Câu 29 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không ? a. 4cm, 5cm, 6cm và 8mm, 10mm, 12mm; b. 3cm, 4cm, 6cm và 9cm, 15cm, 18cm; c. 1dm, 2dm, 2dm và 1dm, 1dm, 0,5dm. Giải: a. Ta có: \({4 \over 8} = {5 \over {10}} = {6 \over {12}}\). Vậy hai tam giác đó đồng dạng b. Ta có: \({3 \over 9} = {6 \over {12}} \ne {4 \over {15}}\). Vậy hai tam giác đó không đồng dạng c. Ta có: \({1 \over 2} = {1 \over 2} = {{0,5} \over 1}\). Vậy hai tam giác đó đồng dạng. Câu 30 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác vuông ABC (\(\widehat A = 90^\circ \)) có AB = 6cm, AC = 8cm và tam giác vuông A’B’C’ (\(\widehat {A'} = 90^\circ \)) có A’B’ = 9cm, B’C’ = 15cm. Hỏi rằng hai tam giác vuông ABC và A’B’C’ có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ? Giải: Trong tam giác vuông A’B’C’ có \(\widehat {A'} = 90^\circ \) Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có: \(A'B{'^2} + A'C{'^2} = B'C{'^2}\) Suy ra: \(A'C{'^2} = B'C{'^2} - A'B{'^2} = {15^2} - {9^2} = 144\) Suy ra: A’C’ =12 (cm) Trong tam giác vuông ABC có \(\widehat A = 90^\circ \) Áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = {6^2} + {8^2} = 100\) Suy ra: BC = 10 (cm) Ta có: \({{A'B'} \over {AB}} = {9 \over 6} = {3 \over 2};{{A'C'} \over {AC}} = {{12} \over 8} = {3 \over 2};{{B'C'} \over {BC}} = {{15} \over {10}} = {3 \over 2}\) Suy ra: \({{A'B'} \over {AB}} = {{A'C'} \over {AC}} = {{B'C'} \over {BC}} = {3 \over 2}\) Vậy ∆ A’B’C’ đồng dạng ∆ ABC (c.c.c). Câu 31 trang 90 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nhau tại O. Gọi P, Q, R thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC. Chứng minh rằng tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC. Giải: Trong ∆ OAB, ta có PQ là đường trung bình nên: \(PQ = {1 \over 2}AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác ) Suy ra: \({{PQ} \over {AB}} = {1 \over 2}\) (1) Trong ∆ OAC, ta có PR là đường trung bình nên: \(PR = {1 \over 2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác ) Suy ra: \({{PR} \over {AC}} = {1 \over 2}\) (2) Trong ∆ OBC, ta có QR là đường trung bình nên: \(QR = {1 \over 2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác ) Suy ra: \({{QR} \over {BC}} = {1 \over 2}\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{PQ} \over {AB}} = {{PR} \over {AC}} = {{QR} \over {BC}}\) Vậy ∆ PQR đồng dạng ∆ ABC (c.c.c). Câu 32 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Tam giác ABC có ba góc nhọn và có trực tâm là điểm H. Gọi K, M, N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH. Chứng minh rằng tam giác KMN đồng dạng với tam giác ABC với tỉ số đồng dạng k = \({1 \over 2}\) . Giải: Trong tam giác AHB, ta có: K là trung điểm của AH (gt) M là trung điểm của BH (gt) Suy ra KM là đường trung bình của tam giác AHB. Suy ra: KM \( = {1 \over 2}AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác ) Suy ra: \({{KM} \over {AB}} = {1 \over 2}\) (1) Trong tam giác AHC, ta có: K là trung điểm của AH (gt) N là trung điểm của CH (gt) Suy ra KN là đường trung bình của tam giác AHC. Suy ra: KN \( = {1 \over 2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác ) Suy ra: \({{KN} \over {AC}} = {1 \over 2}\) (2) Trong tam giác BHC, ta có: M trung điểm của BH (gt) N trung điểm của CH (gt) Suy ra MN là đường trung bình của tam giác BHC. Suy ra: MN \( = {1 \over 2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác ) Suy ra: \({{MN} \over {BC}} = {1 \over 2}\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{KM} \over {AB}} = {{KN} \over {AC}} = {{MN} \over {BC}} = {1 \over 2}\) Vậy ∆ KMN đồng dạng ∆ ABC (c.c.c) Ta có hệ số tỉ lệ: k \( = {{KM} \over {AB}} = {1 \over 2}\). Câu 33 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC. a. Chứng minh rằng tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC. b. Tính chu vi của tam giác PQR, biết rằng tam giác ABC có chu vi p bằng 543cm. Giải: a. Trong tam giác AOB, ta có: P trung điểm của OA (gt) Q trung điểm của OB (gt) Suy ra: PQ là đường trung bình của ∆ OAB. Suy ra: \(PQ = {1 \over 2}AB\) (tính chất đường trung bình của tam giác ) Suy ra: \({{PQ} \over {AB}} = {1 \over 2}\) (1) Trong tam giác OAC, ta có: P trung điểm của OA (gt) R trung điểm của OC (gt) Suy ra: PR là đường trung bình của tam giác OAC. Suy ra: \(PR = {1 \over 2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác ) Suy ra: \({{PR} \over {AC}} = {1 \over 2}\) (2) Trong tam giác OBC, ta có: Q trung điểm của OB (gt) R trung điểm của OC (gt) Suy ra: QR là đường trung bình của tam giác OBC. Suy ra: \(QR = {1 \over 2}BC\) (tính chất đường trung bình của tam giác ) Suy ra: \({{QR} \over {BC}} = {1 \over 2}\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \({{PQ} \over {AB}} = {{PR} \over {AC}} = {{QR} \over {BC}} = {1 \over 2}\) Vậy ∆ PQR đồng dạng ∆ ABC (c.c.c) b. Gọi p’ là chu vi tam giác PQR. Ta có: \({{PQ} \over {AB}} = {{PR} \over {AC}} = {{QR} \over {BC}} = {{PQ + PR + QR} \over {AB + AC + BC}} = {{p'} \over p}\) Vậy: \({{p'} \over p} = {1 \over 2} \Rightarrow p' = {1 \over 2}p = {1 \over 2}.543 = 271,5\) (cm) Câu 34 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho trước tam giác ABC. Hãy dựng một tam giác đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số k \( = {2 \over 3}\) Giải: Cách dựng: - Trên cạnh AB dựng điểm M sao cho AM = \({2 \over 3}\)AB - Trên cạnh AC dựng điểm N sao cho AN = \({2 \over 3}\)AC - Dựng đoạn thẳng MN ta được tam giác AMN đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng k = \({2 \over 3}\). Chứng minh: Theo cách dựng ta có: \(\eqalign{ & AM = {2 \over 3}AB \Rightarrow {{AM} \over {AB}} = {2 \over 3} \cr & AN = AC \Rightarrow {{AN} \over {AC}} = {2 \over 3} \cr} \) Suy ra: \({{AM} \over {AB}} = {{AN} \over {AC}}\) Theo định lí đảo của định lí Ta-lét ta có: MN // BC Vậy ∆ AMN đồng dạng ∆ ABC và k \( = {{AM} \over {AB}} = {2 \over 3}\). Câu 5.1 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Hai tam giác mà các cạnh có độ dài sau đây thì đồng dạng với nhau. Trường hợp nào đúng ? Trường hợp nào sai ? hãy đánh dấu gạch chéo vào ô trả lời thích hợp ở bảng sau: Trường hợpĐúngSaia. 1,5cm, 2cm, 3cm và 4,5cm, 6cm, 9cm.b. 2,5cm, 4cm, 5cm và 5cm, 12cm, 8cm.c. 3,5cm, 6cm, 7cm và 15cm, 12cm, 7cm.d. 2cm, 5cm, 6,5cm và 13cm, 10cm, 4cm.Giải: a. Đúng b. Sai c. Sai d. Đúng Câu 5.2 trang 91 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2. Cho tam giác ba góc nhọn ABC và một điểm O bất kì trong tam giác đó. Ba điểm D, E, F theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, BC và CA. Ba điểm M, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng OA, OB và OC. a. Các tam giác DEF và MPQ có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ? Tỉ số đồng dạng bằng bao nhiêu ? Hãy sắp xếp các đỉnh tương ứng nếu hai tam giác đó đồng dạng. b. Khi nào thì lục giác DPEQFM có tất cả các cạnh bằng nhau ? Hãy vẽ hình trong trường hợp đó. Giải: a. Theo giả thiết D, E, F lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC và CA nên DE, EF, FD là các đường trung bình của tam giác ABC. Do đó, ta có: \(DE = {1 \over 2}AC,EF = {1 \over 2}AB,FD = {1 \over 2}BC\) (1) Mặt khác, M là trung điểm của OA, P là trung điểm của OB, Q là trung điểm của OC, xét các tam giác OAB, OBC, OCA, ta cũng có: \(MP = {1 \over 2}AB,PQ = {1 \over 2}BC,QM = {1 \over 2}AC.\) (2) Từ đẳng thức (1) và (2), ta suy ra : DE = QM, EF = MP, FD = PQ. Do đó ta có: \({{DE} \over {QM}} = {{EF} \over {MP}} = {{FD} \over {PQ}} = 1\) Vậy ∆ DEF đồng dạng ∆ QMP theo tỉ số đồng dạng k = 1, trong đó D, E, F lần lượt tương ứng với các đỉnh Q, M, P. b. Lục giác DPEQFM có các cặp cạnh đối bằng nhau từng đôi một: DP = QF (vì bằng \({1 \over 2}\)OA); PE = MF (vì bằng \({1 \over 2}\)OC) EQ = MD (vì bằng \({1 \over 2}\)OB) Lục giác DPEQFM có 6 cạnh bằng nhau chỉ khi DP = PE = EQ. Muốn vậy, ta phải có OA = OB = OC, khi đó O là điểm cách đều ba điểm A, B, C. Vậy O là giao điểm của ba đường trung trực tam giác ABC.
