Sách bài tập Toán 8 - Phần Hình học - Chương III - Bài 8. Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 44 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 9cm, BC = 24cm. Đường trung trực của BC cắt đường thẳng AC tại D, cắt BC tại M (h.30). Tính độ dài của đoạn thẳng CD.
    Giải:
    (hình 30 trang 95 sbt)
    01.png
    Xét hai tam giác vuông ABC và MDC, ta có:
    \(\widehat {BAC} = \widehat {DMC} = 90^\circ \)
    chung
    Suy ra: tam giác ABC đồng dạng tam giác MDC (g.g)
    Suy ra: \({{AC} \over {MC}} = {{BC} \over {DC}}\)
    Suy ra: \(DC = {{MC.BC} \over {AC}}\)
    Ta có: \(MC = {1 \over 2}BC = {1 \over 2}.24 = 12\) (cm)
    Vậy DC = \({{12.24} \over 9} = 32\) (cm)

    Câu 45 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Cho hình thang vuông ABCD (\(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \)) AB = 6cm, CD = 12cm, AD = 17cm. Trên cạnh AD, đặt đoạn thẳng AE = 8cm (h.31). Chứng minh góc BEC = 90°
    Giải:
    (hình 31 trang 95 sbt)
    02.png
    Ta có: AD = AE + DE
    Suy ra: DE = AD – AE
    =17 – 8 = 9 (cm)
    Xét ∆ ABE và ∆ DEC, ta có:
    \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ \) (1)
    Mà \({{AB} \over {DE}} = {6 \over 9} = {2 \over 3}\)
    \({{AE} \over {DC}} = {8 \over {12}} = {2 \over 3}\)
    Suy ra: \({{AB} \over {DE}} = {{AE} \over {DC}}\) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra ∆ DEC đồng dạng ∆ ABE (c.g.c)
    Suy ra: \(\widehat {AEB} = \widehat {DEC}\)
    Trong ∆ ABE ta có: \(\widehat A = 90^\circ \Rightarrow \widehat {ABE} + \widehat {AEB} = 90^\circ \)
    Suy ra: \(\widehat {DEC} + \widehat {AEB} = 90^\circ \)
    Lại có: \(\widehat {ABE} + \widehat {BEC} + \widehat {DEC} = \widehat {AED} = 180^\circ \) (kề bù)
    Vậy \(\widehat {BEC} = 180^\circ - \left( {\widehat {AEB} + \widehat {DEC}} \right) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

    Câu 46 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Cho tam giác ABC vuông tại A, AC = 4cm, BC = 6cm. Kẻ tia Cx vuông góc với BC (tia Cx và điểm A khác phía so với đường thẳng BC).Lấy trên tia Cx điểm D sao cho BD = 9cm (h.32)
    Chứng minh rằng BD // AC.
    Giải:
    (hình 32 trang 95 sbt)
    03.png
    Xét hai tam giác vuông ABC và CDB, ta có:
    \(\widehat {BAC} = \widehat {DCB} = 90^\circ \) (1)
    Mà \({{AC} \over {CB}} = {4 \over 6} = {2 \over 3}\)
    \({{CB} \over {BD}} = {6 \over 9} = {2 \over 3}\)
    Suy ra: \({{AC} \over {CB}} = {{CB} \over {BD}}\) (2)
    Từ (1) và (2) suy ra ∆ ABC đồng dạng ∆ CDB (cạnh huyền và cạnh góc vuông tỉ lệ)
    Suy ra: \(\widehat {ACB} = \widehat {CBD}\)
    Vậy AC // BD (vì có các cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau).

    Câu 47 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Trên hình 33 hãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các cặp tam giác đồng dạng theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng.
    Giải:
    (hình 33 trang 95 sbt)
    04.png
    - ∆ ABC đồng dạng ∆ HBA
    Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh B chung.
    - ∆ ABC đồng dạng ∆ HAC
    Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung.
    - ∆ ABC đồng dạng ∆ NMC
    Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung.
    - ∆ HAC đồng dạng ∆ NMC
    Hai tam giác vuông có góc nhọn ở đỉnh C chung.
    - ∆ HAC đồng dạng ∆ HBA
    Hai tam giác vuông có góc nhọn \(\widehat {HBA} = \widehat {HAC}\)
    - ∆ HAB đồng dạng ∆ NCM
    Hai tam giác vuông có góc nhọn \(\widehat {HAB} = \widehat {NCM}\)

    Câu 48 trang 95 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Cho tam giác ABC (\(\widehat A = 90^\circ \)) có đường cao AH (h.34)
    Chứng minh rằng \(A{H^2} = BH.CH\)
    Giải:
    (hình 34 trang 95 sbt)
    05.png
    Xét hai tam giác vuông HBA và HAC, ta có:
    \(\widehat {HBA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
    \(\widehat B = \widehat {HAC}\) (hai góc cùng phụ góc C)
    Suy ra: ∆ HBA đồng dạng ∆ HAC (g.g)
    Suy ra: \({{HA} \over {HB}} = {{HC} \over {HA}}\)
    Vậy \(A{H^2} = HB.HC\)

    Câu 49 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Đường cao của một tam giác vuông xuất phát từ đỉnh góc vuông chia cạnh huyền thành hai đoạn thẳng có độ dài là 9cm và 16cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác vuông đó (h.35)
    Giải:
    (hình 35 trang 96 sbt)
    06.png
    Xét hai tam giác vuông DAC và DBA, ta có:
    \(\widehat {ADC} = \widehat {BDA} = 90^\circ \)
    \(\widehat C = \widehat {DAB}\) (hai góc cùng phụ góc B)
    Suy ra: ∆ DAC đồng dạng ∆ DBA (g.g)
    Suy ra: \({{DB} \over {DA}} = {{DA} \over {DC}} = {{AC} \over {BC}}\)
    \( \Rightarrow D{A^2} = DB.DC\)
    hay \(DA = \sqrt {DB.DC} = \sqrt {9.16} = 12\) (cm)
    Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABD, ta có:
    \(\eqalign{ & A{B^2} = D{A^2} + D{B^2} = {9^2} + {12^2} = 225 \cr & \Rightarrow AB = 15(cm) \cr} \)
    Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACD, ta có:
    \(\eqalign{ & A{C^2} = D{A^2} + D{C^2} = {12^2} + {16^2} = 400 \cr & AC = 20(cm) \cr} \)
    Vậy \(BC = BD + DC = 9 + 16 = 25\) (cm)

    Câu 50 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Tam giác vuông ABC (\(\widehat A = 90^\circ \)) có đường cao AH và trung tuyến AM (h.36). Tính diện tích tam giác AMH, biết rằng BH = 4cm, CH = 9cm.
    Giải:
    (hình 36 trang 96 sbt)
    07.png
    Xét hai tam giác vuông HBA và HAC, ta có:
    \(\widehat {BHA} = \widehat {AHC} = 90^\circ \)
    \(\widehat C = \widehat {HAC}\) (hai góc cùng phụ góc C)
    Suy ra: ∆ HBA đồng dạng ∆ HAC (g.g)
    Suy ra: ${{HA} \over {HB}} = {{HC} \over {HA}}\)
    \( \Rightarrow H{A^2} = HB.HC = 4.9 = 36\) (cm)
    Suy ra: AH = 6(cm)
    Lại có: \(BM = {1 \over 2}BC = {1 \over 2}.\left( {9 + 4} \right) = {1 \over 2}.13 = 6,5\) (cm)
    Mà \(HM = BM - BH = 6,5 - 4 = 2,5\) (cm)
    Vậy \({S_{AHM}} = {1 \over 2}AH.HM = {1 \over 2}.6.2,5 = 7,5(c{m^2})\)

    Câu 8.1 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    (xem hình bs.6)
    08.png
    Cho góc nhọn xOy.
    Trên tia Ox lấy một điểm A sao cho OA = 8,65cm.
    Trên tia Oy lấy một điểm B sao cho OB = 15,45cm
    Vẽ AE vuông góc với Oy, BF vuông góc với Ox.
    Biết độ dài đoạn thẳng BF = 10,25cm.
    Độ dài đoạn thẳng AE (lấy chính xác đến hai chữ số thập phân) là:
    A. 13,04 cm
    B. 18,31 cm
    C. 5,74 cm
    D. 5,73 cm
    Hãy chọn kết quả đúng.
    Giải:

    Chọn C

    Câu 8.2 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH = n = 10,85cm và cạnh AB = m = 12,5cm. Hãy tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác (chính xác đến hai chữ số thập phân)
    Giải:
    (hình bs. 13 trang 125 sbt)
    09.png
    Xét hai tam giác ABC và HBA, ta có:
    \(\widehat {BAC} = \widehat {BHA} = 1v\)
    Góc B là góc nhọn chung
    Vậy ∆ ABC đồng dạng ∆ HBA
    Suy ra: \(\eqalign{ & {{AB} \over {HB}} = {{AC} \over {HA}} = {{BC} \over {BA}} \cr & \Rightarrow {m \over {HB}} = {{AC} \over n} = {{BC} \over m} \cr & \Rightarrow AC = {{mn} \over {HB}},BC = {{{m^2}} \over {HB}}. \cr} \)
    Xét tam giác vuông ABH, ta có:
    \(HB = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = \sqrt {{m^2} - {n^2}} \)
    Từ đó, ta có: \(AC = {{m.n} \over {\sqrt {{m^2} - {n^2}} }};BC = {{{m^2}} \over {\sqrt {{m^2} - {n^2}} }}\)
    Với m = 12,5cm, n = 10,85cm, ta tính được:
    AC ≈ 21,85cm; BC ≈ 25,17cm.

    Câu 8.3 trang 96 Sách bài tập (SBT) Toán 8 tập 2.
    Cho tam giác ABC vuông tại A, chân H của đường cao AH chia cạnh huyền BC thành hai đoạn có độ dài 4cm và 9cm.
    Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và AC.
    a. Tính độ dài DE
    b. Các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E cắt BC theo thứ tự tại M và N . Chứng minh M là trung điểm của BH , N là trung điểm của CH.
    c. Tính diện tích tứ giác DENM.
    Giải:
    (hình bs.14 trang 126 sbt)
    10.png
    a. Xét hai tam giác vuông ABH và CAH có:
    \(\widehat {ABH} = \widehat {CAH}\) (cùng phụ với góc BAH)
    Do đó ∆ ABH đồng dạng ∆ CAH (g.g).
    Suy ra: \({{AH} \over {CH}} = {{BH} \over {AH}}\)
    \(\eqalign{ & \Rightarrow A{H^2} = BH.CH = 4.9 \cr & \Rightarrow AH = \sqrt {4.9} = 6(cm) \cr} \)
    Mặt khác, HD ⊥ AB và HE ⊥ AC nên ADHE là hình chữ nhật.
    Suy ra: DE = AH = 6 (cm)
    b. Xét tam giác MDH có \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\) (vì cùng bằng góc vuông trừ đi góc bằng nhau \(\widehat {ODH} = \widehat {OHD}\) )
    Suy ra tam giác MDH cân tại M, do đó MD = MH. (1)
    Vì BHD là tam giác vuông tại D nên MD = BM.
    Vậy M là trung điểm của BH
    Tương tự, ta cũng có N là trung điểm của CH.
    c. Theo chứng minh trên, ta có:
    \(\eqalign{ & DM = MH = {1 \over 2}BH = {1 \over 2}.4 = 2(cm) \cr & EN = NH = {1 \over 2}CH = {1 \over 2}.9 = 4,5(cm) \cr & DE = AH = 6(cm) \cr} \)
    DENM là hình thang vuông, do đó diện tích của nó là:
    \({S_{DENM}} = {1 \over 2}\left( {DM + EN} \right)DE = {1 \over 2}\left( {2 + 4,5} \right)6 = 19,5(c{m^2})\).