Câu 17 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác ABC có AB = 15cm, AC = 20cm, BC = 25cm. Đường phân giác góc BAC cắt BC tại D (h.14) a. Tính độ dài đoạn thẳng DB và DC b. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác ABD và ACD. Giải: a. Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác của Suy ra: \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác ) Mà AB = 15(cm); AC = 20 (cm) Nên \({{DB} \over {DC}} = {{15} \over {20}}\) Suy ra: \({{DB} \over {DB + DC}} = {{15} \over {15 + 20}}\) (tính chất tỉ lệ thức) Suy ra: \({{DB} \over {BC}} = {{15} \over {35}}\) \( \Rightarrow DB = {{15} \over {35}}.BC = {{15} \over {35}}.25 = {{75} \over 7}\) (cm) b. Kẻ AH ⊥ BC Ta có: \({S_{ABD}} = {1 \over 2}AH.BD;{S_{ADC}} = {1 \over 2}AH.DC\) Suy ra: \({{{S_{ABD}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{{1 \over 2}AH.BD} \over {{1 \over 2}AH.DC}} = {{BD} \over {DC}}\) Mà \({{DB} \over {DC}} = {{15} \over {20}} = {3 \over 4}\) (chứng minh trên ) Vậy: \({{{S_{ABD}}} \over {{S_{ADC}}}} = {3 \over 4}\) Câu 18 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE và CF Chứng minh rằng: \({{DB} \over {DC}}.{{EC} \over {EA}}.{{FA} \over {FB}} = 1\) Giải: Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) Suy ra: \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác ) (1) BE là đường phân giác \(\widehat {ABC}\) Suy ra: \({{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {AB}}\) (tính chất đường phân giác ) (2) CF là đường phân giác của \(\widehat {ACB}\) Suy ra: \({{FA} \over {FB}} = {{CA} \over {CB}}\) (tính chất đường phân giác ) (3) Nhân từng vế (1), (2) và (3), ta có: \({{DB} \over {DC}}.{{EC} \over {EA}}.{{FA} \over {FB}} = {{AB} \over {AC}}.{{BC} \over {AB}}.{{CA} \over {CB}} = 1\) Câu 19 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác cân BAC có BA = BC = a, AC = b. Đường phân giác góc A cắt BC tại M, đường phân giác góc C cắt BA tại N a. Chứng minh rằng: MN // AC. b. Tính MN theo a, b Giải: a. Trong tam giác BAC, ta có: AM là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) Suy ra: \({{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\) (tính chất đường phân giác ) (1) CN là đường phân giác \(\widehat {BAC}\) Suy ra: \({{NA} \over {NB}} = {{AC} \over {AB}}\) (tính chất đường phân giác ) (2) Lại có: AB = CB = a (gt) Từ (1), (2) và (gt) suy ra: \({{MC} \over {MB}} = {{NA} \over {NB}}\) Trong tam giác BAC, ta có: \({{NA} \over {NB}} = {{MC} \over {MB}}\) Suy ra: MN // AC (theo định lí đảo của định lí Ta-lét) b. Ta có: \({{MC} \over {MB}} = {{AC} \over {AB}}\) (chứng minh trên ) Suy ra: \({{MC + MB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}} \Rightarrow {{CB} \over {MB}} = {{AC + AB} \over {AB}}\) Hay \({a \over {MC}} = {{b + a} \over a} \Rightarrow MC = {{{a^2}} \over {a + b}}\) Trong tam giác ABC, ta có: MN // AC (chứng minh trên ) Và \({{MN} \over {AC}} = {{MB} \over {BC}}\) Vậy \(MN = {{AC.MB} \over {BC}} = {{b.{{{a^2}} \over {a + b}}} \over a} = {{ab} \over {a + b}}\) Câu 20 trang 87 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 20cm, BC = 28cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D. Qua D kẻ DE // AB (E thuộc AC) a. Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC và DE b. Cho biết diện tích tam giác ABC là S, tính diện tích các tam giác ABD, ADE và DCE. Giải: a. Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) Suy ra: \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất tia phân giác) Suy ra: \({{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) Suy ra: \({{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) Suy ra: \(DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{28.12} \over {12 + 20}} = {{21} \over 2} = 10,5\) (cm) Vậy DC = BC – DB = 28 – 10,5 = 17,5 (cm) Trong tam giác ABC, ta có: DE // AB Suy ra: \({{DC} \over {DB}} = {{DE} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) Vậy: \(DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{17,5.12} \over {28}} = 7,5\) (cm0 b. Vì ∆ABD và ∆ABC có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên: \({{{S_{ABD}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{DB} \over {BC}} = {{{{21} \over 2}} \over {28}} = {{21} \over {56}} = {3 \over 8}\) Vậy : \({S_{ABD}} = {3 \over 8}S\) \({S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ABD}} = S - {3 \over 8}S = {8 \over 8}S - {3 \over 8}S = {5 \over 8}S\) Vì DE // AB và AD là đường phân giác góc A nên AE = DE. Ta có: \({{{S_{ADE}}} \over {{S_{ADC}}}} = {{AE} \over {AC}} = {{DE} \over {AC}} = {{7,5} \over {20}}\) Vậy: \({S_{ADE}} = {{7,5} \over {20}}.{S_{ADC}} = {{7,5} \over {20}}.{5 \over 8}S = {{7,5} \over {32}}S\) Ta có: \({S_{DCE}} = {S_{ADC}} - {S_{ADE}} = {5 \over 8}S - {{7,5} \over {32}}S = {{12,5} \over {32}}S\). Câu 21 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho tam giác vuông ABC (\(\widehat A = {90^0}\)), AB = 21cm, AC = 28cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D, đường thẳng qua D và song song với AB, cắt AC tại E a. Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC và DE. b. Tính diện tích tam giác ABD và diện tích tam giác ACD. Giải: a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {21^2} + {28^2} = 1225\) Suy ra: BC = 35 (cm) Vì AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên: \({{BD} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác ) Suy ra: \({{BD} \over {BD + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) hay \({{BD} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) Suy ra: \(BD = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{35.21} \over {21 + 28}} = 15\) (cm) Vậy DC = BC – BD = 35 – 15 = 20 (cm) Trong tam giác ABC ta có: DE // AB Suy ra: \({{DC} \over {BC}} = {{DE} \over {AB}}\) (Hệ quả định lí Ta-lét ) Suy ra: \(DE = {{DC.AB} \over {BC}} = {{20.21} \over {35}} = 12\) (cm) b. Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.21.28 = 294(c{m^2})\) Vì ∆ ABC và ∆ ADB có chung đường cao kẻ từ đỉnh A nên: \(\eqalign{ & {{{S_{ADB}}} \over {{S_{ABC}}}} = {{BD} \over {BC}} = {{15} \over {35}} = {3 \over 7} \cr & \Rightarrow {S_{ABC}} = {3 \over 7}{S_{ABC}} = {3 \over 7}.294 = 126(c{m^2}) \cr} \) Vậy \({S_{ADC}} = {S_{ABC}} - {S_{ABD}} = 294 - 126 = 168(c{m^2})\). Câu 22 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác góc B cắt AC tại D và cho biết AB = 15cm, BC = 10cm. a. Tính AD, DC. b. Đường vuông góc với BD tại B cắt đường thẳng AC kéo dài tại E. Tính EC. Giải: Vì BD là đường phân giác của \(\widehat {ABC}\) nên: \({{AD} \over {DC}} = {{AB} \over {BC}}\) (tính chất đường phân giác ) Suy ra: \({{AD} \over {AD + DC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\) hay \({{AD} \over {AC}} = {{AB} \over {AB + BC}}\) Mà ∆ ABC cân tại A nên AC = AB = 15 (cm) Suy ra: \({{AD} \over {15}} = {{15} \over {15 + 10}} \Rightarrow AD = {{15.15} \over {25}} = 9\) (cm) Vậy DC = AC – AD = 15 – 9 = 6 (cm) b. Vì BE ⊥ BD nên BE là đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B Suy ra: \({{EC} \over {EA}} = {{BC} \over {BA}}\) (tính chất đường phân giác ) Suy ra: \({{EC} \over {EC + AC}} = {{BC} \over {BA}} \Rightarrow EC.BA = BC\left( {EC + AC} \right)\) Suy ra: \(\eqalign{ & EC.BA - EC.BC = BC.AC \cr & \Rightarrow EC\left( {BA - BC} \right) = BC.AC \cr} \) Vậy \(EC = {{BC.AC} \over {BA - BC}} = {{10.15} \over {15 - 10}} = 30\) (cm). Câu 23 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác vuông ABC có\(\widehat A = 90^\circ \), AB = 12cm, AC = 16cm; đường phân giác góc A cắt BC tại D. a. Tính BC, BD và CD. b. Vẽ đường cao AH, tính AH, HD và AD. Giải: a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400\) Suy ra: BC = 20 (cm) Vì AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên: \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác ) Suy ra: \({{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) hay \({{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) Suy ra: \(DB = {{BC.AB} \over {AB + AC}} = {{20.12} \over {12 + 16}} = {{60} \over 7}\) (cm) Vậy: DC = BC – DB = \(20 - {{60} \over 7} = {{80} \over 7}\) (cm) b. Ta có: \({S_{ABC}} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}AH.BC\) Suy ra: AB.AC = AH.BC \( \Rightarrow AH = {{AB.AC} \over {BC}} = {{12.16} \over {20}} = 9,6\) (cm) Trong tam giác vuông AHB, ta có: \(\widehat {AHB} = 90^\circ \) Theo định lí Pi-ta-go, ta có: \(A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\) Suy ra: \(\eqalign{ & H{B^2} = A{B^2} - A{H^2} = {12^2} - {\left( {9,6} \right)^2} = 51,84 \cr & \Rightarrow HB = 7,2(cm) \cr} \) Vậy \(HD = BD - HB = {{60} \over 7} - 7,2 \approx 1,37\) (cm) Trong tam giác vuông AHD, ta có: \(\widehat {AHD} = 90^\circ \) Theo định lí Pi-ta-go, ta có: \(A{D^2} = A{H^2} + H{D^2} = {\left( {9,6} \right)^2} + {\left( {1,37} \right)^2} = 94,0369\) Suy ra: AD ≈ 9,70 (cm) Câu 24 trang 88 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác vuông ABC có$\widehat A = 90^\circ $, AB = a (cm), AC = b (cm), (a < b), trung tuyến AM, đường phân giác AD (M và D thuộc cạnh BC) (h.20). a. Tính độ dài các đoạn thẳng BC, BD, DC, AM và DM theo a, b. b. Hãy tính các đoạn thẳng trên đây chính xác đến chữ số thập phân thứ hai khi biết a = 4,15cm, b = 7,25cm. Giải: a. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {a^2} + {b^2}\) Suy ra: \(BC = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) Ta có: AM = BM \( = {1 \over 2}BC\) ( tính chất tam giác vuông ) Suy ra: \(AM = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} \) Vì AD là đường phân giác của \(\widehat {BAC}\) nên: \({{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}}\) (tính chất đường phân giác ) Suy ra: \({{DB} \over {DB + DC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) hay \({{DB} \over {BC}} = {{AB} \over {AB + AC}}\) Vậy: \(DC = BC - DB = \sqrt {{a^2} + {b^2}} - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}} = {{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}}\) \(\eqalign{ & DM = BM - BD \cr & = {1 \over 2}\sqrt {{a^2} + {b^2}} - {{a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}} \cr & = {{b\sqrt {{a^2} + {b^2}} - a\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}} \cr & = {{\left( {b - a} \right)\sqrt {{a^2} + {b^2}} } \over {a + b}} \cr} \) b. Với a = 4,15cm; b= 7,25 cm, sử dụng máy tính, ta tính được: \(\eqalign{ & BC = \sqrt {{{\left( {4,15} \right)}^2} + {{\left( {7,25} \right)}^2}} \approx 8,35(cm) \cr & BD = {{4,15\sqrt {{{\left( {4,15} \right)}^2} + {{\left( {7,25} \right)}^2}} } \over {4,15 + 7,25}} \approx 3.04(cm) \cr & DC \approx 5,31(cm) \cr & AM \approx 4,18(cm) \cr & DM \approx 1,14(cm) \cr} \) Câu 3.1 trang 89 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Biết rằng độ dài của các cạnh góc vuông AB = 3,75cm, AC = 4,5cm Hãy chọn kết quả đúng (tính chính xác đến chữ số thập phân). 1. Độ dài của đoạn thẳng BD là: A. 18,58 B. 2,66 C. 2,65 D. 3,25 2. Độ dài đoạn thẳng CD là: A. 27,13 B. 2,68 C. 3,2 D. 3,15 Giải: 1. Chọn B 2. Chọn C Câu 3.2 trang 89 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hình bình hành ABCD có độ dài cạnh AB = a = 12,5cm, BC = b = 7,25cm. Đường phân giác của góc B cắt đường chéo AC tại E, đường phân giác của góc D cắt đường chéo AC tại F. Hãy tính độ dài đường chéo AC, biết EF = m = 3,45cm. (Tính chính xác đến hai chữ số thập phân) Giải: Vì ABCD là hình bình hành nên\(\widehat {ABC} = \widehat {ADC}\). Mặt khác, BE và DF lần lượt là phân giác của các góc B và D, do đó suy ra \(\widehat {ADF} = \widehat {CBE}\) Mặt khác, ta có: AD = CB = b; \(\widehat {DAF} = \widehat {BCE}\) (so le trong) Suy ra: ∆ ADF = ∆ CBE (g.c.g) ⇒ AF = CE Đặt AF = CE = x Theo tính chất của đường phân giác BE trong tam giác ABC, ta có: \(\eqalign{ & {{AB} \over {BC}} = {{AE} \over {CE}} = {{AF + FE} \over {CE}} \cr & \Rightarrow {a \over b} = {{x + m} \over x} \Rightarrow x = {{mb} \over {a - b}} \cr & AC = 2x + m = {{2mb} \over {a - b}} + m = {{m\left( {a + b} \right)} \over {a - b}} \cr} \) Thay số, tính trên máy tính điện tử cầm tay ta được: \(AC = {{3,45\left( {12,5 + 7,25} \right)} \over {12,5 - 7,25}} \approx 12,98\) (cm)
