Câu 12 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm x để căn thức sau có nghĩa: a) \(\sqrt { - 2x + 3} \) b) \(\sqrt {{2 \over {{x^2}}}} \) c) \(\sqrt {{4 \over {x + 3}}} \) d) \(\sqrt {{{ - 5} \over {{x^2} + 6}}} \) Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\sqrt { - 2x + 3} \) có nghĩa khi và chỉ khi: \( - 2x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow - 2x \ge - 3 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\) b) Ta có: \(\sqrt {{2 \over {{x^2}}}} \) có nghĩa khi và chỉ khi: \({2 \over {{x^2}}} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow x \ne 0\) c) Ta có: \(\sqrt {{4 \over {x + 3}}} \) có nghĩa khi và chỉ khi: \({4 \over {x + 3}} > 0 \Leftrightarrow x + 3 > 0 \Leftrightarrow x > - 3\) d) Ta có: \({x^2} \ge 0\) với mọi x nên x2 + 6 > 0 với mọi x Suy ra \({{ - 5} \over {{x^2} + 6}} < 0\) với mọi x Vậy không có giá trị nào của x để \(\sqrt {{{ - 5} \over {{x^2} + 6}}} \) có nghĩa Câu 13 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn rồi tính: a) \(5\sqrt {{{( - 2)}^4}} \) b) \( - 4\sqrt {{{( - 3)}^6}} \) c) \(\sqrt {\sqrt {{{( - 5)}^8}} } \) d) \(2\sqrt {{{( - 5)}^6}} + 3\sqrt {{{( - 2)}^8}} \) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & 5\sqrt {{{( - 2)}^4}} = 5\sqrt {{{\left[ {{{( - 2)}^2}} \right]}^2}} \cr & = 5.\left| {{{( - 2)}^2}} \right| = 5.4 = 20 \cr} \) b) \(\eqalign{ & - 4\sqrt {{{( - 3)}^6}} = - 4\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 3} \right)}^3}} \right]}^2}} \cr & = - 4.\left| {{{\left( { - 3} \right)}^3}} \right| = - 4.\left| { - 27} \right| \cr & = - 4.27 = - 108 \cr} \) c) \(\eqalign{ & \sqrt {\sqrt {{{( - 5)}^8}} } = \sqrt {\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 5} \right)}^4}} \right]}^2}} } \cr & = \sqrt {{{( - 5)}^4}} = \sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 5} \right)}^2}} \right]}^2}} \cr & = \left| {{{( - 5)}^2}} \right| = 25 \cr} \) d) \(\eqalign{ & 2\sqrt {{{( - 5)}^6}} + 3\sqrt {{{( - 2)}^8}} \cr & = 2.\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 5} \right)}^3}} \right]}^2}} + 3.\sqrt {{{\left[ {{{\left( { - 2} \right)}^4}} \right]}^2}} \cr} \) \(\eqalign{ & = 2.\left| {{{( - 5)}^3}} \right| + 3.\left| {{{( - 2)}^4}} \right| \cr & = 2.\left| { - 125} \right| + 3.\left| {16} \right| \cr & = 2.125 + 3.16 = 298 \cr} \) Câu 14 trang 7 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các biểu thức sau: a) \(\sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}^2}} \); b) \(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \); c) \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt {17} } \right)}^2}} \); d) \(2\sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} \). Gợi ý làm bài a) \(\sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = \left| {4 + \sqrt 2 } \right| = 4 + \sqrt 2 \) b) \(\sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = \left| {3 - \sqrt 3 } \right| = 3 - \sqrt 3 \) c) \(\sqrt {{{\left( {4 - \sqrt {17} } \right)}^2}} = \left| {4 - \sqrt {17} } \right| = \sqrt {17} - 4\) d) \(\eqalign{ & 2\sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = 2\sqrt 3 + \left| {2 - \sqrt 3 } \right| \cr & = 2\sqrt 3 + 2 - \sqrt 3 = \sqrt 3 + 2 \cr} \) Câu 15 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Chứng minh: a) \(9 + 4\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^2}\); b) \(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt 5 = - 2\); c) \({\left( {4 - \sqrt 7 } \right)^2} = 23 - 8\sqrt 7 \); d) \(\sqrt {23 + 8\sqrt 7 } - \sqrt 7 = 4.\) Gợi ý làm bài a) Ta có: VT = \(\eqalign{ & 9 + 4\sqrt 5 = 4 + 2.2\sqrt 5 + 5 \cr & = {2^2} + 2.2\sqrt 5 + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^2} \cr} \) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. b) Ta có: VT = \(\sqrt {9 - 4\sqrt 5 } - \sqrt 5 = \sqrt {5 - 2.2\sqrt 5 + 4} - \sqrt 5 \) \(\eqalign{ & = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2} - 2.2\sqrt 5 + {2^2}} - \sqrt 5 \cr & = \sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}^2}} - \sqrt 5 \cr} \) \(\left| {\sqrt 5 - 2} \right| - \sqrt 5 = \sqrt 5 - 2 - \sqrt 5 = - 2\) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. c) Ta có: VT = \(\eqalign{ & {\left( {4 - \sqrt 7 } \right)^2} = {4^2} - 2.4.\sqrt 7 + {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr & = 16 - 8\sqrt 7 + 7 = 23 - 8\sqrt 7 \cr} \) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. d) Ta có: VT = \(\eqalign{ & \sqrt {23 + 8\sqrt 7 } - \sqrt 7 \cr & = \sqrt {16 + 2.4.\sqrt 7 + 7} - \sqrt 7 \cr} \) = \(\eqalign{ & \sqrt {{4^2} + 2.4.\sqrt 7 + {{\left( {\sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 \cr & = \sqrt {{{\left( {4 + \sqrt 7 } \right)}^2}} - \sqrt 7 \cr} \) = \(\left| {4 + \sqrt 7 } \right| - \sqrt 7 = 4 + \sqrt 7 - \sqrt 7 = 4\) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. Câu 16 trang 7 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Biểu thức sau đây xác định với giá trị nào của x ? a) \(\sqrt {(x - 1)(x - 3)} \); b) \(\sqrt {{x^2} - 4} \); c) \(\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} \); d) \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} \). Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\sqrt {(x - 1)(x - 3)} \) xác định khi và chỉ khi : \((x - 1)(x - 3) \ge 0\) Trường hợp 1: \(\left\{ \matrix{ x - 1 \ge 0 \hfill \cr x - 3 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 1 \hfill \cr x \ge 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 3\) Trường hợp 2: \(\left\{ \matrix{ x - 1 \le 0 \hfill \cr x - 3 \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 1 \hfill \cr x \le 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \le 1\) Vậy với x ≤ 1 hoặc x ≥ 3 thì \(\sqrt {(x - 1)(x - 3)} \) xác định. b) Ta có: \(\sqrt {{x^2} - 4} \) xác định khi và chỉ khi: \(\eqalign{ & {x^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \ge 4 \cr & \Leftrightarrow \left| x \right| \ge 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x \ge 2 \hfill \cr x \le - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy với x ≤ -2 hoặc x ≥ 2 thì \(\sqrt {{x^2} - 4} \) xác định. c) Ta có: \(\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} \) xác định khi và chỉ khi: Trường hợp 1: \(\left\{ \matrix{ x - 2 \ge 0 \hfill \cr x + 3 > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 2 \hfill \cr x > - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge 2\) Trường hợp 2: \(\left\{ \matrix{ x - 2 \le 0 \hfill \cr x + 3 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le 2 \hfill \cr x < - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x < - 3\) Vậy với x < -3 hoặc x ≥ 2 thì \(\sqrt {{{x - 2} \over {x + 3}}} \) xác định. d) Ta có: \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} \) xác định khi và chỉ khi \({{2 + x} \over {5 - x}} \ge 0\) Trường hợp 1: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ 2 + x \ge 0 \hfill \cr 5 - x > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 2 \hfill \cr x < 5 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow - 2 \le x < 5 \cr} \) Trường hợp 2: \(\left\{ \matrix{ 2 + x \le 0 \hfill \cr 5 - x < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \le - 2 \hfill \cr x > 5 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \) vô nghiệm. Vậy với -2 ≤ x < 5 thì \(\sqrt {{{2 + x} \over {5 - x}}} \) xác định Câu 17 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm x, biết: a) \(\sqrt {9{x^2}} = 2x + 1\); b) \(\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 3x - 1\); c) \(\sqrt {1 - 4x + 4{x^2}} = 5\); d) \(\sqrt {{x^4}} = 7\). Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {9{x^2}} = 2x + 1 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} = 2x + 1 \cr & \Leftrightarrow \left| {3x} \right| = 2x + 1 \cr} \) (1) Trường hợp 1: \(3x \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| = 3x\) Suy ra: \(3x = 2x + 1 \Leftrightarrow 3x - 2x = 1 \Leftrightarrow x = 1\) Giá trị x = 1 thỏa mãn điều kiện x ≥ 0. Vậy x = 1 là nghiệm của phương trình (1). Trường hợp 2: \(3x < 0 \Leftrightarrow x < 0 \Rightarrow \left| {3x} \right| = - 3x\) Suy ra : \(\eqalign{ & - 3x = 2x + 1 \Leftrightarrow - 3x - 2x = 1 \cr & \Leftrightarrow - 5x = 1 \Leftrightarrow x = - {1 \over 5} \cr} \) Giá trị \(x = - {1 \over 5}\) thỏa mãn điều kiện x < 0. Vậy \(x = - {1 \over 5}\) là nghiệm của phương trình (1). Vậy x = 1 và \(x = - {1 \over 5}\) b) Ta có : \(\sqrt {{x^2} + 6x + 9} = 3x - 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 3} \right)}^2}} = 3x - 1 \cr & \Leftrightarrow \left| {x + 3} \right| = 3x - 1\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \) Trường hợp 1: \(\eqalign{ & x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge - 3 \cr & \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = x + 3 \cr} \) Suy ra : \(\eqalign{ & x + 3 = 3x - 1 \cr & \Leftrightarrow x - 3x = - 1 - 3 \cr & \Leftrightarrow - 2x = - 4 \Leftrightarrow x = 2 \cr} \) Giá trị x = 2 thỏa mãn điều kiện x ≥ -3. Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình (2). Trường hợp 2: \(\eqalign{ & x + 3 < 0 \Leftrightarrow x < - 3 \cr & \Rightarrow \left| {x + 3} \right| = - x - 3 \cr} \) Suy ra: \(\eqalign{ & - x - 3 = 3x - 1 \cr & \Leftrightarrow - x - 3x = - 1 + 3 \cr & \Leftrightarrow - 4x = 2 \Leftrightarrow x = - 0,5 \cr} \) Giá trị x = -0,5 không thỏa mãn điều kiện x < -3 : loại. Vậy x = 2. Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {1 - 4x - 4{x^2}} = 5 \cr & \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {1 - 2x} \right)}^2}} = 5 \cr & \Leftrightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 5 \cr} \) (3) Trường hợp 1: \(\eqalign{ & 1 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow 2x \le 1 \Leftrightarrow x \le {1 \over 2} \cr & \Rightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 1 - 2x \cr} \) Suy ra: \(\eqalign{ & 1 - 2x = 5 \Leftrightarrow - 2x = 5 - 1 \cr & \Leftrightarrow x = - 2 \cr} \) Giá trị x = -2 thỏa mãn điều kiện \(x \le {1 \over 2}\) Vậy x = -2 là nghiệm của phương trình (3). Trường hợp 2: \(\eqalign{ & 1 - 2x < 0 \Leftrightarrow 2x > 1 \Leftrightarrow x > {1 \over 2} \cr & \Rightarrow \left| {1 - 2x} \right| = 2x - 1 \cr} \) Suy ra: \(2x - 1 = 5 \Leftrightarrow 2x = 5 + 1 \Leftrightarrow x = 3\) Giá trị x = 3 thỏa mãn điều kiện \(x > {1 \over 2}\) Vậy x = 3 là nghiệm của phương trình (3). Vậy x = -2 và x = 3. d) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{x^4}} = 7 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x^2}} \right)}^2}} = 7 \cr & \Leftrightarrow \left| {{x^2}} \right| = 7 \Leftrightarrow {x^2} = 7 \cr} \) Vậy \(x = \sqrt 7 \) và \(x = - \sqrt 7 \) Câu 18 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Phân tích thành nhân tử: a) \({x^2} - 7\); b) \({x^2} - 2\sqrt 2 x + 2\); c) \({x^2} + 2\sqrt {13} x + 13\). Gợi ý làm bài a) Ta có: \(\eqalign{ & {x^2} - 7 = {x^2} - {\left( {\sqrt 7 } \right)^2} \cr & = \left( {x + \sqrt 7 } \right)\left( {x - \sqrt 7 } \right) \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & {x^2} - 2\sqrt 2 x + 2 \cr & = {x^2} - 2.x.\sqrt 2 + {\left( {\sqrt 2 } \right)^2} \cr & = {\left( {x - \sqrt 2 } \right)^2} \cr} \) c) Ta có: \(\eqalign{ & {x^2} + 2\sqrt {13} x + 13 \cr & = {x^2} + 2.x.\sqrt {13} + {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} \cr & = {\left( {x + \sqrt {13} } \right)^2} \cr} \) Câu 19 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các phân thức: a) \({{{x^2} - 5} \over {x + \sqrt 5 }}\) (với \(x \ne - \sqrt 5 \)) b) \({{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} - 2}}\) (với \(x \ne \pm \sqrt 2 \) ) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & {{{x^2} - 5} \over {x + \sqrt 5 }} = {{{x^2} - {{\left( {\sqrt 5 } \right)}^2}} \over {x + \sqrt 5 }} \cr & = {{\left( {x - \sqrt 5 } \right)\left( {x + \sqrt 5 } \right)} \over {x + \sqrt 5 }} = x - \sqrt 5 \cr} \) (với \(x \ne - \sqrt 5 \)) b) \(\eqalign{ & {{{x^2} + 2\sqrt 2 x + 2} \over {{x^2} - 2}} \cr & = {{{x^2} + 2.x.\sqrt 2 + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} \over {\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right)}} \cr & = {{x + \sqrt 2 } \over {x - \sqrt 2 }} \cr} \) (với \(x \ne \pm \sqrt 2 \) ) Câu 20 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi): a) \(6 + 2\sqrt 2 \) và 9; b) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và 3; c) \(9 + 4\sqrt 5 \) và 16; d) \(\sqrt {11} - \sqrt 3 \) và 2. Gợi ý làm bài a) \(6 + 2\sqrt 2 \) và 9 Ta có : 9 = 6 + 3 So sánh: \(2\sqrt 2 \) và 3 vì \(2\sqrt 2 \) > 0 và 3 > 0 Ta có: \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {2^2}{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 4.2 = 8\) \({3^2} = 9\) Vì 8 < 9 nên \({\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} < {3^2} \Rightarrow 2\sqrt 2 < 3\) Vậy \(6 + 2\sqrt 2 < 9.\) b) \(\sqrt 2 + \sqrt 3 \) và 3 Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} = 2 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 + 3 \cr & = 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 \cr} \) \({3^2} = 9 = 5 + 4 = 5 + 2.2\) So sánh: \(\sqrt 2 .\sqrt 3 \) và 2 Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr & = 2.3 = 6 \cr} \) \({2^2} = 4\) Vì 6 > 4 nên \({\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right)^2} > {2^2}\) Suy ra: \(\eqalign{ & \sqrt 2 .\sqrt 3 > 2 \cr & \Rightarrow 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 2.2 \cr & \Rightarrow 5 + 2.\sqrt 2 .\sqrt 3 > 4 + 5 \cr} \) \(\eqalign{ & \Rightarrow 5 + 2\sqrt 2 .\sqrt 3 > 9 \cr & \Rightarrow {\left( {\sqrt 2 + \sqrt 3 } \right)^2} > {3^2} \cr} \) Vậy \(\sqrt 2 + \sqrt 3 > 3\) c) \(9 + 4\sqrt 5 \) và 16 So sánh \(4\sqrt 5 \) và 5 Ta có: \(16 > 5 \Rightarrow \sqrt {16} > \sqrt 5 \Rightarrow 4 > \sqrt 5 \) Vì \(\sqrt 5 > 0\) nên: \(\eqalign{ & 4.\sqrt 5 > \sqrt 5 .\sqrt 5 \Rightarrow 4\sqrt 5 > 5 \cr & \Rightarrow 9 + 4\sqrt 5 > 5 + 9 \cr} \) Vậy \(9 + 4\sqrt 5 > 16\). d) \(\sqrt {11} - \sqrt 3 \) và 2 Vì \(\sqrt {11} > \sqrt 3 \) nên \(\sqrt {11} - \sqrt 3 > 0\) Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt {11} - \sqrt 3 } \right)^2} \cr & = 11 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 + 3 \cr & = 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr} \) So sánh 10 và \(2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \) hay so sánh giữa 5 và \(\sqrt {11} .\sqrt 3 \) Ta có: \({5^2} = 25\) \(\eqalign{ & {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {\sqrt {11} } \right)^2}.{\left( {\sqrt 3 } \right)^2} \cr & = 11.3 = 33 \cr} \) Vì 25 < 33 nên \({5^2} < {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2}\) Suy ra : \(5 < \sqrt {11} .\sqrt 3 \Rightarrow 10 < 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \) Suy ra : \(\eqalign{ & 14 - 10 > 14 - 2.\sqrt {11} .\sqrt 3 \cr & \Rightarrow {\left( {\sqrt {11} .\sqrt 3 } \right)^2} < {2^2} \cr} \) Vậy \(\sqrt {11} - \sqrt 3 < 2\) Câu 21 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các biểu thức: a) \(\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } - \sqrt 3 \); b) \(\sqrt {11 + 6\sqrt 2 } - 3 + \sqrt 2 \); c) \(\sqrt {9{x^2}} - 2x\) với x < 0 ; d) \(x - 4 + \sqrt {16 - 8x + {x^2}} \) với x < 4. Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } - \sqrt 3 \cr & = \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} - \sqrt 3 \cr} \) \(\eqalign{ & = \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} - \sqrt 3 \cr & = \left| {\sqrt 3 - 1} \right| - \sqrt 3 \cr & = \sqrt 3 - 1 - \sqrt 3 = - 1 \cr} \) \(\eqalign{ & b)\,\sqrt {11 + 6\sqrt 2 } - 3 + \sqrt 2 \cr & = \sqrt {9 + 2.3\sqrt 2 + 2} - 3 + \sqrt 2 \cr} \) \(\eqalign{ & = \sqrt {{{\left( {3 + \sqrt 2 } \right)}^2}} - 3 + \sqrt 2 \cr & = 3 + \sqrt 2 - 3 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \cr} \) \(\eqalign{ & c)\,\,\sqrt {9{x^2}} - 2x = \sqrt {{{\left( {3x} \right)}^2}} - 2x \cr & = \left| {3x} \right| - 2x = - 3x - 2x = - 5x \cr} \) ( với x < 0) \(\eqalign{ & d)\,\,x - 4 + \sqrt {16 - 8x + {x^2}} \cr & = x - 4 + \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} \cr} \) \(\eqalign{ & = x - 4 + \left| {x - 4} \right| \cr & = x - 4 + x - 4 = 2x - 8 \cr} \) ( với x > 4). Câu 22 trang 8 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Với n là số tự nhiên, chứng minh đẳng thức: \(\sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = {(n + 1)^2} - {n^2}\) Gợi ý làm bài Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{(n + 1)}^2}} + \sqrt {{n^2}} = \left| {n + 1} \right| + \left| n \right| \cr & = n + 1 + 1 = 2n + 1 \cr} \) \(\eqalign{ & {(n + 1)^2} - {n^2} \cr & = {n^2} + 2n + 1 - {n^2} \cr & = 2n + 1 \cr} \) Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh. Với n = 1, ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{(1 + 1)}^2}} + \sqrt {{1^2}} = {(1 + 1)^2} - {1^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt 4 + \sqrt 1 = 4 - 1 \cr} \) Với n = 2, ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{(2 + 1)}^2}} + \sqrt {{2^2}} = {(2 + 1)^2} - {2^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt 9 + \sqrt 4 = 9 - 4 \cr} \) Với n = 3, ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{(3 + 1)}^2}} + \sqrt {{3^2}} = {(3 + 1)^2} - {3^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {16} + \sqrt 9 = 16 - 9 \cr} \) Với n = 4, ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{(4 + 1)}^2}} + \sqrt {{4^2}} = {(4 + 1)^2} - {4^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {25} + \sqrt {16} = 25 - 16 \cr} \) Với n=5, ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{\left( {5 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{5^2}} = {\left( {5 + 1} \right)^2} - {5^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {36} + \sqrt {25} = 36 - 25 \cr} \) Với n=6, ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{\left( {6 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{6^2}} = {\left( {6 + 1} \right)^2} - {6^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {49} + \sqrt {36} = 49 - 36 \cr} \) Với n=7, ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {{{\left( {7 + 1} \right)}^2}} + \sqrt {{7^2}} = \left( {7 + 1} \right) - {7^2} \cr & \Leftrightarrow \sqrt {64} + \sqrt {49} = 64 - 49 \cr} \)
