Câu 42 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Trong những hình thoi có chu vi bằng nhau, hãy tìm hình thoi có diện tích lớn nhất. Giải: Xét hình thoi ABCD. Kẻ DH ⊥ AB Ta có: SABCD = AB . DH ∆ AHD vuông tại H ⇒ AH ≤ AD Suy ra: SABCD ≤ AB . AD, mà AB = AD (gt) \( \Rightarrow {S_{ABCD}} \le A{B^2}\) Vậy SABCD có giá trị lớn nhất khi bằng AB2 Suy ra: ABCD là hình vuông Vậy trong các hình thoi có chu vi bằng nhau thì hình vuông là hình có diện tích lớn nhất. Câu 43 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Tính diện tích hình thoi, biết cạnh của nó dài 6,2cm và một trong các góc của nó có số đo bằng 30° Giải: Giả sử hình thoi ABCD có AB = 6,2cm; \(\widehat A = 30^\circ \) Từ B kẻ BH ⊥ AD (H ∈ AD) Tam giác vuông AHB là một nửa tam giác đều cạnh AB \(\eqalign{ & \Rightarrow BH = {1 \over 2}AB = 3,1(cm) \cr & {S_{ABCD}} = BH.AD = 3,1.6,2 = 19,22(c{m^2}) \cr} \) Câu 44 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho hình thoi ABCD, biết AB = 5cm, AI = 3cm (I là giao điểm của hai đường chéo). Hãy tính diện tích hình thoi đó. Giải: Trong tam giác vuông IAB, ta có: \(A{B^2} = A{I^2} + I{B^2}\) (định lý Pi-ta-go) \(\eqalign{ & \Rightarrow I{B^2} = A{B^2} - A{I^2} = 25 - 9 = 16 \cr & \Rightarrow IB = 4(cm) \cr & AC = 2AI = 2.3 = 6(cm) \cr & BD = 2IB = 2.4 = 8(cm) \cr & {S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD = {1 \over 2}.6.8 = 24(c{m^2}) \cr} \) Câu 45 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. a. Hãy vẽ một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau, biết độ dài hai đường chéo đó là a và a. Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu hình như vậy ? b. Có thể vẽ được mấy hình thoi, biết độ dài hai đường chéo là a và \({1 \over 2}\)a ? c. Hãy tính diện tích các hình vừa vẽ. Giải: a. Vẽ vô số hình tứ giác thỏa mãn yêu cầu. b. Vẽ được duy nhất một hình thoi có hai đường chéo là a và \({1 \over 2}\)a. c. Diện tích các hình vẽ đó là : S = \({1 \over 2}\)a. \({1 \over 2}\)a = \({1 \over 4}{a^2}\) (đvdt) Câu 46 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Hai đường chéo của một hình thoi có độ dài là 16cm và 12cm. Tính: a. Diện tích hình thoi b. Độ dài cạnh hình thoi c. Độ dài đường cao hình thoi Giải: a. \({S_{ABCD}} = {1 \over 2}AC.BD = {1 \over 2}.12.16 = 96\) (cm2) b.Trong tam giác vuông OAB ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = O{A^2} + O{B^2} = {\left( {{{AC} \over 2}} \right)^2} + {\left( {{{BD} \over 2}} \right)^2} \cr & = {6^2} + {8^2} = 100 \cr & AB = 10(cm) \cr} \) c. Kẻ AH ⊥ CD (H ∈ CD) \(\eqalign{ & {S_{ABCD}} = AH.CD \cr & \Rightarrow AH = {{{S_{ABCD}}} \over {CD}} = {{96} \over {10}} = 9,6(cm) \cr} \) Câu 5.1 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. a. Sử dụng kéo cắt đúng 2 lần, theo đường thẳng, chia một hình chữ nhật thành ba phần sao cho có thể ghép lại thành một hình thoi. b. Sử dụng kéo cắt đúng hai lần, theo đường thẳng, chia một hình thoi thành ba phần sao cho có thể ghép lại thành một hình chữ nhật. Từ đó suy ra công thức tính diện tích hình thoi dựa vào công thức tính diện tích hình chữ nhật. Giải: a. Vì hình thoi có hai đường chéo vuông góc cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên chia hình thoi thành 4 tam giác bằng nhau. Giả sử hình chữ nhật ABCD ta chọn trung điểm M của CD. Nối AM, BM ta cắt theo đường AM và BM ta ghép lại được một hình thoi. b. Giả sử ta có hình thoi ABCD, hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Ta cắt hình thoi theo đường chéo AC ta được 2 tam giác. Lấy AC làm một cạnh hình chữ nhật. Cắt tam giác BAC theo đường BO ta được hai tam giác ghép lại ta có hình chữ nhật. Câu 5.2 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Biết AC = 6cm, BD = 8cm. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi X, Y, Z, T theo thứ tự là trung điểm các cạnh MN, NP, PQ, QM. a. Chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật. b. Tính diện tích của tứ giác XYZT. Giải: a. Trong ∆ ABD ta có: M là trung điểm của AB Q là trung điểm của AD nên MQ là đường trung bình của ∆ ABD. ⇒ MQ // BD và MQ = \({1 \over 2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (1) Trong ∆ CBD ta có: N là trung điểm của BC P là trung điểm của CD nên NP là đường trung bình của ∆ CBD ⇒ NP // BD và NP = \({1 \over 2}\)BD (tính chất đường trung bình của tam giác) (2) Từ (1) và (2) suy ra: MQ // NP và MQ = NP nên tứ giác MNPQ là hình bình hành AC ⊥ BD (gt) MQ // BD Suy ra: AC ⊥ MQ Trong ∆ ABC có MN là đường trung bình ⇒ MN // AC Suy ra: MN ⊥ MQ hay \(\widehat {NMQ} = 90^\circ \) Vậy tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. b. Kẻ đường chéo MP và NQ Trong ∆ MNP ta có: X là trung điểm của MN Y là trung điểm của NP nên XY là đường trung bình của ∆ MNP ⇒ XY // MP và XY = \({1 \over 2}\)MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (3) Trong ∆ QMP ta có: T là trung điểm của QM Z là trung điểm của QP nên TZ là đường trung bình của ∆ QMP ⇒ TZ // MP và TZ = \({1 \over 2}\)MP (tính chất đường trung bình của tam giác) (4) Từ (3) và (4) suy ra: XY // TZ và XY = TZ nên tứ giác XYZT là hình bình hành. Trong ∆ MNQ ta có XT là đường trung bình ⇒ XT = \({1 \over 2}\)QN (tính chất đường trung bình của tam giác) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ⇒ MP = NQ Suy ra: XT = XY. Vậy tứ giác XYZT là hình thoi \({S_{XYZT}} = {1 \over 2}XZ.TY\) mà \(XZ = MQ = {1 \over 2}BD = {1 \over 2}.8 = 4\) (cm); \(TY = MN = {1 \over 2}AC = {1 \over 2}.6 = 3\) (cm) Vậy : \({S_{XYZT}} = {1 \over 2}.3.4 = 6(c{m^2})\) Câu 5.3 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 1. Cho tam giác vuông ABC, có hai cạnh góc vuông là AC = 6cm và AB = 8cm. Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho CD = 5cm. Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho EB = 5cm. Gọi M, N, P, Q tương ứng là trung điểm của các đoạn thẳng DE, DB, BC và CE. Tính diện tích của tứ giác MNPQ. Giải: Trong ∆ EDC ta có: M là trung điểm của ED Q là trung điểm của EC nên MQ là đường trung bình của ∆ EDC ⇒ MQ = \({1 \over 2}\)CD = 2,5 (cm) và MQ // CD Trong ∆ BDC ta có: N là trung điểm của BD P là trung điểm của BC nên NP là đường trung bình của ∆ BDC ⇒ NP = \({1 \over 2}\)CD = 2,5 (cm) Trong ∆ DEB ta có: M là trung điểm của DE N là trung điểm của DB nên MN là đường trung bình của ∆ DEB ⇒ MN = \({1 \over 2}\)BE = 2,5 (cm) và MN // BE Trong ∆ CEB ta có: Q là trung điểm của CE P là trung điểm của CB nên QP là đường trung bình của ∆ CEB ⇒ QP = \({1 \over 2}\)BE = 2,5 (cm) Suy ra: MN = NP = PQ = QM (1) MQ // CD hay MQ // AC AC ⊥ AB (gt) ⇒ MQ ⊥ AB MN // BE hay MN // AB Suy ra: MQ ⊥ MN hay \(\widehat {QMN} = 90^\circ \) (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình vuông \({S_{MNPQ}} = M{N^2} = {\left( {2,5} \right)^2} = 6,25(c{m^2})\)
