Câu 92 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình 13 trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng điểm M đối xứng với điểm N qua điểm C. Giải: Tứ giác ABCD là hình bình hành ⇒ AB // CD hay BM // CD Xét tứ giác BMCD ta có: BM // CD BM = CD (gt) Suy ra: Tứ giác BMCD là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ MC // BD và MC = BD (1) AD // BC ( gt) hay DN // BC Xét tứ giác BCND ta có: DN // BC DN = BC (vì cùng bằng AD) Suy ra: Tứ giác BCND là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ CN // BD và CN = BD (2) Từ (1) và (2) suy ra: M, C, N thẳng hàng và MC = CN Vậy M và N đối xứng qua tâm C. Câu 93 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình 14 trong đó DE // AB, DF // AC. Chứng minh rằng điểm E đối xưng với điểm F qua điểm I. Giải: DE // AB (gt) hay DE //AF DF // AC (gt) hay DF // AE Tứ giác AEDF là hình bình hành. I là trung điểm của AD nên EF đi qua trung điểm I và IE = IF ( tính chất hình bình hành) Vậy E và F đối xứng qua tâm I. Câu 94 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BM, CN. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với C qua N. Chứng minh rằng điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A. Giải: Xét tứ giác ABCD ta có: MA = MC (gt) MB = MD (định nghĩa đối xứng tâm) Suy ra: Tứ giác ABCD là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AD // BC và AD = BC (1) Xét tứ giác ACBE: AN = NB (gt) NC = NE ( định nghĩa đối xứng tâm) Suy ra: Tứ giác ACBE là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) ⇒ AE // BC và AE = BC (2) Từ (1) và (2) suy ra: A, D, E thẳng hàng và AD = AE nên A là trung điểm của DE hay điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A. Câu 95 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi E là điểm đối xứng với D qua AB, gọi F là điểm đối xứng với D qua AC. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng nhau qua điểm A. Giải: Vì E đối xứng với D qua AB ⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng DE ⇒ AD = AE (tính chất đường trung trực) nên ∆ ADE cân tại A Suy ra: AB là đường phân giác của \(\widehat {DAE} \Rightarrow {\widehat A_1} = \widehat {{A_2}}\) Vì F đối xứng với D qua AC ⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DF ⇒ AD = AF ( tính chất đường trung trực) nên ∆ ADF cân tại A Suy ra: AC là đường phân giác của \(\widehat {DAF}\) \( \Rightarrow {\widehat A_3} = {\widehat A_4}\) \(\widehat {EAF} = \widehat {EAD} + \widehat {{\rm{DAF}}} = {\widehat A_2} + {\widehat A_1} + {\widehat A_3} + {\widehat A_4}\) \(= 2\left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat A}_3}} \right) = {2.90^0} = {180^0}\) ⇒ E, A, F thẳng hàng có AE = AF = AD nên A là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với F qua điểm A. Câu 96 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt hai cạnh đối AD, BC ở E, F. Chứng minh rằng các điểm E và F đối xứng nhau qua điểm O. Giải: Xét ∆ OED và ∆ OFB: \(\widehat {EOD} = \widehat {FOB}\) (đối đỉnh) OD = OB (tính chất hình bình hành) \(\widehat {ODE} = \widehat {OBF}\) (so le trong) Do đó: ∆ OED = ∆ OFB (g.c.g) ⇒ OE = OF nên O là trung điểm của EF hay điểm E đối xứng với điểm F qua điểm O. Câu 97 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình 15 trong đó ABCD là hình bình hành. Chứng minh rằng các điểm H và K đối xứng với nhau qua điểm O. Giải: Xét hai tam giác vuông AHO và CKO: \(\widehat {AHO} = \widehat {CKO} = {90^0}\) OA = OC ( tính chất hình bình hành) \(\widehat {AOH} = \widehat {COK}\) (đối đỉnh) Do đó: ∆ AHO = ∆ CKO (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ OH = OK nên O là trung điểm của HK hay điểm H đối xứng với điểm K qua điểm O. Câu 98 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC, D là trung điểm của AB, E là trung điểm của AC. Gọi O là một điểm bất kì nằm trong tam giác ABC. Vẽ điểm M đối xứng với O qua D, vẽ điểm N đối xứng với O qua E. Chứng minh rằng MNCB là hình bình hành. Giải: Xét tứ giác AOBM: DA = DB (gt) DO = DM (định nghĩa đối xứng tâm) Suy ra: Tứ giác AOBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) ⇒ BM // AO và BM = AO (1) Xét tứ giác AOCN: EA = EC (gt) EO = EN (định nghĩa đối xứng tâm) Suy ra: Tứ giác AOCN là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) ⇒ CN // AO và CN = AO (2) Từ (1) và (2) suy ra: BM // CN và BM = CN Vậy : Tứ giác BMNC là hình bình hành ( vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) Câu 99 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau ở G. Gọi H là điểm đối xứng với G qua D, I là điểm đối xứng với G qua E, K là điểm đối xứng với G qua F. Tìm các điểm đối xứng với A, với B, với C qua G. Giải: Ta có: GD = DH (tính chất đối xứng tâm) ⇒ GH = 2GD (1) GA = 2GD ( tính chất đường trung tuyến của tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: GA = GH nên điểm đối xứng với điểm A qua tâm G là điểm H GE = EI (tính chất đối xứng tâm) ⇒ GI = 2GE (3) GB = 2GE (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (4) Từ (3) và (4) suy ra: GB = GI nên điểm đối xứng với điểm B qua tâm G là điểm I GF = FK (tính chất đối xứng tâm) ⇒ GK = 2GF (5) GC = 2GF (tính chất đường trung tuyến của tam giác) (6) Từ (5) và (6) suy ra: GC = GK nên điểm đối xứng với điểm C qua tâm G là điểm K Câu 100 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo. Qua O, vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AB, CD ở E, F. Qua O vẽ đường thẳng cắt hai cạnh AD, BC ở G, H. Chứng minh rằng EGFH là hình bình hành. Giải: Xét ∆ OAE và ∆ OCF: OA = OC (tính chất hình bình hành) \(\widehat {AOE} = \widehat {COF}\) (đối đỉnh) \(\widehat {OAE} = \widehat {OCF}\) (so le trong) Do đó: ∆ OAE = ∆ OCF (g.c.g) ⇒ OE = OF (1) Xét ∆ OAG và ∆ OCH: OA = OC (tính chất hình bình hành) \(\widehat {AOG} = \widehat {COH}\) (đối đỉnh) \(\widehat {OAG} = \widehat {OCH}\) (so le trong) Do đó: ∆ OAG = ∆ OCH (g.c.g) ⇒ OG = OH (2) Từ (1) và (2) suy ra: Tứ giác EGFH là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường) Câu 101 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho góc xOy, điểm A nằm trong góc đó. Vẽ điểm B đối xứng với A qua Ox, vẽ điểm C đối xứng với A qua Oy. a. Chứng minh rằng OB = OC b. Tính số đo góc xOy để B đối xứng với C qua O. Giải: a. Vì B đối xứng với A qua trục Ox nên Ox là đường trung trực của đoạn AB. ⇒ OA = OB (tính chất đường trung trực) (1) Vì C đối xứng với A qua trục Oy nên Oy là đường trung trực của đoạn AC. ⇒ OA = OC (tính chất đường trung trực) (2) Từ (1) và (2) suy ra: OB = OC. b. Ta có: OB = OC do đó điểm B đối xứng với điểm C qua tâm O cần thêm điều kiện B, O, C thẳng hàng. ∆ OAB cân tại O có Ox là đường trung trực của AB nên Ox cũng là đường phân giác của \(\widehat {AOB} \Rightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_3}\) ∆ OAC cân tại O có Oy là đường trung trực của AC nên Oy cũng là đường phân giác của \(\widehat {AOC} \Rightarrow {\widehat O_2} = {\widehat O_4}\) B, O, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow {\widehat O_1} = {\widehat O_2} + {\widehat O_3} + {\widehat O_4} = {180^0}\) \(\eqalign{& \Leftrightarrow 2{\widehat O_1} + 2{\widehat O_2} = {180^0} \cr& \Leftrightarrow {\widehat O_1} + {\widehat O_2} = {90^0} \cr& \Leftrightarrow \widehat {xOy} = {90^0} \cr} \) Vậy \(\widehat {xOy} = {90^0}\) thì B đối xứng với C qua tâm O. Câu 102 trang 92 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC có trực tâm H. Gọi M là trung điểm của BC, K là điểm đối xứng với H qua M. Tính số đo góc ABK, ACK. Giải: Ta có K là điểm đối xứng của H qua tâm M nên MK = MH Xét tứ giác BHCK ta có: BM = MC (gt) MK = MH (chứng minh trên) Suy ra: Tứ giác BHCK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) Suy ra: KB // CH, KC // BH CH ⊥ AB (gt) Suy ra: KB ⊥ AB nên \(\widehat {KBA} = {90^0}\) BH ⊥ AC (gt) Suy ra : CK ⊥ AC nên \(\widehat {KCA} = {90^0}\) Câu 103 trang 92 Sách bài tập(SBT) Toán 8 tập 1. Trong các hình sau, hình nào có tâm đối xứng ? Với các hình đó, hãy chỉ rõ tâm đối xứng của hình. a. Đoạn thẳng AB. b. Tam giác đều ABC. c. Đường tròn tâm O. Giải: Hình có tâm đối xứng là: a. Đoạn thẳng AB là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của đoạn thẳng AB là trung điểm của nó. b. Tam giác đều ABC là hình không có tâm đối xứng c. Đường tròn tâm O là hình có tâm đối xứng. Tâm đối xứng của (O) là tâm của đường tròn đó. Câu 104 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho góc xOy và điểm A nằm trong góc đó. a. Vẽ điểm B đối xứng với O qua A. Qua B kẻ đường thẳng song song với Ox, cắt Oy ở C. Gọi D là giao điểm của CA và Ox. Chứng minh rằng các điểm C và D đối xứng với nhau qua điểm A. b. Từ đó suy ra cách dựng đường thẳng đi qua A, cắt Ox, Oy ở D, C sao cho A là trung điểm của CD. Giải: a. Xét ∆ OAD và ∆ BAC: OA = AB (tính chất đối xứng tâm) \({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (đối đỉnh) \({\widehat O_1} = {\widehat B_1}\) (so le trong) Do đó: ∆ OAD = ∆ BAC (g.c.g) ⇒ AD = AC Suy ra: C đối xứng với D qua tâm A. b. Cách dựng : - Dựng B đối xứng với O qua tâm A - Qua B dựng đường thẳng song song Ox cắt Oy tại C. - Dựng tia CA cắt Ox tại D. Ta có D là điểm cần dựng. Chứng minh : (như câu a) Câu 8.1 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Xét tính đúng – sai của mỗi khẳng định sau: a. Trung điểm của một đoạn thẳng là tâm đối xứng của đoạn thẳng đó. b. Giao điểm hai đường chéo của một hình bình hành là tâm đối xứng của hình bình hành đó. c. Trọng tâm của một tam giác là tâm đối xứng của tam giác đó. d. Tâm của một đường tròn là tâm đối xứng của đường tròn đó. Giải: a. Đúng b. Đúng c. Sai d. Đúng Câu 8.2 trang 93 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM và trọng tâm G. Gọi I là điểm đối xứng với A qua G. Chứng minh rằng I là điểm đối xứng với G qua M. Giải: I đối xứng với A qua tâm G ta có: GA = GI, GM GA ( tính chất đường trung tuyến của tam giác) Suy ra: GM GI Mà: GM + MI = GI Suy ra: GM = MI nên điểm M là trung điểm của GI Vậy I đối xứng với G qua tâm M.
