Câu 25 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hai đường chéo của hình chữ nhật chia hình chữ nhật thành bốn tam giác. Diện tích của các tam giác đó có bằng nhau không ? Vì sao ? Giải: Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình chữ nhật ABCD ⇒ OA = OB = OC = OD (tính chất hình chữ nhật) ∆ OAB = ∆ OCD (c.g.c) \( \Rightarrow {S_{OAB}} = {S_{OCD}}\) (1) ∆ OAD = ∆ OBC (c.g.c) \( \Rightarrow {S_{OAD}} = {S_{OBC}}\) (2) Kẻ AH ⊥ BD \(\eqalign{ & {S_{OAD}} = {1 \over 2}AH.OD \cr & {S_{OAB}} = {1 \over 2}AH.OB \cr} \) Suy ra: \({S_{OAD}} = {S_{OAB}}\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({S_{OAB}} = {S_{OBC}} = {S_{OCD}} = {S_{ODA}}\) Câu 26 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC có đáy BC cố định và đỉnh A di động trên một đường thẳng d cố định song song với đường thẳng BC. Chứng minh rằng tam giác ABC luôn có diện tích không đổi. Giải: ∆ ABC có đáy BC không đổi, chiều cao AH là khoảng cách giữa hai đường thẳng song song không đổi. Vậy điểm A thay đổi trên đường thẳng d // BC thì \({S_{ABC}}\) không đổi. Câu 27 trang 159 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tam giác ABC có đáy BC cố định và dài 4cm. Đỉnh A di chuyển trên đường thẳng d (d ⊥ BC). Gọi H là chân đường cao hạ từ đỉnh A xuống đường thẳng BC. a. Điền vào ô trống trong bảng sau: Độ dài AH (cm)12345101520\({S_{ABC}}\)\(\left( {c{m^2}} \right)\)b. Vẽ đồ thị biểu diễn số đo \({S_{ABC}}\) theo độ dài AH c. Diện tích tam giác ABC có tỉ lệ thuận với chiều cao AH không ? Giải: a. Điền vào chỗ trống Độ dài AH (cm)12345101520\({S_{ABC}}\) \(\left( {c{m^2}} \right)\)246810203040b. \({S_{ABC}}\)là hàm số của chiều cao AH. Gọi y là diện tích của ∆ ABC \(\left( {c{m^2}} \right)\) và độ dài x là độ dài AH (cm) thì y = 2x Ta có đồ thị như hình bên. c. Diện tích của tam giác tỉ lệ thuận với chiều cao. Câu 28 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính diện tích của hình 186 theo các kích thước đã cho trên hình (a, b, c có cùng đơn vị đo). Giải: Diện tích phần là hình chữ nhật : S1 = bc (đvdt) Diện tích phần hình tam giác: \({S_2} = {1 \over 2}c.\left( {a - b} \right)\) (đvdt) Diện tích hình vẽ đó: \(S = bc + {c \over 2}\left( {a - b} \right)\) (đvdt) Câu 29 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hai cạnh của một tam giác có độ dài là 5cm và 6cm. Hỏi diện tích của tam giác đó có thể lấy giá trị nào trong các giá trị sau: a. 10 \(c{m^2}\) b. 15 \(c{m^2}\) c. 20 \(c{m^2}\) Giải: Giả sử hai cạnh của tam giác là 5cm và 6cm. Chiều cao tương ứng của hai tam giác là h và k. \({S_1} = {1 \over 2}.5.h;{S_2} = {1 \over 2}.6.k\) h và k là đường cao ứng với cạnh đáy là 5 và 6. Theo tính chất của đường vuông góc và đường xiên thì h ≤ 5 và k ≤ 6 Suy ra diện tích của tam giác S ≤ 18 Vậy diện tích của tam giác có thể bằng 10 \(c{m^2}\) hay 15 \(c{m^2}\) nhưng không thể bằng 20 \(c{m^2}\) Câu 30 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác ABC, biết AB = 3AC. Tính tỉ số hai đường cao xuất phát từ các đỉnh B và C. Giải: Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.CK = {1 \over 2}AC.BH\) Suy ra: \(AB.CK = AC.BH\) \( \Rightarrow {{BH} \over {CK}} = {{AB} \over {AC}}\) Mà AB = 3 AC (gt) \( \Rightarrow {{BH} \over {CK}} = {{3AC} \over {AC}} = 3\) Vậy đường cao BH dài gấp 3 lần đường cao CK Câu 31 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Các điểm E, F, G, H, K, L, M, N chia mỗi cạnh hình vuông ABCD thành ba đoạn thẳng bằng nhau. Gọi P, Q, R, S là giao điểm của EH và NK với FM và GL (h.187). Tính diện tích của ngũ giác AEPSN và của tứ giác PQRS, biết AB = 6cm. Giải: Diện tích hình vuông ABCD bằng \({1 \over 2}\).4.4 = 8 (\(c{m^2}\)) Diện tích tam giác DKN bằng \({1 \over 2}\).4.4 = 8(\(c{m^2}\)) Diện tích phần còn lại là : 36 – ( 8 + 8) = 20 (\(c{m^2}\)) Trong tam giác vuông AEN ta có: \(E{N^2} = A{N^2} + A{E^2}\)= 4 + 4 = 8 EN = \(2\sqrt 2 \) (cm) Trong tam giác vuông BHE ta có: \(E{H^2} = B{E^2} + B{H^2}\)= 16 + 16 = 32 EH = \(4\sqrt 2 \) (cm) Diện tích hình chữ nhật ENKH bằng \(2\sqrt 2 \). \(4\sqrt 2 \) =16 (\(c{m^2}\)) Nối đường chéo BD. Théo tính chất đường thẳng song song cách đều ta có hình chữ nhật ENKH chia thành 4 phần bằng nhau nên diện tích tứ giác PQRS chiếm 2 phần bằng 8 \(c{m^2}\) \({S_{AEPSN}} = {S_{AEN}} + {S_{EPSN}} = 2 + {{16} \over 4} = 6\) ((\(c{m^2}\)) Câu 3.1 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. a. Có thể dùng kéo cắt hai lần và chỉ cắt theo đường thẳng chia một tam giác (thường) thành ba mảnh để ghép lại được một hình chữ nhật hay không ? Từ đó suy ra công thức tính diện tích tam giác thường dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật. b. Hãy chia một tam giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau bởi một đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác đó. c. Hãy chia một tam giác thành 4 phần có diện tích bằng nhau bởi ba đường thẳng, trong đó chỉ có một đường đi qua đỉnh của tam giác đó. Giải: a. Xét ∆ ABC. Kẻ đường cao AH. Gọi M là trung điểm của AC, N là trung điểm của AB. Từ M kẻ đường thẳng song song AH cắt BC tại K Từ N kẻ đường thẳng song song AH cắt BC tại L Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt hai đường thẳng MK và NL tại T và R Ta có: ∆ MKC = ∆ MTA ∆ NLB = ∆ NAR Cắt ∆ ABC theo đường MK và NL ta ghép lại được một hình chữ nhật KTRL có diện tích bằng diện tích tam giác ABC b. Ta đã biết hai tam giác có cạnh đáy bằng nhau và chung chiều cao thì có diện tích bằng nhau. Giả sử ∆ ABC. Gọi M là trung điểm của BC Cắt tam giác ABC theo đường AM chia tam giác ABC ra hai phần có diện tích bằng nhau. c. Tương tự như trên câu b. Xét ∆ ABC. Gọi M là trung điểm của BC N là trung điểm của AC, P là trung điểm của AB Cắt tam giác ABC theo đường AM ta có hai phần có diện tích bằng nhau Cắt tam giác AMC theo đường AN ta có hai phần có diện tích bằng nhau Cắt tam giác AMB theo đường MP ta có hai phần diện tích bằng nhau, ta có diện tích bốn phần chia bằng nhau. Câu 3.2 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác đều ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với CA tại điểm K. Đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với AB tại điểm T. Giải: Giả sử ∆ ABC đều có cạnh bằng a, kẻ đường cao AD, đặt AD = h không đổi. Ta có: \(\eqalign{ & {S_{ABC}} = {1 \over 2}ah \cr & {S_{MAB}} = {1 \over 2}MT.a \cr & {S_{MAC}} = {1 \over 2}MK.a \cr & {S_{MBC}} = {1 \over 2}MH.a \cr & {S_{ABC}} = {S_{MAB}} + {S_{MAC}} + {S_{MBC}} \cr & {1 \over 2}a.h = {1 \over 2}MT.a + {1 \over 2}MK.a + {1 \over 2}MH.a \cr & = {1 \over 2}a.\left( {MT + MK + MH} \right) \cr} \) \( \Rightarrow MT + MK + MH = h\) không đổi Vậy tổng MT + MK + MH không phụ thuộc vào điểm M. Câu 3.3 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. a. Cho hai tam giác ABC và DBC. Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Kẻ đường cao DK của tam giác DBC. Gọi S là diện tích của tam giác ABC. Gọi S’ là diện tích của tam giác DBC. Chứng minh rằng \({{S'} \over S} = {{DK} \over {AH}}\) b. Cho tam giác ABC và điểm M bất kì nằm trong tam giác đó. Kẻ các đường cao của tam giác đó là AD, BE và CF. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với AD cắt cạnh BC tại điểm H. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với BE cắt cạnh AC tại điểm K. Đường thẳng đi qua điểm M và song song với CF cắt cạnh BA tại điểm T. Chứng minh rằng \({{MH} \over {AD}} + {{MK} \over {BE}} + {{MT} \over {CF}} = 1\) Giải: a. Hai ∆ ABC và ∆ DBC có chung canh đáy BC nên ta có: \(\eqalign{ & {S_{ABC}} = {1 \over 2}AH.BC = S \cr & {S_{DBC}} = {1 \over 2}DK.BC = S' \cr} \) Suy ra: \({{S'} \over S} = {{{1 \over 2}DK.BC} \over {{1 \over 2}AH.BC}} = {{DK} \over {AH}}\) b. Gọi diện tích các hình tam giác ABC, MAB, MAC, MBC lần lượt là S, S1, S2, S3. Ta có: S = S1 +S2 +S3 Trong đó: S = \({1 \over 2}\)AD. BC = \({1 \over 2}\)BE. AC = \({1 \over 2}\)CF . AB \(\eqalign{ & {S_1} = {1 \over 2}MT.AB \cr & {S_2} = {1 \over 2}MK.AC \cr & {S_3} = {1 \over 2}MH.BC \cr & {{{S_1}} \over S} = {{{1 \over 2}MT.AB} \over {{1 \over 2}CF.AB}} = {{MT} \over {CF}} \cr & {{{S_2}} \over S} = {{{1 \over 2}MK.AC} \over {{1 \over 2}BE.AC}} = {{MK} \over {BE}} \cr & {{{S_3}} \over S} = {{{1 \over 2}MH.BC} \over {{1 \over 2}AD.BC}} = {{MH} \over {AD}} \cr & \Rightarrow {{MH} \over {AD}} + {{MK} \over {BE}} + {{MT} \over {CF}} = {{{S_3}} \over S} + {{{S_2}} \over S} + {{{S_1}} \over S} = {{{S_1} + {S_2} + {S_3}} \over S} = {S \over S} = 1 \cr} \)
