và C cắt nhau tại N.
    a) Chứng ninh rằng MN // CD.
    b) Tính độ dài MN theo a, b, c, d (a, b, c, d có cùng đơn vị đo)
    Giải:
    10.jpg
    a) Gọi M’ và N’ là giao điểm của tia AM và BN với CD. Ta có:
    \(\widehat {M'} = {\widehat A_2}\) (so le trong)
    \({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (gt)
    Suy ra: \(\widehat {M'} = {\widehat A_1}\)
    Nên ∆ ADM’ cân tại D
    DM là phân giác của \(\widehat {ADM'}\)
    Suy ra: DM là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
    ⇒ AM = MM’
    \(\widehat {N'} = {\widehat B_2}\) (so le trong)
    \({\widehat B_1} = {\widehat B_2}\) (gt)
    Suy ra: \(\widehat {N'} = {\widehat B_1}\) nên ∆ BCN’ cân tại C
    CN là phân giác của \(\widehat {BCN'}\)
    Suy ra: CN là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân)
    ⇒ BN = NN’
    Suy ra: MN là đường trung bình của hình thang ABN’M’
    ⇒ MN // M’N’ (tính chất đường trung bình hình thang)
    Hay MN // CD
    b) \(MN = {{AB + M'N'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của hình thang)
    \( \Rightarrow MN = {{AB + M'D + CD + CN'} \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
    Mà M’D = AD, CN’ = BC. Thay vào (1):
    \(MN = {{AB + AD + CD + BC} \over 2} = {{a + d + c + b} \over 2}\)

    Câu 44 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1.
    Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Gọi O là trung điểm của AM. Qua O kẻ đường thẳng d cắt các cạnh AB và AC. Gọi AA’, BB’, CC’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, C đến đường thẳng d. Chứng minh rằng:
    \({\rm{AA' = }}{{BB' + CC'} \over 2}\)
    Giải:
    11.jpg
    Ta có: BB’ ⊥ d (gt)
    CC’ ⊥ d (gt)
    Suy ra: BB’ // CC’
    Tứ giác BB’CC’ là hình thang
    Kẻ MM’ ⊥ d
    ⇒ MM’ // BB’ // CC’
    Nên MM’ là đường trung bình của hình thang BB’CC’
    \( \Rightarrow MM' = {{BB' + CC'} \over 2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
    Xét hai tam giác vuông AA’O và MM’O:
    \(\widehat {OA'A} = \widehat {OM'M}\)
    AO = MO (gt)
    \(\widehat {AOA'} = \widehat {MOM'}\) (đối đỉnh)
    Do đó: ∆ AA’O = ∆ MM’O (cạnh huyền, góc nhọn)
    ⇒ AA’ = MM’ (2)
    Từ (1) và (2) suy ra: \({\rm{AA' = }}{{BB' + CC'} \over 2}\).

    Câu 4.1 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1.
    Trên hình bs.1, ta có AB // CD // EF // GH và AC = CE = EG. Biết CD = 9, GH = 13. Các độ dài AB và EF bằng:
    12.jpg
    A. 8 và 10
    B. 6 và 12
    C. 7 và 11
    D. 7 và 12
    Giải:
    Chọn C. 7 và 11.

    Câu 4.2 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1.
    Cho đường thẳng d và hai điểm A, B có khoảng cách đến đường thẳng d theo thứ tự là 20cm và 6cm. Gọi C là trung điểm của AB. Tính khoảng cách từ C đến đường thẳng d.
    Giải:
    a) Trường hợp A và B nằm trên một nửa mặt phẳng bờ chứa đường thẳng d.
    13.jpg
    Gọi A’, B’ là chân đường vuông góc kẻ từ A và B đến d
    AA’ ⊥ d; BB’ ⊥ d ⇒ AA’ // BB’
    Tứ giác ABB’A’ là hình thang. Kẻ CH ⊥ d
    ⇒ CH // AA’ // BB’ nên CG là đường trung bình của hình thang ABB’A’
    \( \Rightarrow CH = {{AA' + BB'} \over 2} = {{20 + 6} \over 2} = 13\,\,\left( {cm} \right)\)
    b) Trường hợp A và B nằm trên hai nửa mặt phẳng đối bờ chứa đường thẳng d
    14.jpg
    Kẻ CH ⊥ d cắt A’B tại K
    ⇒ CH // AA’ // BB’
    Trong ∆ AA’B ta có: AC = CB
    Mà CK // AA’ nên A’K = KB và CK là đường trung bình của tam giác AA’B
    \( \Rightarrow CK = {{AA'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
    \(CK = {{20} \over 2} = 10\,\,\left( {cm} \right)\)
    Trong ∆ A’BB’ có A’K = KB và KH // BB’
    Nên KH là đường trung bình của ∆ A’BB’
    \( \Rightarrow KH = {{BB'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
    \( \Rightarrow KH = {6 \over 2} = 3\,\,\left( {cm} \right)\)
    CH = CK – KH = 10 – 3 = 7(cm)

    Câu 4.3 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1.
    Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = AB. Gọi K là giao điểm của DM và AC. Chứng minh rằng AK = 2KC.
    Giải:
    15.jpg
    Gọi H là trung điểm của AK
    Trong ∆ ADK ta có BH là đường trung bình của ∆ ADK.
    ⇒ BH // DK (tính chất đường trung bình của tam giác)
    Hay BH // MK
    Trong ∆ BCH ta có M là trung điểm của BC
    MK // BH
    ⇒ CK = HK
    AK = AH + HK = 2HK
    Suy ra: AH = 2 CK.