Câu 157 trang 99 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là: a. Hình chữ nhật b. Hình thoi c. Hình vuông Giải: Trong ∆ ABC ta có EF là đường trung bình nên EF // AC và EF = \({1 \over 2}\)AC (1) Trong ∆ ADC ta có HG là đường trung bình nên HG // AC và HG = \({1 \over 2}\)AC (2) Từ (1) và (2) suy ra: EF // HG và EF = HG Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành a. Tứ giác EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AC ⊥ BD b. Tứ giác EFGH là hình thoi ⇔ EH = EF ⇔ AC = BD c. Tứ giác EFGH là hình vuông ⇔ AC ⊥ BD và AC = BD Câu 158 trang 100 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D là trung điểm của BC. Gọi M là điểm đối xứng với D qua AB, E là giao điểm của DM và AB. Gọi N là điểm đối xứng với D qua AC, F là giao điểm của DN và AC. a. Tứ giác AEDF là hình gì ? Vì sao ? b. Các tứ giác ADBM, ADCN là hình gì ? Vì sao ? c. Chứng minh rằng M đối xứng với N qua A d. Tam giác vuông ABC có điều kiện gì thì tứ giác AEDF là hình vuông ? Giải: a. Điểm M và điểm D đối xứng qua trục AB ⇒ AB là đường trung trực của đoạn thẳng MD ⇒ AB ⊥ DM ⇒ \(\widehat {AED} = {90^0}\) Điểm D và điểm N đối xứng nhau qua trục AC ⇒ AC là đường trung trực của đoạn thẳng DN ⇒ AC ⊥ DN \( \Rightarrow \widehat {AFD} = {90^0}\) \(\widehat {EAF} = {90^0}\) (gt) Vậy tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông) b. Tứ giác AEDF là hình chữ nhật ⇒ DE // AC; DF // AB Trong ∆ ABC ta có: DB = DC (gt) DE // AC Suy ra: AE = EB (tính chất đường trung bình tam giác); DF// AB Suy ra: AF = FC (tính chất đường trung bình của tam giác) Xét tứ giác ADBM : AE = EB (chứng minh trên) ED = EM (vì AB là trung trực DM) Suy ra: Tứ giác ADBM là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) AB ⊥ DM Vậy hình bình hành ADBM là hình thoi ( vì có hai đường chéo vuông góc) Xét tứ giác ADCN: AF = FC (chứng minh trên) DF = FN (vì AC là đường trung trực DN) Suy ra: Tứ giác ADCN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) AC ⊥ DN Vậy hình bình hành ADCN là hình thoi (vì có hai đường chéo vuông góc) c. Tứ giác ADBM là hình thoi ⇒ AM // DB và AM = AD hay AM // BC và AM = AD (1) Tứ giác ADCN là hình thoi ⇒ AN // DC và AD = AN hay AN // BC và AN = AD (2) Từ (1) và (2) suy ra: AM trung với AN hay M, A, N thẳng hàng Và AM = AN nên A là trung điểm của MN Vậy điểm M và điểm N đối xứng với nhau qua điểm A d. Hình chữ nhật AEDF trở thành hình vuông khi AE = AF Ta có: AE = \({1 \over 2}\)AB ; AF =\({1 \over 2}\)AC nên AE = AF AB = AC Vậy nếu ∆ ABC vuông cân tại A thì tứ giác AEDF là hình vuông. Câu 159 trang 100 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D là điểm đối xứng với H qua AB, gọi E là điểm đối xứng với H qua AC. a. Chứng minh rằng D đối xứng với E qua A b. Tam giác DHE là tam giác gì ? Vì sao ? c. Tứ giác BDEC là hình gì ? Vì sao ? d. Chứng minh rằng BC = BD + CE. Giải: a. Điểm D đối xứng điểm H qua trục AB ⇒ AB là đường trung trực của HD ⇒ AH = AD (tính chất đường trung trực) ⇒ ∆ ADH cân tại A Suy ra: AB là tia phân giác của \(\widehat {DAH} \Rightarrow \widehat {DAB} = {\widehat A_1}\) Điểm H và điểm E đối xứng qua trục AC ⇒ AC là đường trung trực của HE ⇒ AH = AE (tính chất đường trung trực) ⇒ ∆ AHE cân tại A Suy ra: AC là đường phân giác của \(\widehat {HAE} \Rightarrow {\widehat A_2} = \widehat {EAC}\) \(\widehat {DAE} = \widehat {DAH} + \widehat {HAE} = 2\left( {{{\widehat A}_1} + {{\widehat A}_2}} \right) = {2.90^0} = {180^0}\) D, A, E thẳng hàng AD = AE (vì cùng bằng AH) nên điểm A là trung điểm của đoạn DE Vậy điểm D đối xứng với điểm E qua điểm A. b) Tam giác DHE có HA là trung tuyến và \(AH = {1 \over 2}DE\) nên tam giác DHE vuông tại H. c) Xét \(\Delta ADB\) và \( \Delta AHB\) có: +) AB chung +) BD = BH ( vì AB là trung trực của DH) +) AD = AH (vì AB là trung trực của DH) \(\Rightarrow \Delta ADB = \Delta AHB\;(c.c.c)\) \( \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {ADB}=90^0\) (hai góc tương ứng) Xét \(\Delta AEC\) và \( \Delta AHC\) có: +) AC chung +) EC = HC ( vì AC là trung trực của EH) +) AE = AH (vì AC là trung trực của EH) \(\Rightarrow \Delta AEC = \Delta AHC\;(c.c.c)\) \( \Rightarrow \widehat {AHC} = \widehat {AEC}=90^0\) (hai góc tương ứng) Suy ra BD//CE (vì cùng vuông góc với DE) Do đó tứ giác BDEC là hình thang có 2 góc vuông kề cạnh bên DE nên BDEC là hình thang vuông. d) Do AB là đường trung trực của DH nên BD=BH (5) Do AC là đường trung trực của EH nên CE=CH (6) Cộng vế với vế của (5) và (6) ta có BD+CE=BH+CH hay BD+CE=BC Câu 160 trang 100 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H theo thứ tự là trung điểm của AB, AC, DC, DB. Tìm điều kiện của tứ giác ABCD để EFGH là: a. Hình chữ nhật b. Hình thoi c. Hình vuông Giải: Xét tam giác ABC: Ta có: EB = EA, FA = FC (gt) Nên EF // BC, EF = \({1 \over 2}\) BC. Xét tam giác BDC có HB = HD, GD = GC (gt) Nên HG // BC, HG = \({1 \over 2}\) BC. Do đó EF //HG, EF = HG. Tương tự EH // FG, EH = FG Vậy EFGH là hình bình hành. a) EFGH là hình chữ nhật ⇔ EH ⊥ EF ⇔ AD ⊥ BC b) EFGH là hình thoi ⇔ EH = EF ⇔ AD = BC c) EFGH là hình thoi ⇔ AD ⊥ BC và AD = BC Câu 161 trang 100 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau ở G. Gọi H là trung điểm của GB, K là trung điểm của GC. a. Chứng minh rằng tứ giác DEHK là hình bình hành. b. Tam giác ABC có điều kiện gì thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật ? c. Nếu các đường trung tuyến BD và CE vuông góc với nhau thì tứ giác DEHK là hình gì ? Giải: a. Ta có: GD = \({1 \over 2}\)GB (tính chất đường trung tuyến của tam giác) GH = \({1 \over 2}\)GB (gt) Suy ra: GD = GH GE = \({1 \over 2}\)GC (tính chất đường trung tuyến của tam giác) GK = \({1 \over 2}\)GC (gt) Suy ra: GE = GK Tứ giác DEHK là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) b. Hình bình hành DEHK trở thành hình chữ nhật khi DH = EK mà DH = \({1 \over 2}\)BD; EK = \({1 \over 2}\)CE nên DH = EK ⇒ BD = CE ⇒ ∆ ABC cân tại A Vậy ∆ ABC cân tại A thì tứ giác DEHK là hình chữ nhật. c. Nếu BD ⊥ CE ⇒ DH ⊥ EK Hình bình hành DEHK có hai đường chéo vuông góc nên nó là hình thoi. Câu 162 trang 100 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD. Gọi E và F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. a. Các tứ giác AEFD, AECF là hình gì ? Vì sao ? b. Gọi M là giao điểm của AF và DE, gọi N là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình chữ nhật. c. Hình bình hành ABCD nói trên có thêm điều kiện gì thì EMFN là hình vuông ? Giải: a. Xét tứ giác AEFD: AB // CD (gt) hay AE // FD AE = \({1 \over 2}\)AB (gt) FD = \({1 \over 2}\)CD (gt) Suy ra: AE = FD Tứ giác AEFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) AD = AE = \({1 \over 2}\)AB Vậy tứ giác AEFD là hình thoi. Xét tứ giác AECF : AE // CF (gt) AE = \({1 \over 2}\)AB (gt) CF = \({1 \over 2}\)CD (gt) Suy ra: AE = CF Tứ giác AECF là hình bình hành (vì có một cặp canh đối song song và bằng nhau) b. Tứ giác AECF là hình thoi ⇒ AF ⊥ ED ⇒ \(\widehat {EMF} = {90^0}\) AF // CE (vì tứ giác AECF là hình bình hành) Suy ra: CE ⊥ ED \( \Rightarrow \widehat {MEN} = {90^0}\) Xét tứ giác EBFD ta có: EB = FD (vì cùng bằng AE) EB // FD (vì AB // CD) Xét tứ giác EBFD là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) ⇒ DE // BF Suy ra: BF ⊥ AF = 1v Vậy tứ giác EMFN là hình chữ nhật. c. Ta có: Hình chữ nhật EMFN là hình thoi ⇒ ME = MF ME = \( \Rightarrow \widehat {MEN} = {90^0}\)DE (tính chất hình thoi) MF = \( \Rightarrow \widehat {MEN} = {90^0}\)AF (tính chất hình thoi) Suy ra: DE = AF ⇒ Tứ giác AEFD là hình vuông (vì hình thoi có 2 đường chéo bằng nhau) ⇒ \(\widehat A = {90^0}\) ⇒ Hình bình hành ABCD là hình chữ nhật Ngược lại: ABCD là hình chữ nhật ⇒\(\widehat A = {90^0}\) Hình thoi AEFD có \(\widehat A = {90^0}\) nên AEFD là hình vuông ⇒ AF = DE ⇒ ME = MF (tính chất hình vuông) Hình chữ nhật EMFN là hình vuông (vì có hai cạnh kề bằng nhau) Vậy hình chữ nhật EMFN là hình vuông nếu ABCD là hình chữ nhật có AB = 2 AD. Câu 163 trang 100 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD có E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, CD. a. Tứ giác DEBF là hình gì ? Vì sao ? b. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, BD, EF cùng cắt nhau tại một điểm. c. Gọi giao điểm của AC với DE và BF theo thứ tự là M và N. Chứng minh rằng tứ giác EMFN là hình bình hành. Giải: a. Xét tứ giác DEBF: AB // CD (gt) hay DF // EB EB = \({1 \over 2}\)AB (gt) DF = \({1 \over 2}\)CD (gt) Suy ra: EB = DF Tứ giác DEBF là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau) b. Gọi O là giao điểm của AC và BD OB = OD (tính chất hình bình hành) Tứ giác DEBF là hình bình hành nên EF và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường Suy ra: EF đi qua trung điểm O của BD Vậy AC, BD và EF cắt nhau tại O trung điểm của mỗi đoạn c. Xét ∆ EOM và ∆ FON: \(\widehat {MEO} = \widehat {NFO}\) (so le trong) OE = OF (tính chất hình bình hành) \(\widehat {MOE} = \widehat {NOF}\) (đối đỉnh) Do đó : ∆ EOM = ∆ FON (g.c.g) ⇒ OM = ON Vậy tứ giác EMFN là hình bình hành (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) Câu 164 trang 101 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho đoạn thẳng AB = a. Gọi M là một điểm nằm giữa A và B. Vẽ về một phía của AB các hình vuông AMNP, BMLK có tâm theo thứ tự là C, D. Gọi I là trung điểm của CD. a. Tính khoảng cách từ I đến AB b. Khi điểm M di chuyển trên đoạn thẳng AB thì điểm I di chuyển trên đường nào ? Giải: a. Kẻ CE ⊥ AB, IH ⊥ AB, DF ⊥ AB ⇒ CE // DF // IH IC = ID (gt) nên IH là đường trung bình của hình thang DCEF \( \Rightarrow IH = {{DF + CE} \over 2}\) (1) C là tâm hình vuông AMNP ⇒ ∆ CAM là tam giác vuông cân tại C CE ⊥ AM ⇒ CE là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) ⇒ CE = \({1 \over 2}\)AM D là tâm hình vuông BMLK ⇒ ∆ DBM vuông cân tại D DF ⊥ BM ⇒ DF là đường trung tuyến (tính chất tam giác cân) ⇒ DF = \({1 \over 2}\)BM Vậy CE + DF = \({1 \over 2}\)AM + \({1 \over 2}\)BM = \({1 \over 2}\) (AM + BM) = \({1 \over 2}\)AB = \({a \over 2}\) ⇒ IH = \({{{a \over 2}} \over 2} = {a \over 4}\) b. Gọi Q là giao điểm của BL và AN Ta có: AN ⊥ MP (tính chất hình vuông) BL ⊥ MK (tính chất hình vuông) MP ⊥ MK (tính chất hai góc kề bù) Suy ra: BL ⊥ AN ⇒ ∆ QAB vuông cân tại Q cố định. M thay đổi thì I thay đổi luôn cách đoạn thẳng AB cố định một khoảng không đổi bằng \({a \over 4}\) nên I chuyển động trên đường thẳng song song với AB, cách AB một khoảng bằng \({a \over 4}\) Khi M trùng B thì I trùng với S là trung điểm của BQ Khi M trùng với A thì I trùng với R là trung điểm của AQ Vậy khi M chuyển động trên đoạn AB thì I chuyển động trên đoạn thẳng RS song song với AB, cách AB một khoảng bằng \({a \over 4}\). Câu I.1 trang 101 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Điền vào chỗ trống : a. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là ................................ b. Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là ........................ c. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là ............................ Giải: a. Là hình bình hành b. Là hình chữ nhật c. Là hình thoi. Câu I.2 trang 101 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, AC. a. Chứng minh rằng ADEF là hình thoi b. Tam giác ABC có thêm điều kiện gì thì ADEF là hình vuông? Giải: a. Ta có: E là trung điểm của BC (gt) D là trung điểm của AB (gt) nên ED là đường trung bình của ∆ ABC DE = AF = \({1 \over 2}\)AC (1) F là trung điểm của AC (gt) nên EF là đường trung bình ∆ ABC ⇒ EF = AD = \({1 \over 2}\)AB (2) AB = AC (gt) Từ (1), (2) và (gt) suy ra: AD = DE = EF = AF Vậy tứ giác ADEF là hình thoi. b. Hình thoi ADEF là hình vuông ⇒ \(\widehat A = {90^0}\) ⇒ ∆ ABC vuông cân tại A Ngược lại nếu ∆ ABC vuông cân tại A ⇒ Tứ giác ADEF là hình thoi có \(\widehat A = {90^0}\) ⇒ Hình thoi ADEF là hình vuông Vậy hình thoi ADEF là hình vuông thì ∆ ABC vuông cân tại A.
