Câu 73 trang 89 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Các tứ giác ABCD, EFGH vẽ trên giấy kẻ ô vuông ở hình 7 có là hình bình hành không ? Giải: Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có cạnh đối AD // BC và AD = BC bằng 3 cạnh ô vuông. Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có các cạnh đối bằng nhau. EH = FG là đường chéo hình chữ nhật có cạnh 1 ô vuông và cạnh 3 ô vuông EF = HG là đường chéo hình chữ nhật có cạnh 1 ô vuông và cạnh 3 ô vuông. Câu 74 trang 89 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm của AB, F là trung điểm của CD. Chứng minh rằng DE = BF. Giải: Ta có: AB = CD ( tính chất hình bình hành) \(\eqalign{ & EB = {1 \over 2}AB(gt) \cr & FD = {1 \over 2}CD(gt) \cr} \) Suy ra: EB = FB (1) Mà AB // CD (gt) ⇒ BE // FD (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ DE = BF (tính chất hình bình hành) Câu 75 trang 89 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD. Tia phân giác của góc A cắt CD ở M. Tia phân giác của góc C cắt AB ở N. Chứng minh rằng AMCN là hình bình hành. Giải: Ta có: \(\widehat A = \widehat C\) (tính chất hình bình hành) \(\eqalign{ & {\widehat A_2} = {1 \over 2}\widehat A(gt) \cr & {\widehat C_2} = {1 \over 2}\widehat C(gt) \cr} \) Suy ra: AB // CD (gt) hay AN // CM (1) Mà \({\widehat N_1} = {\widehat C_2}\) (so le trong) Suy ra: \({\widehat A_2} = {\widehat N_1}\) ⇒ AM // CN ( vì có các cặp góc ở vị trí đồng vị bằng nhau) (2) Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác AMCN là hình bình hành ( theo định nghĩa) Câu 76 trang 89 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Trên hình 8, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AECF là hình bình hành. Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD OA = OC ( tính chất hình bình hành) (1) Xét hai tam giác vuông AEO và CFO, ta có: \(\widehat {AEO} = \widehat {CFO} = {90^0}\) OA = OC ( chứng minh trên) \(\widehat {AOE} = \widehat {COF}\) (đối đỉnh) Do đó ∆ AEO =∆ CFO ( cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ OE = OF (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AECF là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) Câu 77 trang 89 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tứ giác ABCD có E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA. Tứ giác EFGH là hình gì ? Vì sao ? Giải: Nối đường chéo AC. Trong ∆ ABC ta có: E là trung điểm của AB (gt) F là trung điểm của BC (gt) nên EF là đường trung bình của ∆ ABC ⇒ EF // AC và EF \( = {1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình tam giác) (1) Trong ∆ ADC ta có: H là trung điểm của AD (gt) G là trung điểm của DC (gt) nên HG là đường trung bình của ∆ ADC ⇒ HG // AC và HG \( = {1 \over 2}\)AC (tính chất đường trung bình tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) Câu 78 trang 89 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD , AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự ở E, F. Chứng minh rằng DE = EF = FB. Giải: Ta có: AB = CD ( tính chất hình bình hành) AK \( = {1 \over 2}\)AB (gt) CI \( = {1 \over 2}\)CD (gt) Suy ra: AK = CI (1) Mặt khác: AB // CD (gt) ⇒ AK // CI (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AKCI là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ AI // CK Trong ∆ ABE ta có: K là trung điểm của AB (gt) AI // CK hay KF // AE nên BF // EF ( tính chất đường trung bình tam giác) Trong ∆ DCF ta có: I là trung điểm của DC (gt) AI // CK hay IE // CF nên DE = EF (tính chất đường trung bình tam giác) Suy ra: DE = EF = FB Câu 79 trang 89 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính các góc của hình bình hành ABCD, biết: a. \(\widehat A = {110^0}\) b. \(\widehat A - \widehat B = {20^0}\) Giải: a. Tứ giác ABCD là hình bình hành. \( \Rightarrow \widehat C = \widehat A = {110^0}\) (tính chất hình bình hành) \(\widehat A + \widehat B = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau) \( \Rightarrow \widehat B = {180^0} - \widehat A = {180^0} - {110^0} = {70^0}\) \(\widehat D = \widehat B = {70^0}\) (tính chất hình bình hành) b. Tứ giác ABCD là hình bình hành \( \Rightarrow \widehat A = \widehat B = {180^0}\) (2 góc trong cùng phía bù nhau) \(\widehat A - \widehat B = {20^0}\) (gt) Suy ra: \(2\widehat A = {200^0} \Rightarrow \widehat A = {100^0}\) \(\widehat C = \widehat A = {100^0}\) ( tính chất hình bình hành) \(\widehat B = \widehat A - {20^0} = {100^0} - {20^0} = {80^0}\) \(\widehat D = \widehat B = {80^0}\) (tính chất hình bình hành) Câu 80 trang 89 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Trong các tứ giác trên hình 9, tứ giác nào là hình bình hành ? Giải: Tứ giác ABCD là hình bình hành vì AB // BC và AD = BC Tứ giác IKMN là hình bình hành vì có \(\widehat I = \widehat M = {70^0},\widehat K = \widehat N = {110^0}\). Câu 81 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chu vi hình bình hành ABCD bằng 10cm, chu vi tam giác ABD bằng 9cm. Tính độ dài BD. Giải: Chu vi hình bình hành ABCD bằng 10cm nên (AB + AD).2 = 10 (cm) \(⇒ AB + AD = {{10} \over 2} =5\) (cm) Chu vi của ∆ ABD bằng : AB + AD +BD = 9 (cm) ⇒ BD = 9 – ( AB + AD) = 9 – 5 = 4 (cm) Câu 82 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Trên hình 10, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng AE // CF. Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD, ta có: (tính chất hình bình hành) Xét ∆ AEB và ∆ CFD : AB = CD (tính chất hình bình hành) \(\widehat {ABE} = \widehat {CDF}\) (so le trong) BE = DF (gt) Do đó: ∆ AEB = ∆ CFD (c.g.c) ⇒ BE = DF Ta có: OB = OE + BE OD = OF + DF Suy ra: OE = OF Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) // CF Câu 83 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. Gọi M là giao điểm của AF và DE, N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng : a. EMFN là hình bình hành. b. Các đường thẳng AC, EF, MN đồng quy. Giải: Xét tứ giác AECF, ta có: AB // CD (gt) hay AE // CF AE \( = {1 \over 2}\)AB (gt) CF \(= {1 \over 2}\)CD (gt) AB = CD (tính chất hình bình hành) Suy ra: AE = CF Tứ giác AECF là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau) ⇒ AF // CE hay EN // FM (1) Xét tứ giác BFDE ta có: AB // CD (gt) hay BE // DF BE \( = {1 \over 2}\)AB (gt) DF \( = {1 \over 2}\)CD (gt) AB = CD ( tính chất hình bình hành) Suy ra: BE = DF Tứ giác BFDE là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ BF // DE hay EM // FN (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EMFN là hình bình hành (theo định nghĩa) b. Gọi O là giao điểm của AC và EF Tứ giác AECF là hình bình hành ⇒ OE = OF Tứ giác EMFN là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Suy ra: MN đi qua trung điểm O của EF Vậy AC, EF, MN đồng quy tại O. Câu 84 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Trên hình 11, cho ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng: a. EGFH là hình bình hành b. Các đường thẳng AC, BD, EF, GH đồng quy. Giải: a. Xét ∆ AEH và ∆ CFG: AE = CF \(\widehat A = \widehat C\) (tính chất hình bình hành) AH = CG (vì AD = BC và DH = BG) Do đó: ∆ AEH = ∆ CFG (c.g.c) ⇒ EH = FG Xét ∆ BEG và ∆DFH: DH = BG (gt) \(\widehat B = \widehat D\) (tính chất hình bình hành) BE = DF (vì AB = CD và AE = CF) Do đó: ∆ BEG = ∆DFH (c.g.c) ⇒ EG = FH Suy ra: Tứ giác EGFH là hình bình hành (vì có cắc cặp cạnh đối bằng nhau) b. Gọi O là giao điểm của AC và EF. Xét tứ giác AECF: AB // CD (gt) hay AE // CF AE = CF (gt) Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có 1 cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ O là trung điểm của AC và EF Tứ giác ABCD là hình bình hành có O là trung điểm của AC nên O cũng là trung điểm của BD. Tứ giác EGFH là hình bình hành có O là trung điểm của EF nên O cùng là trung điểm của GH. Vậy AC, BD, GH đồng quy tại O. Câu 85 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD. Qua C kẻ đường thẳng xy chỉ có một điểm chung C với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, DD’ là các đường vuông góc kẻ từ A, B, D đến đường thẳng xy. Chứng ming rằng AA’ = BB’ + DD’. Giải: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Kẻ OO’ ⊥ xy Ta có: BB’ ⊥ xy (gt) DD’ ⊥ xy (gt) Suy ra: BB’ // OO’ // DD’ Tứ giác BB’D’D là hình thang OB = OD (tính chất hình bình hành) nên O’B’ = O’D’ do đó OO’ là đường trung bình của hình thang BB’D’D ⇒ OO’\( = {{BB' + {\rm{DD}}'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình hình thang) (1) AA’ ⊥ xy (gt) OO’ ⊥ xy (theo cách vẽ) Suy ra: AA’ // OO’ Trong ∆ ACA’ ta có: OA = OC ( tính chất hình bình hành) OO’ // AA’ nên OO’ là đường trung bình của ∆ ACA’ ⇒ OO’ \( = {1 \over 2}\)AA’ (tính chất đường trung bình của tam giác) ⇒ AA’ = 2OO’ (2) Từ (1) và (2) suy ra: AA’ = BB’ + DD’. Câu 86 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD và đường thẳng xy không có điểm chung với hình bình hành. Gọi AA’, BB’, CC’, DD’ là đường vuông góc kẻ từ A, B, C, D đến đường thẳng xy. Tìm mối liên hệ độ dài giữa AA’, BB’, CC’, DD’. Giải: Gọi O là giao điểm của AC và BD Kẻ OO’ ⊥ xy AA’ ⊥ xy (gt) CC’ ⊥ xy (gt) Suy ra: AA’// OO’ // CC’ Tứ giác ACCA’ là hình thang có: OA = OC (chứng minh trên) OO’ // AA’ nên OO’ là đường trung bình của hình thang ACC’A’. ⇒ OO’ \( = {{{\rm{AA'}} + CC'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của hình thang) (1) BB’ ⊥ xy (gt) DD’ ⊥ xy (gt) OO’ ⊥ xy (theo cách vẽ) Suy ra: BB’ // OO’ // DD’ Tứ giác BDD’B’ là hình thang có: OB = OD (chứng minh trên) OO’ // BB’ nên OO’ là đường trung bình của hình thang BDD’B’ ⇒ OO’ \( = {{BB' + {\rm{DD}}'} \over 2}\) (tính chất đường trung bình của hình thang) (2) Từ (1) và (2) suy ra: AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Câu 87 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD có\(\widehat A = \alpha > {90^0}\). Ở phía ngoài hình bình hành, vẽ các tam giác đều ADF, ABE. a. Tính \(\widehat {EAF}\) b. Chứng minh rằng tam giác CEF là tam giác đều. Giải: a. Vì \(\eqalign{ & \widehat {BAD} + \widehat {BAE} + \widehat {EAF} + \widehat {FAD} = {360^0} \cr & \Rightarrow \widehat {EAF} = {360^0} - \left( {\widehat {BAD} + \widehat {BAE} + \widehat {FAD}} \right) \cr} \) mà \(\widehat {BAD} = \alpha \) (gt) \(\widehat {BAE} = {60^0}\) (∆ BAE đều) \(\widehat {FAD} = {60^0}\) (∆ FAD đều) nên \(\widehat {EAF} = {360^0} - \left( {\alpha + {{60}^0} + {{60}^0}} \right) = {240^0} - \alpha \) b. Ta có: \(\widehat {ADC} + \widehat {BAD} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau) \(\eqalign{ & \Rightarrow \widehat {ADC} = {180^0} - \widehat {BAD} = {180^0} - \alpha \cr & \widehat {CDF} = \widehat {ADC} + \widehat {ADF} = {180^0} - \alpha + {60^0} = {240^0} - \alpha \cr} \) Suy ra: \(\widehat {CDF} = \widehat {EAF}\) Xét ∆ AEF và ∆ DCF: AF = DF (vì ∆ ADF đều) AE = DC (vì cùng bằng AB) \(\widehat {CDF} = \widehat {EAF}\) (chứng minh trên) Do đó ∆ AEF = ∆ DCF (c.g.c) ⇒ EF = CF (1) \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (tính chất hình bình hành) \(\widehat {CBE} = \widehat {ABC} + {60^0} = \widehat {ADC} + {60^0} = {180^0} - \alpha + {60^0} = {240^0} - \alpha \) Xét ∆ BCE và ∆ DCF: BE = CD (vì cùng bằng AB) \(\widehat {CBE} = \widehat {CDF} = {240^0} - \alpha \) BC = DF (vì cùng bằng AD) Do đó: ∆ BCE = ∆ DFC (c.g.c) ⇒ CE = CF (2) Từ (1) và (2) suy ra : EF = CF = CE. Vậy ∆ ECF đều. Câu 88 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC. Ở phía ngoài tam giác, vẽ các tam giác vuông cân tại A là ABD, ACE. Vẽ hình bình hành ADIE. Chứng minh rằng: a. IA = BC; b. IA ⊥ BC. Giải: a. \(\widehat {BAC} + \widehat {BAD} + \widehat {DAE} + \widehat {EAC} = {360^0}\) \(\widehat {BAD} = {90^0},\widehat {EAC} = {90^0}(gt)\) Suy ra: \(\widehat {BAC} + \widehat {DAE} = {180^0}\) (1) AE // DI (gt) ⇒ \(\widehat {ADI} + \widehat {DAE} = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía) (2) Từ (1) và (2) suy ra: Xét ∆ ABC và ∆ DAI : AB = AD (gt) \(\widehat {BAC} = \widehat {ADI}\) (chứng minh trên) AC = DI (vì cùng bằng AE) Do đó: ∆ ABC = ∆ DAI (c.g.c) ⇒ IA = BC b. ∆ ABC = ∆ DAI ( chứng minh trên) \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat B_1}\) (3) Gọi giao điểm IA và BC là H. Ta có: \({\widehat A_1} + \widehat {BAD} + {\widehat A_2} = {180^0}\) (kề bù) mà \(\widehat {BAD} = {90^0}(gt) \Rightarrow {\widehat A_1} + {\widehat A_2} = {90^0}\) (4) Từ (3) và (4) suy ra: \({\widehat B_1} = {\widehat A_2} = {90^0}\) Trong ∆ AHB ta có: \(\widehat {AHB} + \widehat {{B_1}} + {\widehat A_2} = {180^0}\) Suy ra \(\widehat {AHB} = {90^0} \Rightarrow AH \bot BC\) hay IA ⊥ BC Câu 89 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Dựng hình bình hành ABCD, biết: a. AB = 2cm, AD = 3cm, \(\widehat A = {110^0}\) b. AC = 4cm, BD = 5cm, \(\widehat {BOC} = {50^0}\) (O là giao điểm của hai đường chéo). Giải: Cách dựng: Dựng ∆ ABD có AB = 2cm, \(\widehat A = {110^0}\), AD = 3cm - Dựng tia Bx // AD - Dựng tia Dy // AB cắt Bx tại C Ta có hình bình hành ABCD cần dựng Chứng minh: AB // CD, AD // BC nên tứ giác ABCD là hình bình hành. Ta lại có AB = 2cm, \(\widehat A = {110^0}\) , AD = 3cm. Bài toán có một nghiệm hình. b. Cách dựng: - Dựng ∆ OBC có OC = 2cm, OB = 2,5cm , \(\widehat O = {50^0}\) - Trên tia đối tia OC lấy điểm A sao cho OA = OC = 2cm - Trên tia đối tia OB lấy điểm D sao cho AD = OB = 2,5cm Nối AB, BC, CD, AD ta có hình bình hành ABCD cần dựng Chứng minh: Tứ giác ABCD có OA = OC, OB = OD nên nó là hình bình hành vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Có AC = 4cm, BD = 5cm, \(\widehat {BOC} = {50^0}\) Bài toán có một nghiệm hình. Câu 90 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho ba điểm A, B, C trên giấy kẻ ô vuông (h.12). Hãy vẽ điểm thứ tư M sao cho A, B, C, M là bốn đỉnh của một hình bình hành Giải: - Nếu hình bình hành nhận AC làm đường chéo vì AB là đường chéo hình vuông có cạnh là hai ô vuông nên \(C{M_1}\) là đường chéo hình vuông cạnh 2 ô vuông và A, \({M_1}\)nằm trên nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành \(ABC{M_1}\) . - Nếu hình bình hành nhận BC làm đường chéo, điểm A cách điểm C ba ô vuông , điểm B cách \({M_2}\) là ba ô vuông và C, \({M_2}\)cũng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB ta có hình bình hành \(AB{M_2}C\) - Nếu hình bình hành nhận AB làm đường chéo thì điểm \({M_3}\) cách điểm B ba ô vuông, \({M_3}\)và A nằm trên cũng một nửa mặt phẳng bờ BC ta có hình bình hành \(ACB{M_3}\) . Câu 91 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC. Dựng đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AB ở E, cắt cạnh AC ở F sao cho BE = AF. Giải: Cách dựng: - Dựng đường phân giác AD - Qua D dựng đường thẳng song song AB cắt AC tại F. - Qua F dựng đường thẳng song song với BC cắt AB tại E. Ta có điểm E, F cần dựng. Chứng minh: DF // AB \( \Rightarrow {\widehat A_1} = {\widehat D_1}\) (so le trong) \({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (gt) Suy ra: \({\widehat D_1} = {\widehat A_2}\) ⇒ ∆ AFD cân tại F ⇒ AF = DF (1) DF // AB hay DF // BE EF // BC hay EF // ED Tứ giác BDFE là hình bình hành ⇒ BE = DF (2) Từ (1) và (2) suy ra: AF = BE Câu 7.1 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tứ giác ABCD là hình bình hành nếu: A. AB = CD; B. AD = BC; C. AB // CD và AD = BC; D. AB = CD và AD = BC. Hãy chọn phương án đúng. Giải: Chọn (D) đúng. Câu 7.2 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD , các đường chéo cắt nhau tại O. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của OD, OB. Gọi K là giao điểm của AE và CD. Chứng minh rằng: a. AE song song CF b. DK \( = {1 \over 2}\)KC Giải: a. Ta có: OB = OD (tính chất hình bình hành) OE \( = {1 \over 2}\)OD (gt) OF \( = {1 \over 2}\)OB (gt) Suy ra: OE = OF Xét tứ giác AECF, ta có: OE = OF (chứng minh trên) OA = OC (vì ABCD là hình bình hành) Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường ) ⇒ AE // CF b. Kẻ OM // AK Trong ∆ CAK ta có: OA = OC ( chứng minh trên) OM // AK ( theo cách vẽ) ⇒ CM // MK (tính chất đường trung bình của tam giác) (1) Trong ∆ DMO ta có: DE = EO (gt) EK // OM ⇒ DK // KM (tính chất đường trung bình của tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: DK = KM = MC ⇒ DK \( = {1 \over 2}\)KC Câu 7.3 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm E trên cạnh AB, điểm F trên cạnh CD sao cho AE = CF. Chứng minh rằng ba đường thẳng AC, BD, EF đồng quy. Giải: Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Xét tứ giác AECF: AB // CD (gt) ⇒ AE // CF AE = CF (gt) Suy ra: Tứ giác AECF là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ AC và EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường OA = OC ( tính chất hình bình hành) ⇒ EF đi qua O Vậy AC, BD, EF đồng quy tại O.
