Câu 60 trang 86 Sách bài tập(SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC có\(\widehat A = {70^0}\), điểm M thuộc cạnh BC. Vẽ điểm D đối xứng với M qua AB, vẽ điểm E đối xứng với M qua AC. a. Chứng minh rằng AD = AE b. Tính số đo góc DAE. Giải: a. Vì D đối xứng với M qua trục AB ⇒ AB là đường trung trực MD. ⇒ AD = AM (tính chất đường trung trực) (1) ⇒ Vì E đối xứng với M qua trục AC ⇒ AC là đường trung trực của ME ⇒ AM = AE ( tính chất đường trung trực) (2) ⇒ Từ (1) và (2) suy ra : AD = AE b. AD = AM suy ra ∆ AMD cân tại A có AB ⊥ MD nên AB cũng là đường phân giác của góc MAD \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) AM = AE suy ra ∆ AME cân tại A có AC ⊥ ME nên AC cũng là đường phân giác của \(\widehat {MAE}\) \( \Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}\) \(\widehat {DAE} = {\widehat A_1} + {\widehat A_2} + {\widehat A_3} + {\widehat A_4}\) \(= 2\left( {{{\widehat A}_2} + {{\widehat A}_3}} \right) = 2\widehat {BAC} = {2.70^0} = {140^0}\) Câu 61 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác nhọn ABC có\(\widehat A = {60^0}\), trực tâm H. Gọi M là điểm đối xứng với H qua BC. a. Chứng minh ∆ BHC = ∆ BMC. b. Tính \(\widehat {BMC}\) Giải: a. Vì M đối xứng với H qua trục BC ⇒ BC là đường trung trực của HM ⇒ BH = BM ( tính chất đường trung trực) CH = CM ( tính chất đường trung trực) Suy ra: ∆ BHC = ∆ BMC (c.c.c) b. Gọi giao điểm BH với AC là D, giao điểm của CH và AB là E H là trực tâm của ∆ ABC ⇒ BD ⊥ AC, CE ⊥ AB Xét tứ giác ADHE ta có: \(\widehat {DHE} = {360^0} - \left( {\widehat A + \widehat D + \widehat E} \right) \) \(= {360^0} - \left( {{{60}^0} + {{90}^0} + {{90}^0}} \right) = {120^0}\) \(\widehat {BHC} = \widehat {DHE}\) (đối đỉnh) ∆ BHC = ∆ BMC (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {BMC} = \widehat {BHC}\) Suy ra: \(\widehat {BMC} = \widehat {DHE} = {120^0}\) Câu 62 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình thang vuông ABCD\(\left( {\widehat A = \widehat D = {{90}^0}} \right)\). Gọi điểm H la điểm đối xứng với B qua AD, I là giao điểm của CH và AD. Chứng minh rằng \(\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\) Giải: B và H đối xứng qua AD. I và A đối xứng với chính nó qua AD Nên \(\widehat {AIB}\) đối xứng với \(\widehat {AIH}\) qua AD \( \Rightarrow \widehat {AIB} = \widehat {AIH}\) \(\widehat {AIH} = \widehat {DIC}\)( đối đỉnh) Suy ra: \(\widehat {AIB} = \widehat {DIC}\) Câu 63 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hai điểm A, B thuộc cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng xy (AB không vuông góc với xy). Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua xy, C là giao điểm của A’B và xy. Gọi M là điểm bất kì khác C thuộc đường thẳng xy. Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB. Giải: Vì A’ đối xứng với A qua xy ⇒ xy là đường trung trực của AA’ ⇒ CA’ = CA (tính chất đường trung trực) MA = MA’ (tính chất đường trung trực) AC + CB = A’C + CB = A’B (1) MA + MB = MA’ + MB (2) Trong ∆ MA’B ta có: A’B < A’M + MB (bất đẳng thức tam giác) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: AC + CB < AM + MB Câu 64 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Trên cạnh AB lấy điểm I, trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AI = AK. Chứng minh rằng điểm I đối xứng với điểm K qua AH. Giải: ∆ ABC cân tại A AH ⊥ BC (gt) Suy ra : AH là tia phân giác \(\widehat A\) AI = AK (gt) ⇒∆ AIK cân tại A AH là tia phân giác \(\widehat A\) nên AH là đường trung trực của IK Vậy I đối xứng với K qua AH. Câu 65 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tứ giác ABCD có AB = BC, CD = DA (hình cái diều). Chứng minh rằng điểm A đối xứng với điểm C qua đường thẳng BD. Giải: Ta có: BA = BC (gt) Suy ra b thuộc đường trung trực của AC DC = DA (gt) Suy ra D thuộc đường trung trực của AC mà B ≠ D nên BD là đường trung trực của AC do đó A đối xứng với C qua trục BD. Câu 66 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tam giác ABC có AB < AC. Gọi d là đường trung trực của BC. Vẽ điểm K đối xứng với điểm A qua đường thẳng d. a. Tìm các đoạn thẳng đối xứng với đoạn thẳng AB qua d, đối xứng với đoạn thẳng AC qua d. b. Tứ giác AKCB là hình gì? Vì sao? Giải: a. d là đường trung trực của BC nên B và C đối xứng qua d K đối xứng với A qua d nên đoạn thẳng đối xứng với đoạn AB qua d là đoạn KC Đoạn thẳng đối xứng với đoạn AC qua d là đoạn KB b. d là đường trung trực của BC (gt) ⇒ d ⊥ BC A và K đối xứng qua d nên d là trung trực của AK ⇒ d ⊥ AK Suy ra: BC // AK. Tứ giác ABCK là hình thang AC và KB đối xứng qua d nên AC = BK. Vậy hình thang ABCK là hình thang cân. Câu 67 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên đường phân giác của góc ngoài đỉnh C (M khác C). Chứng minh rằng AC + CB < AM + MB. Giải: Trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho CE = CA. Nối MA, ME nên ∆ ACE cân tại C có CM là đường trung trực (tính chất tam giác cân) ⇒ MA = ME ( tính chất đường trung trực) Ta có: AB + BC = BC + CE = BE (1) MA + MB = MB + ME (2) Trong ∆ MBE ta có: BE < MB + ME ( bất đẳng thức tam giác) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: AB + BC = MA + MB Câu 68 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Trong các hình nét đậm vẽ trên giấy kẻ ô vuông ở hình 4, hình 5, hình nào có trục đối xứng ? Giải: Câu 70 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Điền dấu “x” vào ô thích hợp: Câu khẳng địnhĐúngSaia. Tam giác có một trục đối xứng là tam giác cânb. Tam giác có một trục đối xứng là hình thang cân Giải Câu khẳng địnhĐúngSaia. Tam giác có một trục đối xứng là tam giác cânxb. Tam giác có một trục đối xứng là hình thang cânxCâu 71 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng giao điểm hai đường chéo của hình thang cân nằm trên trục đối xứng của hình thang cân. Giải: Hình thang cân ABCD có AB // CD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xét ∆ ADC và ∆ BCD: AD = BC ( tính chất hình thang cân) AC = BD ( tính chất hình thang cân) CD cạnh chung Do đó ∆ ADC = ∆ BCD (c.c.c) \( \Rightarrow {\widehat D_1} = {\widehat C_1}\) ⇒ ∆ OCD cân tại O ⇒ OC = OD nên O nằm trên đường trung trực của CD. Trục đối xứng của hình thang cân là đường thẳng trung trực của hai đáy. Vậy O thuộc trục đối xứng của hình thang cân. Câu 72 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho góc nhọn xOy, điểm A nằm trong góc đó. Dựng điểm B thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho tam giác ABC có chu vi nhỏ nhất. Giải: Cách dựng: - Dựng điểm D đối xứng với A qua Ox - Dựng điểm E đối xứng với A qua tia Oy - Nối DE cắt Ox tại B, Oy tại C Tam giác ABC là tam giác có chu vi nhỏ nhất. Vì \(\widehat {xOy} < {90^0}\) nên DE luôn cắt Ox và Oy do đó ∆ ABC luôn dựng được. Chứng minh: Chu vi ∆ ABC bằng AB + BC + AC Vì D đối xứng với A qua Ox nên Õ là đường trung trực của AD ⇒ AB = BD ( tính chất đường trung trực) E đối xứng với A qua Oy nên Oy là đường trung trực của AE ⇒AC = CE ( tính chất đường trung trực) Suy ra: AB + BC + AC = BD + BC + CE = DE (1) Lấy B’ bất kì trên Ox, C’ bất kì trên tia Oy. Nối C’E, C’A, B’A, B’D. Ta có: B’A = B’D ( tính chất đường trung trực) C’A = C’E (tính chất đường trung trực) Chu vi ∆ AB’C’ bằng AB’ + AC’ + B’C’ = B’D + B’C’ +C’E (2) Vì DE ≤ B’D + B’C’ + C’E (dấu bằng sảy ra khi B’ trùng B. C’ trùng C) nên chu vi của ∆ ABC ≤ chu vị của ∆ A’B’C’ Vậy ∆ ABC có chu vi bé nhất. Câu 6.1 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hãy nối mỗi cột của ô bên trái với một ô của cột bên phải để được khẳng định đúng. 1. Trục đối xứng của tam giác ABC (AB = BC) làA. đường trung trực của AB.2. Trục đối xứng của hình thang cân ABCD (AB // CD) làB. đường trung trực của BC.C. đường trung trực của AC.Giải: Nối 1. với B Nối 2. với A Câu 6.2 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D, trên tia đối của tia AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng D đối xứng với E qua AM. Giải: ∆ ABC cân tại A AM là đường trung tuyến ⇒ AM là tia phân giác \(\widehat {BAC}\) \( \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {MAC}\) (1) Kéo dài MA cắt DE tai N, ta có: \(\widehat {BAM} = \widehat {DAN}\) (đối đỉnh) (2) \(\widehat {MAC} = \widehat {NAE}\) (đối đỉnh)(3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {DAN} = \widehat {NAE}\) ∆ ADE cân tại A có AN là tia phân giác ⇒ AN là đường trung trực của DE hay AM là đường trung trực của DE Vậy D đối xứng với E qua AM.
