Câu 45 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 5cm và \(\widehat B = {35^0}\). Giải: Cách dựng: - Dựng đoạn BC = 5cm - Dựng góc \(\widehat {CBx} = {35^0}\) - Dựng CA ⊥ Bx ta có ∆ ABC dựng được. Chứng minh: ∆ ABC có \(\widehat A = {90^0},\widehat B = {35^0}\), BC = 5cm. Thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 46 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng tam giác ABC vuông tại A, biết cạnh huyền BC = 4,5cm và cạnh góc vuông AC = 2cm. Giải: Cách dựng: - Dựng đoạn AC = 2cm - Dựng góc \(\widehat {CAx} = {90^0}\) - Dựng cung tròn tâm C bán kính 4,5cm cắt Ax tại B. Nối CB ta có ∆ ABC cần dựng Chứng minh: ∆ ABC có \(\widehat A = {90^0}\), AC = 2cm, BC = 4,5cm. Thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 47 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng góc \({30^0}\) bằng thước và compa. Giải: Cách dựng: - Dựng tam giác đều ABC - Dựng tia phân giác AD của \(\widehat {BAC}\) ta có \(\widehat {BAD} = {30^0}\) Chứng minh: ∆ ABC đều \( \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^0}\) \(\widehat {BAD} = {{\widehat {BAC}} \over 2}\) (tính chất tia phân giác) \( \Rightarrow \widehat {BAD} = {30^0}\) Câu 48 trang 85 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng hình thang cân ABCD (AB // CD), biết CD = 3cm, AC = 4cm, \(\widehat D = {70^0}\). Giải: Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiên bài toán, ta thấy ∆ACD xác định được vì biết CD = 3cm, \(\widehat D = {70^0}\), AC = 4cm. Ta cần xác định đỉnh B. Đỉnh B thỏa mãn hai điều kiện: - Nằm trên tia Ay // CD - B cách D một khoảng bằng 4 cm Cách dựng: - Dựng đoạn CD = 3cm - Dựng góc \(\widehat {CDx} = {70^0}\) - Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa tia Dx dựng cung tròn tâm C bán kính 4cm cắt Dx tại A. - Dựng tia Ay // CD - Trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A, dựng cung tròn tâm D bán kính 4cm cắt Ay tại B - Nối BC ta có hình thang ABCD cần dựng. Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có CD = 3cm, \(\widehat {ADC} = {70^0}\), AC = BD = 4cm. Vậy ABCD là hình thang cân. Biện luận: ∆ ACD luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được. Bài toán có một nghiệm hình. Câu 49 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết \(\widehat D = {90^0}\), AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm. Giải: Phân tích: Giải sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta thấy ∆ ADC xác định được vì biết AD = 2cm, \(\widehat D = {90^0}\), DC = 4cm. Ta cần xác định đỉnh B. Đỉnh B thỏa mãn hai điều kiện: - B nằm trên tia Ax // CD. - B cách C một khoảng bằng 3cm. Cách dựng: - Dựng ∆ ADC biết AD = 2cm, \(\widehat D = {90^0}\), DC = 4cm. - Dựng Ax ⊥ AD - Dựng cung tròn tâm C bán kính bằng 3cm, cắt Ax tại B. Nối BC ta có hình thang ABCD dựng được. Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng, ta có: AB // CD, \(\widehat D = {90^0}\) Tứ giác ABCD là hình thang vuông. Lại có AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 3cm. Hình thang dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Biện luận: ∆ ADC dựng được, hình thang ABCD luôn dựng được. Bài toán có hai nghiệm hình. Câu 50 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng tam giác ABC cân tại A, biết BC = 3cm, đường cao BH = 2,5cm. Giải: Cách dựng: - Dựng BH = 2,5cm - Dựng \(\widehat {xBH} = {90^0}\) - Dựng cung tròn tâm bán kính 3cm cắt Hx tại C - Dựng BC - Dựng đường trung trực BC cắt CH tại A - Dựng AB, ta có ∆ ABC cần dựng. Chứng minh: Ta có AC = AB ( tính chất đường trung trực) Nên ∆ ABC cân tại A, BH ⊥ AC Ta lại có BC = 3cm, BH = 2,5cm. Vậy ∆ ABC dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 51 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng tam giác ABC, biết \(\widehat B = {40^0}\), BC = 4cm, AC = 3cm. Giải: Cách dựng: - Dựng đoạn thẳng BC = 4cm - Dựng góc \(\widehat {CBx} = {40^0}\) - Dựng trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa tia Bx cung tròn tâm C bán kính 3cm cắt Bx tại A - Kẻ AC, ta có tam giác ABC cần dựng. Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ∆ ABC có BC = 4cm, \(\widehat B = {40^0}\), AC = 3cm. Thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán có hai nghiệm hình. Câu 52 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng hình thang ABCD (AB // CD), biết AD = 2cm, CD = 4cm, BC = 2,5cm, AC = 3,5cm Giải: Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADC dựng được vì biết ba cạnh AD = 2cm, DC = 4cm, AC = 3,5cm. Điểm B thỏa mãn hai điều kiện: - B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD. - B cách C một khoảng bằng 2,5cm Cách dựng: - Dựng ∆ ADC biết AD = 2cm, DC = 4cm, AC = 3,5cm - Dựng tia Ax // CD. Ax nằm trong nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C. - Dựng cung tròn tâm C bán kính 2,5cm. Cung này cắt Ax tại B, nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng. Chứng minh: Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD Hình thang ABCD có: AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm, BC = 2,5cm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Biện luận: ∆ ADC luôn dựng được nên hình thang ABCD dựng được. Vì cung tròn tâm C bán kính 3cm cắt Ax tại hai điểm ta dựng được hai hình thang thỏa mãn bài toán. Câu 53 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng hình thang cân ABCD(AB // CD), biết AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm. Giải: Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADC dựng được vì biết ba cạnh AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm. Điểm B thỏa mãn 2 điều kiện: - B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD - B cách D một khoảng bằng 3,5 cm Cách dựng: - Dựng tam giác ADC biết AD = 2cm, AC = 3,5 cm, CD = 4cm - Dựng tia Ax // CD, Ax nằm trong nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C - Dựng cung tròn tâm D bán kính 3,5cm. Cung này cắt Ax tại B. Nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng. Chứng minh: Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD. AC = BD = 3,5 cm Vậy hình thang ABCD là hình thang cân. Hình thang cân ABCD có: AD = 2cm, CD = 4cm, AC = 3,5cm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Biện luận: Tam giác ADC luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được. Cung tròn tâm D bán kính 3,5cm cắt Ax tại 1 điểm ta dựng được một hình thang thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 54 trang 86 Sách bài tập(SBT) Toán 8 tập 1. Dựng hình thang cân ABCD(AB // CD), biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, đường cao AH = 2cm. Giải: Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Tam giác ADH dựng được vì biết hai cạnh góc vuông AH = 2cm và HD = 1cm, \(\widehat H = {90^0}\). Vì đáy AB < CD nên \(\widehat D < {90^0}\). Điểm H nằm giữa D và C. Điểm C nằm trên tia đối tia HD và cách H Điểm B thỏa mãn hai điều kiện: - B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với DH. - B cách A một khoảng bằng 2cm Cách dựng: - Dựng ∆ AHD biết \(\widehat H = 1V\), AH =2cm, HD = 1cm - Dựng tia đối tia HD - Dựng điểm C sao cho HC = 3cm - Dựng tia Ax // DH, Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm H - Dựng điểm B sao cho AB = 2cm. Nối CB ta có hình thang ABCD cần dựng. Chứng minh: Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD Kẻ BK ⊥ CD. Tứ giác ABKH là hình thang có hai cạnh bên song song Nên : BK = AH và KH = AB Suy ra: KC = HC – KH = HC – AB = 3− 2 = 1 (cm) Suy ra: ∆ AHD = ∆ BKC (c.g.c) \(\Rightarrow \widehat D = \widehat C\) Vậy hình thang ABCD là hình thang cân. Hình thang cân ABCD có: AH = 2cm, đáy AB = 2cm, đáy CD = 4cm Thỏa mãn điều kiện bài toán. Biện luận: Tam giác AHD luôn dựng được nên hình thang ABCD luôn dựng được. Ta luôn dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 55 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 2cm, CD = 4cm, \(\widehat C = {50^0},\widehat D = {70^0}\). Giải: Phân tích: Giả sử hình thang ABCD thỏa mãn yêu cầu bài toán. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại E. Hình thang ABCE có hai cạnh bên song song nên AB = EC = 2cm do đó DE = 2cm Tam giác ADE dựng được vì biết 2 góc kề với một cạnh. Điểm C nằm trên tia DE cách D một khoảng bằng 4cm Điểm B thỏa mãn hai điều kiện: - B nằm trên đường thẳng đi qua A và song song với CD. - B nằm trên đường thẳng đi qua C và song song với AE. Cách dựng: - Dựng tam giác ADE biết DE = 2cm, \(\widehat D = {70^0},\widehat E = {50^0}\) - Dựng tia DE lấy điểm C sao cho DC = 4cm - Dựng tia Ax // CD, Ax nằm trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa điểm C - Dựng tia Cy // AE, Cy nằm trên nửa mặt phẳng bờ CD chứa điểm A. Cy cắt Ax tại B. Hình thang ABCD cần dựng. Chứng minh: Tứ giác ABCD là hình thang vì AB // CD CD = CE + ED ⇒ CE = CD – ED = 4 – 2 =2 (cm) Hình thang ABCE có hai cạnh bên AE // CB ⇒ AB = CE = 2 (cm) \(\widehat C = \widehat E = {50^0}\) (hai góc đồng vị) \(\widehat D = {70^0}\) Hình thang ABCD thỏa mãn điều kiện bài toán. Biện luận: Tam giác ADE luôn dựng được, hình thang ABCD luôn dựng được. Ta dựng được một hình thang thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 56 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng hình thang ABCD, biết hai đáy AB = 1cm, CD = 4cm, hai cạnh bên AD = 2cm, BC = 3cm. Giải: Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt CD tại E ta thấy tam giác AED xác định vì biết ba cạnh, ta cần xác định đỉnh B và C - Đỉnh C nằm trên tia DE, cách D một khoảng bẳng 4cm - Đỉnh B nằm trên đường thẳng đi qua A song song với đường thẳng DE và cách A một khoảng bằng 1cm. Cách dựng: - Dựng ∆ ADE biết AD = 2cm, DE = 3cm, AE = 3cm - Trên tia DE dựng điểm C sao cho DC = 4cm - Dựng đường thẳng đi qua A và song song với DC, lấy điểm B sao cho AB = 1cm. Nối BC ta có hình thang ABCD cần dựng Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang. Ta có: AD = 2cm, DC = 4cm, AB = 1cm, hình thang ABCE có hai cạnh đáy AB = EC = 1cm nên BC = AE = 3cm. Hình thang ABCD thỏa mãn điều kiện bài toán. Biện luận: Tam giác ADE luôn dựng được nên hình thang ABCD dựng được, bài toán có một nghiệm hình. Câu 57 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng hình thang cân ABCD, biết hai đáy AB = 1cm, CD = 3cm, đường chéo BD = 3cm. Giải: Phân tích: Giả sử hình thang ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt CD tại E. Tứ giác ABEC là hình thang có hai cạnh bên song song nên CE = AB = 1cm, BE = AC = 3cm Tam giác BDE xác định được, ta cần xác định đỉnh C và A - Đỉnh C nằm trên tia DE cách D một khoảng bẳng 3cm - Đỉnh A nằm trên đường thẳng đi qua B và song song với CD, A cách C một khoảng bằng 3cm Cách dựng: - Dựng ∆ BDE biết BD = 3cm, BE = 3cm, DE = 4cm. - Dựng điểm C trên tia DE sao cho DC = 3cm - Dựng đường thẳng d đi qua B song song với CD - Dựng cung tròn tâm C bán kính 3cm cắt đường thẳng d tại A. Nối AD ta có hình thang ABCD dựng được. Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có AB // CD. Tứ giác ABCD là hình thang CD = 3cm, AC = BD = 3cm. Vậy ABCD là hình thang cân Thỏa mãn điều kiện bài toán. Bài toán có một nghiệm hình. Câu 58 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng tứ giác ABCD, biết AB = 2cm, AD = 3cm, \(\widehat A = {80^0},\widehat B = {120^0},\widehat C = {100^0}\). Giải: Cách dựng: - Dựng ∆ ABD biết AB = 2cm, \(\widehat A = {80^0}\), AD = 3cm. - Dựng \(\widehat {ABx} = {120^0}\) - Trên nửa mặt phẳng bờ AD chứa đỉnh D dựng \(\widehat {ADy} = {60^0}\). Dy cắt Bx tại C. Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng AB = 2cm, \(\widehat A = {80^0}\), AD = 3cm, \(\widehat B = {120^0}\) \(\eqalign{ & \widehat C = {360^0} - \left( {\widehat A + \widehat B + \widehat D} \right) \cr & = {360^0} - \left( {{{80}^0} + {{120}^0} + {{60}^0}} \right) = {100^0} \cr} \) Tứ giác ABCD dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 59 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng góc \({75^0}\) bằng thước và compa. Giải: Cách dựng: - Dựng tam giác ABC đều - Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng tia Ax ⊥ AC - Dựng tia phân giác Ay của \(\widehat {xAB}\) ta có \(\widehat {CAy} = {75^0}\) Chứng minh: thật vậy ∆ ABC đều nên \(\widehat {BAC} = {60^0},\widehat {xAC} = {90^0}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {BAx} = \widehat {xAC} - \widehat {BAC} = {90^0} - {60^0} = {30^0} \cr & \widehat {BAy} = {1 \over 2}\widehat {BAx} = {15^0} \cr & \Rightarrow \widehat {CAy} = \widehat {BAC} + \widehat {BAy} = {60^0} + {15^0} = {75^0} \cr} \) Câu 5.1 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1. Dựng hình thang cân ABCD(AB // CD) biết BC = 3cm, AC = 2cm, đường cao bằng 2,5cm. Giải: Cách dựng: - Dựng ∆ BHC, BH = 2,5 cm - \(\widehat {BHC} = {90^0}\) - BC = 3cm - Dựng tia đi qua B và song song CH nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm H. Lấy điểm A sao cho BA = 2cm - Dựng cung tròn tâm B bán kính bằng AC cắt đường thẳng CH tại D. Nối AD ta có hình thang ABCD cần dựng. Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng AB // CD nên tứ giác ABCD là hình thang có AB = 2cm, BC = 3cm, BH = 2,5cm. AC = BD Vậy ABCD là hình thang cân thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 5.2 trang 86 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 8 tập 1. Dựng tam giác ABC biết \(\widehat B = {80^0}\), BC = 3cm, AB + AC = 5cm. Giải: Cách dựng: - Dựng tam giác ABC có \(\widehat B = {80^0}\), BC = 3cm, BD = 5cm. - Dựng I là trung điểm của CD - Dựng đường trung trực CD cắt BD tại A Nối A với C ta có ∆ ABC cần dựng Chứng minh: Thật vậy theo cách dựng ta có ∆ ABC \(\widehat B = {80^0}\), BC = 3cm, AB + AC = AB + AD (vì AC = AD tính chất đường trung trực nên AB + AC = 5 cm) ∆ ABC thỏa mãn điều kiện bài toán.
