Câu 32 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính x, biết đa giác ở hình 188 có diện tích là 3375 m2. Giải: Hình đa giác đã cho gồm một hình thang và một hình tam giác. Diện tích phần hình thang là S1, tam giác là S2 \({S_1} = {{50 + 70} \over 2}.30 = 1800\) (\({m^2}\)) \({S_2} = S - {S_1} = 3375 - 1800 = 1575\) (\({m^2}\)) Chiều cao h của tam giác là: \(H = {{2{S_2}} \over {70}} = {{2.1575} \over {70}} = 45\) (m) Độ dài x = 45 + 30 = 75 (m) Câu 33 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5cm, BC = 3cm. Vẽ hình bình hành ABEF có cạnh AB = 5cm và có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật ABCD. Vẽ được bao nhiêu hình ABEF như vậy ? Giải: Trên cạnh CD ta lấy 1 điểm E bất kỳ (E khác C và D). Nối BE. Từ A kẻ đường thẳng song song với BE cắt đường thẳng CD tại F. Ta có hình bình hành ABEF có cạnh AB và có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật. Thật vậy : SABCD = AB . AD SABEF = AB . AD ⇒ SABCD = SABEF Ta vẽ được vô số hình như vậy Câu 34 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB = 5cm, BC = 3cm. Vẽ hình bình hành ABEF có các cạnh AB = 5cm, BE = 5cm và có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật ABCD. Vẽ được mấy hình ABEF như vậy ? Giải: Vẽ cung tròn tâm B bán kính 5cm cắt Đường thẳng CD tại hai điểm E và E’ (vì ta có BA > BC) Nối BE, từ A kẻ đường thẳng song song với BE cắt đường thẳng CD tại F Nối BE’, từ A kẻ đường thẳng song song với BE’ cắt đường thẳng CD tại F’ Ta có hình bình hành ABEF và hình bình hành ABE’F’ có cạnh AB = 5cm, BE = 5cm, BE’ = 5cm có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ABCD. Vẽ được hai hình. Câu 35 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính diện tích của một hình thang vuông, biết hai đáy có độ dài là 2cm và 4cm, góc tạo bởi một cạnh bên và đáy lớn có số đo bằng 450. Giải: Xét hình thang vuông ABCD có: \(\widehat A = \widehat D = {90^0};\widehat C = {45^0}\) Kẻ BE ⊥ CD Trong tam giác vuông BEC có \(\widehat {BEC} = {90^0}\) \(\widehat C = 45^\circ \Rightarrow \)∆ BEC vuông cân tại E ⇒ BE = EC Hình thang ABED có hai cạnh bên AD // BE (vì cùng vuông góc với DC) ⇒ DE = AB = 2cm EC = DC – DE = 4 – 2 = 2 (cm) ⇒ BE = 2cm \({S_{ABCD}} = {1 \over 2}.BE\left( {AB + CD} \right) = {1 \over 2}.2.\left( {2 + 4} \right) = 6(c{m^2})\) Câu 36 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính diện tích hình thang, biết các đáy có độ dài là 7cm và 9cm, một trong các cạnh bên dài 8cm và tạo với đáy một góc có số đo bằng 30° Giải: Xét hình thang ABCD có đáy AB = 7cm và CD = 9cm, cạnh bên BC = 8cm, \(\widehat C = 30^\circ \) Kẻ BE ⊥ CD. Tam giác vuông CBE có \(\widehat E = 90^\circ \) \(\widehat C = 30^\circ \Rightarrow \widehat {CBE} = 60^\circ \)nên nó là một nửa tam giác đều có cạnh là CB. \( \Rightarrow BE = {1 \over 2}CB = 4\) (cm) \({S_{ABCD}} = {{AB + CD} \over 2}.BE = {{7 + 9} \over 2}.4 = 32(c{m^2})\) Câu 37 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua trung điểm của đường trung bình của hình thang và cắt hai đáy hình thang sẽ chia hình thang đó thành hai hình thang có diện tích bằng nhau. Giải: Giả sử hình thang ABCD có AB // CD, đường trung bình là MN. Gọi I là trung điểm của MN, đường thẳng bất kỳ đi qua I cắt AB tại P và CD tại Q Ta có hai hình thang APQD và BPQC có chung đường cao. MI là đường trung bình của hình thang APQD \( \Rightarrow MI = {1 \over 2}\left( {AP + QD} \right)$ $IN = {1 \over 2}\left( {BP + QC} \right)\) IN là đường trung bình của hình thang BPQC : \( \Rightarrow IN = {1 \over 2}\left( {BP + QC} \right)\) \(\eqalign{ & {S_{APQD}} = {1 \over 2}\left( {AP + QD} \right).AH = MI.AH(1) \cr & {S_{BPQC}} = {1 \over 2}\left( {BP + QC} \right).AH = IN.AH(2) \cr} \) IM = IN (gt) Từ (1), (2) và (gt) suy ra : \({S_{APQD}} = {S_{BPQC}}\) không phụ thuộc vào P và Q Câu 38 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Diện tích hình bình hành bằng 24\(c{m^2}\). Khoảng cách từ giao điểm hai đường chéo đến các cạnh hình bình hành bằng 2cm và 3cm. Tính chu vi của hình bình hành đó. Giải: Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD, khoảng cách từ O đến cạnh AB là OH = 2cm, đến cạnh BC là OK = 3cm. Kéo dài OH cắt cạnh CD tại H’ OH ⊥ AB ⇒ OH’ ⊥ CD và OH’ = 2cm nên HH’ bằng đường cao của hình bình hành \(\eqalign{ & {S_{ABCD}} = HH'.AB \cr & \Rightarrow AB = {{{S_{ABCD}}} \over {HH'}} = {{24} \over 4} = 6(cm) \cr} \) Kéo dài OK cắt AD tại K’ OK ⊥ BC ⇒ OK’ ⊥ AD và OK’ = 3 (cm) nên KK’ là đường cao của hình bình hành \({S_{ABCD}} = KK'.BC \Rightarrow BC = {{{S_{ABCD}}} \over {KK'}} = {{24} \over 6} = 4\) (cm) Chu vi hình bình hành ABCD là (6 + 4) . 2 = 20 (cm) Câu 39 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Một hình chữ nhật có các kích thước a và b. Một hình bình hành cùng có hai cạnh là a và b. Tính góc nhọn của hình bình hành nếu diện tích của nó bằng một nửa diện tích của hình chữ nhật (a và b có cùng đơn vị đo) Giải: Xét hình chữ nhật ABCD có chiều dài AB = a, chiều rộng AD = b. \( \Rightarrow {S_{ABCD}} = ab\) Hình bình hành MNPQ có góc M là góc tù, MN = a, cạnh MQ = b Kẻ đường cao MH \({S_{MNPQ}} = MH.a\) Theo bài ra ta có : \(MH.a = {1 \over 2}a.b\) \( \Rightarrow MH = {1 \over 2}b$hay $MH = {{MQ} \over 2}\) ∆ MHQ vuông tại H và \(MH = {{MQ} \over 2}\) Cạnh đối diện góc nhọn bằng một nửa cạnh huyền nên \(\widehat {MQH} = 30^\circ \) Vậy góc nhọn của hình bình hành bằng \(30^\circ \) Câu 40 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hai cạnh của một hình bình hành có độ dài là 6cm và 8cm. Một trong các đường cao có độ dài là 5cm. Tính độ dài đường cao thứ hai. Hỏi bài toán có mấy đáp số ? Giải: Giả sử hình bình hành ABCD có AB = 8cm, AD = 6cm. Kẻ AH ⊥ CD, AK ⊥ BC 5 < 6 ; 5 < 8 Đường cao là cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền thỏa mãn có hai trường hợp: a. Nếu AK = 5cm \(\eqalign{ & {S_{ABCD}} = AK.BC = 5.6 = 30(c{m^2}) \cr & {S_{ABCD}} = AH.AD = 8.AH \cr & \Rightarrow 8.AH = 30 \Rightarrow AH = {{30} \over 8} = {{15} \over 4}(cm) \cr} \) b. Nếu AH = 5cm \(\eqalign{ & {S_{ABCD}} = AH.CD = 5.8 = 40(c{m^2}) \cr & {S_{ABCD}} = AK.BC = 6.AK \cr & \Rightarrow 6.AK = 40 \Rightarrow AK = {{40} \over 6} = {{20} \over 3}(cm) \cr} \) Vậy đường cao thứ hai có độ dài là ${{15} \over 4}$cm hoặc \({{20} \over 3}\) cm Câu 41 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Một hình chữ nhật và một hình bình hành đều có hai cạnh là a và b. Hỏi hình nào có diện tích lớn hơn (a và b có cùng đơn vị đo) ? Giải: Hình chữ nhật có hai cạnh là a và b nên Schữ nhật = ab. Hình bình hành có hai cạnh là a và b. Kẻ đường cao ứng với cạnh bằng a thì h < b (vì cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) Nếu kẻ đường cao ứng với cạnh bằng b thì h’ < a (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền) Nếu kẻ đường cao ứng với cạnh bằng b thì h’ < a (cạnh góc vuông nhỏ hơn cạnh huyền). Diện tích của hình bình hành là: S hình bình hành = a.h = b.h’ mà h < b và h’ < a nên Sbình hành < Schữ nhật Câu 4.1 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính diện tích của hình được cho trong mỗi trường hợp sau: a. Hình thang ABCD, đáy lớn AB = 10cm, đáy nhỏ CD = 6cm và đường cao DE = 5cm. b. Hình thang cân ABCD, đáy nhỏ CD = 6cm, đường cao DH = 4cm và cạnh bên AD = 5cm. Giải: a. Áp dụng công thức tính diện tích hình thang. \(S = {{a + b} \over 2}.h = {{10 + 6} \over 2}.5 = 40(c{m^2})\) b. Xét hình thang cân ABCD có AB // CD Đáy nhỏ CD = 6cm, cạnh bên AD = 5cm Đường cao DH = 4cm. Kẻ CK ⊥ AB Ta có tứ giác CDHK là hình chữ nhật HK = CD = 6cm ∆ AHD vuông tại H. Theo định lý Pi-ta-go ta có: \(A{D^2} = A{H^2} + D{H^2}\) \( \Rightarrow {\rm A}{{\rm H}^2} = A{D^2} - D{H^2} = {5^2} - {4^2} = 25 - 16 = 9 \Rightarrow AH = 3cm\) Xét hai tam giác vuông DHA và CKB : \(\widehat {DHA} = \widehat {CKB} = 90^\circ \) AD = BC (tính chất hình thang cân) \(\widehat A = \widehat B\) (gt) Do đó: ∆ DHA = ∆ CKB (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ KB = AH = 3 (cm) AB = AH + HK + KB = 3+ 6+ 3 = 12 (cm) \({S_{ABCD}} = {{AB + CD} \over 2}.DH = {{12 + 6} \over 2}.4 = 36(c{m^2})\) Câu 4.2 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD và đáy lớn AB a. Hãy vé tam giác ADE mà diện tích của nó bằng diện tích hình thang đã cho. Từ đó suy ra cách tính diện tích hình thang dựa vào độ dài hai cạnh đáy và độ dài đường cao của hình thang. b. Hãy chia hình thang đã cho thành hai phần có diện tích bằng nhau bằng một đường thẳng đi qua đỉnh D của nó. Giải: a. Gọi F là trung điểm của cạnh bên BC. Cắt hình thang theo đường DF đưa ghép về như hình vẽ bên, điểm C trung với điểm B, D trùng với E. Vì AB // CD \( \Rightarrow \widehat {ABC} + 180^\circ \Rightarrow {\rm A},{\rm B},{\rm E}\) thẳng hàng \(\widehat {ABF} + \widehat {DFC} = 180^\circ \) ⇒ D, F, E thẳng hàng ∆ DFC = ∆ EFB (g.c.g) \({S_{DFC}} = {S_{EFB}}\) Suy ra: \({S_{ABCD}} = {S_{ADE}}\) ∆ DFC = ∆ EFB⇒ DC = BE AE = AB + BE = AB + DC \({S_{ADE}} = {1 \over 2}DH.AE = {1 \over 2}DH.\left( {AB + CD} \right)\) Vậy : \({S_{ABCD}} = {1 \over 2}DH.\left( {AB + CD} \right)\) b. Dựa trên hình vẽ câu a ta chọn điểm K là trung điểm AE. Ta nối DK cắt hình thang theo đường DK ta có hai phần diện tích bằng nhau: Một phần là ∆ ADK có \(AK = {{AB + CD} \over 2}\) Một phần là hình thang BCDK có hai đáy CD + BK = \({{AB + CD} \over 2}\) Và có chiều cao bằng nhau nên có diện tích bằng nhau. Câu 4.3 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình bình hành ABCD có diện tích S. Trên cạnh BC lấy hai điểm M, N sao cho BM = MN = NC = \({1 \over 3}\)BC a. Tính diện tích của tứ giác ABMD theo S b. Từ điểm N kẻ NT song song với AB (T thuộc AC). Tính diện tích của tứ giác ABNT theo S Giải: a. ∆ DMC có CM = \({2 \over 3}\)BC Hình bình hành ABCD và ∆ DMC có chung đường cao kẻ từ đỉnh D đến BC. Gọi độ dài đường cao là h, BC = a Ta có diện tích hình bình hành ABCD là S = a h \(\eqalign{ & {S_{DMC}} = {1 \over 2}h.{2 \over 3}a = {1 \over 3}ah = {1 \over 3}S \cr & {S_{ABMD}} = {S_{ABCD}} - {S_{DMC}} = S - {1 \over 3}S = {2 \over 3}S \cr} \) b. \({S_{ABC}} = {1 \over 2}{S_{ABCD}} = {S \over 2}\) \(CN = {1 \over 3}BC\), NT // AB. Theo tính chất đường thẳng song song cách đều \( \Rightarrow CT = {1 \over 3}AC\) ∆ ABC và ∆ BTC có chung chiều cao kẻ từ đỉnh B, đáy \(CT = {1 \over 3}AC\) \( \Rightarrow {S_{BTC}} = {1 \over 3}{S_{ABC}} = {1 \over 3}.{S \over 2} = {S \over 6}\) ∆ BTC và ∆ TNC có chung chiều cao kẻ từ đỉnh T, cạnh đáy $CN = {1 \over 3}CB$ \(\eqalign{ & \Rightarrow {S_{TNC}} = {1 \over 3}{S_{BTC}} = {1 \over 3}.{S \over 6} = {S \over {18}} \cr & \Rightarrow {S_{ABNT}} = {S_{ABC}} - {S_{TNC}} = {S \over 2} - {S \over {18}} = {{9S} \over {18}} - {S \over {18}} = {{4S} \over 9} \cr} \)
