Sách bài tập Toán 9 - Phần Đại số - Chương I - Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

LTTK CTV · 11/10/18

Câu 68 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
Khử mẫu của mỗi biểu thức lấy căn và rút gọn ( nếu được):
a) $\sqrt {{2 \over 3}} $;
b) $\sqrt {{{{x \over 5}}^2}} $ với $x \ge 0$;
c) $\sqrt {{3 \over x}} $ với x>0;
d) $\sqrt {{x^2} - {{{x \over 7}}^2}} $ với x<0.
Gợi ý làm bài
a) $\sqrt {{2 \over 3}} $ = $\sqrt {{{2.3} \over {{3^2}}}} = {1 \over 3}\sqrt 6$
b) $\sqrt {{{{x \over 5}}^2}} $ $ = \sqrt {{{{x^2}} \over 5}} = \sqrt {{{{x^2}.5} \over {{5^2}}}} = {x \over 5}\sqrt 5 $ (với $x \ge 0$)
c) $\sqrt {{3 \over x}} $ $ = \sqrt {{{3x} \over {{x^2}}}} = {1 \over {\left| x \right|}}\sqrt {3x} = {1 \over x}\sqrt {3x} $ (với x>0)
d) $\sqrt {{x^2} - {{{x \over 7}}^2}} $ $ = \sqrt {{{7{x^2} - {x^2}} \over 7}} $
$ = \sqrt {{{42{x^2}} \over {49}}} = {{\left| x \right|} \over 7}\sqrt {42} = - {x \over 7}\sqrt {42} $ (với x<0)

Câu 69 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
Trục căn thức ở mẫu và rút gọn ( nếu được):
a) ${{\sqrt 5 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }}$;
b) ${{26} \over {5 - 2\sqrt 3 }}$;
c) ${{2\sqrt {10} - 5} \over {4 - \sqrt {10} }}$;
d) ${{9 - 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt 6 - 2\sqrt 2 }}$.
Gợi ý làm bài
a) ${{\sqrt 5 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }}$ $ = {{(\sqrt 5 - \sqrt 3 )\sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}} = {{\sqrt {10} - \sqrt 6 } \over 2}$
b) ${{26} \over {5 - 2\sqrt 3 }}$ $ = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {(5 - 2\sqrt 3 )(5 + 2\sqrt 3 )}} = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {25 - 12}}$
$ = {{26(5 + 2\sqrt 3 )} \over {13}} = 2(5 + 2\sqrt 3 ) = 10 + 4\sqrt 3 $
c) ${{2\sqrt {10} - 5} \over {4 - \sqrt {10} }}$ $ = {{2\sqrt {2.5} - \sqrt {{5^2}} } \over {2\sqrt {{2^2}} - \sqrt {2.5} }}$
$ = {{\sqrt 5 (2\sqrt 2 - \sqrt 5 )} \over {\sqrt 2 (2\sqrt 2 - \sqrt 5 )}} = {{\sqrt 5 } \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt 5 .\sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}}$ $ = {{\sqrt {10} } \over 2}$
d) ${{9 - 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt 6 - 2\sqrt 2 }}$ $= {{3\sqrt {{3^2}} - 2\sqrt 3 } \over {3\sqrt {3.2} - 2\sqrt 2 }}$
$ = {{\sqrt 3 (3\sqrt 3 - 2)} \over {\sqrt 2 (3\sqrt 3 - 2)}} = {{\sqrt 3 } \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt {3.} \sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2}}} = {{\sqrt 6 } \over 2}$

Câu 70 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
Rút gọn các biểu thức:
a) ${2 \over {\sqrt 3 - 1}} - {2 \over {\sqrt 3 + 1}}$
b) ${5 \over {12(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )}} - {5 \over {12(2\sqrt 5 - 3\sqrt 2 )}}$
c) ${{5 + \sqrt 5 } \over {5 - \sqrt 5 }} + {{5 - \sqrt 5 } \over {5 + \sqrt 5 }}$
d) ${{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} - 1}} - {{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1}}$
Gợi ý làm bài
a) ${2 \over {\sqrt 3 - 1}} - {2 \over {\sqrt 3 + 1}}$ $= {{2(\sqrt 3 + 1) - 2(\sqrt 3 - 1)} \over {(\sqrt 3 + 1)(\sqrt 3 - 1)}}$
$ = {{2\sqrt 3 + 2 - 2\sqrt 3 + 2} \over {3 - 1}} = {4 \over 2} = 2$
b) ${5 \over {12(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )}} - {5 \over {12(2\sqrt 5 - 3\sqrt 2 )}}$
$ = {{5(2\sqrt 5 - 3\sqrt 2 ) - 5(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )} \over {12(2\sqrt 5 + 3\sqrt 2 )(2\sqrt 5 - 3\sqrt 2 )}}$
$\eqalign{
& = {{10\sqrt 5 - 15\sqrt 2 - 10\sqrt 5 - 15\sqrt 2 } \over {12(20 - 18)}} \cr
& = {{ - 30\sqrt 2 } \over {12.2}} = - {{5\sqrt 2 } \over 4} \cr} $
c) ${{5 + \sqrt 5 } \over {5 - \sqrt 5 }} + {{5 - \sqrt 5 } \over {5 + \sqrt 5 }}$ $= {{{{(5 + \sqrt 5 )}^2} + {{(5 - \sqrt 5 )}^2}} \over {(5 + \sqrt 5 )(5 - \sqrt 5 )}}$
$ = {{25 + 10\sqrt 5 + 5 + 25 - 10\sqrt 5 + 5} \over {25 - 5}} = {{60} \over {20}} = 3$
d) ${{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} - 1}} - {{\sqrt 3 } \over {\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1}}$
$ = {{\sqrt 3 (\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1) - \sqrt 3 (\sqrt {\sqrt 3 + 1} - 1)} \over {(\sqrt {\sqrt 3 + 1} + 1)(\sqrt {\sqrt 3 + 1} - 1)}}$
$\eqalign{
& = {{\sqrt {3(\sqrt 3 + 1)} + \sqrt 3 - \sqrt {3(\sqrt 3 + 1)} + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1 - 1}} \cr
& = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr} $

Câu 71 trang 16 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
Chứng minh đẳng thức:
$\sqrt {n + 1} - \sqrt n = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$ với n là số tự nhiên.
Gợi ý làm bài
Ta có: ${1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}$ $ = {{\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \over {(\sqrt {n + 1} + \sqrt n )(\sqrt {n + 1} - \sqrt n )}}$
$ = {{\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \over {{{(\sqrt n + 1)}^2} - {{(\sqrt n )}^2}}}$
$ = {{\sqrt {n + 1} - \sqrt n } \over {n + 1 - n}} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n $
(với n là số tự nhiên)
Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 72 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
Xác định giá trị biểu thức sau theo cách thích hợp:
${1 \over {\sqrt 2 + \sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 4 + \sqrt 3 }}$
Gợi ý làm bài
Ta có: ${1 \over {\sqrt 2 + \sqrt 1 }} + {1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 }} + {1 \over {\sqrt 4 + \sqrt 3 }}$
$ = {{\sqrt 2 - \sqrt 1 } \over {(\sqrt 2 + \sqrt 1 )(\sqrt 2 - \sqrt 1 )}} + {{\sqrt 3 - \sqrt 2 } \over {(\sqrt 3 + \sqrt {2)} (\sqrt 3 - \sqrt 2 )}} + {{\sqrt 4 - \sqrt 3 } \over {(\sqrt 4 + \sqrt 3 )(\sqrt 4 - \sqrt 3 )}}$
$ = {{\sqrt 2 - \sqrt 1 } \over {2 - 1}} + {{\sqrt 3 - \sqrt 2 } \over {3 - 2}} + {{\sqrt 4 - \sqrt 3 } \over {4 - 3}}$
$ = \sqrt 2 - \sqrt 1 + \sqrt 3 - \sqrt 2 + \sqrt 4 - \sqrt 3 $
$ = - \sqrt 1 + \sqrt 4 = - 1 + 2 = 1$

Câu 73 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi).
$\sqrt {2005} - \sqrt {2004} $ với $\sqrt {2004} - \sqrt {2003} $
Gợi ý làm bài
Ta có:
${1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }} = {{\sqrt {2005} - \sqrt {2004} } \over {(\sqrt {2005} + \sqrt {2004} )(\sqrt {2005} - \sqrt {2004} )}}$
$ = {{\sqrt {2005} - \sqrt {2004} } \over {2005 - 2004}} = \sqrt {2005} - \sqrt {2004} \,(1)$$
Ta có:
${1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }} = {{\sqrt {2004} - \sqrt {2003} } \over {(\sqrt {2004} + \sqrt {2003} )(\sqrt {2004} - \sqrt {2003} )}}$
$ = {{\sqrt {2004} - \sqrt {2003} } \over {2004 - 2003}} = \sqrt {2004} - \sqrt {2003} \,(2)$
Vì $\sqrt {2005} + \sqrt {2004} $ > $\sqrt {2004} + \sqrt {2003} $ nên:
${1 \over {\sqrt {2005} + \sqrt {2004} }} \le {1 \over {\sqrt {2004} + \sqrt {2003} }}$ (3)
Từ (1),(2),(3) suy ra:
$\sqrt {2005} - \sqrt {2004} $ < $\sqrt {2004} - \sqrt {2003} $

Câu 74 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
Rút gọn:
${1 \over {\sqrt 1 - \sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2 - \sqrt 3 }} + {1 \over {\sqrt 3 - \sqrt 4 }} - {1 \over {\sqrt 4 - \sqrt 5 }} + {1 \over {\sqrt 5 - \sqrt 6 }} - $
$-{1 \over {\sqrt 6 - \sqrt 7 }} + {1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 8 }} - {1 \over {\sqrt 8 - \sqrt 9 }}$
Gợi ý làm bài
Ta có:
${1 \over {\sqrt 1 - \sqrt 2 }} - {1 \over {\sqrt 2 - \sqrt 3 }} + {1 \over {\sqrt 3 - \sqrt 4 }} - {1 \over {\sqrt 4 - \sqrt 5 }} + {1 \over {\sqrt 5 - \sqrt 6 }} -$
$ - {1 \over {\sqrt 6 - \sqrt 7 }} + {1 \over {\sqrt 7 - \sqrt 8 }} - {1 \over {\sqrt 8 - \sqrt 9 }}$
$ = {{\sqrt 1 + \sqrt 2 } \over {{{(\sqrt 1 )}^2} - {{(\sqrt 2 )}^2}}} - {{\sqrt 2 + \sqrt 3 } \over {{{(\sqrt 2 )}^2} - {{(\sqrt 3 )}^2}}} + {{\sqrt 3 + \sqrt 4 } \over {{{(\sqrt 3 )}^2} - {{(\sqrt 4 )}^2}}} - {{\sqrt 4 + \sqrt 5 } \over {{{(\sqrt 4 )}^2} - {{(\sqrt 5 )}^2}}} + $
$+ {{\sqrt 5 + \sqrt 6 } \over {{{(\sqrt 5 )}^2} - {{(\sqrt 6 )}^2}}} - {{\sqrt 6 + \sqrt 7 } \over {{{(\sqrt 6 )}^2} - {{(\sqrt 7 )}^2}}} + {{\sqrt 7 + \sqrt 8 } \over {{{(\sqrt 7 )}^2} - {{(\sqrt 8 )}^2}}} - {{\sqrt 8 - \sqrt 9 } \over {{{(\sqrt 8 )}^2} - {{(\sqrt 9 )}^2}}}$
$ = {{\sqrt 1 + \sqrt 2 } \over {1 - 2}} - {{\sqrt 2 + \sqrt 3 } \over {2 - 3}} + {{\sqrt 3 + \sqrt 4 } \over {3 - 4}} - {{\sqrt 4 + \sqrt 5 } \over {4 - 5}} + $
$ + {{\sqrt 5 + \sqrt 6 } \over {5 - 6}} - {{\sqrt 6 + \sqrt 7 } \over {6 - 7}} + {{\sqrt 7 + \sqrt 8 } \over {7 - 8}} - {{\sqrt 8 - \sqrt 9 } \over {8 - 9}}$
$= {{\sqrt 1 + \sqrt 2 } \over { - 1}} - {{\sqrt 2 + \sqrt 3 } \over { - 1}} + {{\sqrt 3 + \sqrt 4 } \over { - 1}} - {{\sqrt 4 + \sqrt 5 } \over { - 1}} + $
$ + {{\sqrt 5 + \sqrt 6 } \over { - 1}} - {{\sqrt 6 + \sqrt 7 } \over { - 1}} + {{\sqrt 7 + \sqrt 8 } \over { - 1}} - {{\sqrt 8 - \sqrt 9 } \over { - 1}}$
$ = {{\sqrt 1 - \sqrt 9 } \over { - 1}}$ $ = {{\sqrt 1 - \sqrt 9 } \over { - 1}}$
$ = \sqrt 9 - \sqrt 1 = 3 - 1 = 2$

Câu 75 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
Rút gọn các biểu thức:
a) ${{x\sqrt x - y\sqrt y } \over {\sqrt x - \sqrt y }}$ với $x \ge 0,y \ge 0$ và $x \ne y$
b) ${{x - \sqrt {3x} + 3} \over {x\sqrt x + 3\sqrt 3 }}$ với $x \ge 0$
Gợi ý làm bài
a) $\eqalign{
& {{x\sqrt x - y\sqrt y } \over {\sqrt x - \sqrt y }} = {{\sqrt {{x^3}} - \sqrt {{y^3}} } \over {\sqrt x - \sqrt y }} \cr
& = {{(\sqrt x - \sqrt y )(x + \sqrt {xy} + y)} \over {\sqrt x - \sqrt y }} \cr} $
$ = x + \sqrt {xy} + y$ (với $x \ge 0,y \ge 0$ và $x \ne y$)
b) $\eqalign{
& {{x - \sqrt {3x} + 3} \over {x\sqrt x + 3\sqrt 3 }} = {{x - \sqrt {3x} + 3} \over {\sqrt {{x^3}} + \sqrt {{3^3}} }} \cr
& = {{x - \sqrt {3x} + 3} \over {(\sqrt x + \sqrt 3 )(x - \sqrt {3x} + 3)}} \cr} $
$ = {1 \over {\sqrt x + \sqrt 3 }}$(với $x \ge 0$)

Câu 76 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
Trục căn thức ở mẫu:
a) ${1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 + 1}}$
b)${1 \over {\sqrt 5 - \sqrt 3 + 2}}$
Gợi ý làm bài
a) $\eqalign{
& {1 \over {\sqrt 3 + \sqrt 2 + 1}} = {1 \over {\sqrt 3 + (\sqrt 2 + 1)}} \cr
& = {{\sqrt 3 - (\sqrt 2 + 1)} \over {\left[ {\sqrt 3 + (\sqrt 2 + 1)} \right]\left[ {\sqrt 3 - (\sqrt 2 + 1)} \right]}} \cr} $
$ = {{\sqrt 3 - \sqrt 2 - 1} \over {3 - {{(\sqrt 2 + 1)}^2}}} = {{\sqrt 3 - \sqrt 2 - 1} \over {3 - (2 + 2\sqrt 2 + 1)}} = {{\sqrt 3 - \sqrt 2 - 1} \over { - 2\sqrt 2 }}$
$ = {{ - \sqrt 2 (\sqrt 3 - \sqrt 2 - 1)} \over {2{{(\sqrt 2 )}^2}}} = {{ - \sqrt 6 + 2 + \sqrt 2 } \over 4}$
b) ${1 \over {\sqrt 5 - \sqrt 3 + 2}} = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 - 2)} \over {\left[ {\sqrt 5 - (\sqrt 3 - 2)} \right]\left[ {\sqrt 5 + (\sqrt 3 - 2)} \right]}}$
$ = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 - 2)} \over {5 - {{(\sqrt 3 - 2)}^2}}} = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 - 2)} \over {5 - (3 - 4\sqrt 3 + 4)}} = {{\sqrt 5 + (\sqrt 3 - 2)} \over {4\sqrt 3 - 2}}$
$= {{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 2} \over {2(2\sqrt 3 - 1)}} = {{(\sqrt 5 + \sqrt 3 - 2)(2\sqrt 3 + 1)} \over {2\left[ {(2\sqrt 3 - 1)(2\sqrt 3 + 1)} \right]}}$
$\eqalign{
& = {{2\sqrt {15} + \sqrt 5 + 6 + \sqrt 3 - 4\sqrt 3 - 2} \over {2(12 - 1)}} \cr
& = {{2\sqrt {15} + \sqrt 5 + 4 - 3\sqrt 3 } \over {22}} \cr} $

Câu 77 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
Tìm x, biết:
a) $\sqrt {2x + 3} = 1 + \sqrt 2 $
b) $\sqrt {10 + \sqrt {3x} } = 2 + \sqrt 6 $
c) $\sqrt {3x - 2} = 2 - \sqrt 3 $
d) $\sqrt {x + 1} = \sqrt 5 - 3$
Gợi ý làm bài
a)
$\eqalign{
& \sqrt {2x + 3} = 1 + \sqrt 2 \Leftrightarrow 2x + 3 = {(1 + \sqrt 2 )^2} \cr
& \Leftrightarrow 2x + 3 = 1 + 2\sqrt 2 + 2 \cr} $
b) $\sqrt {10 + \sqrt {3x} } = 2 + \sqrt 6 $
$ \Leftrightarrow 10 + \sqrt {3x} = {(2 + \sqrt 6 )^2}$
$ \Leftrightarrow 10 + \sqrt {3x} = 4 + 4\sqrt 6 + 6 \Leftrightarrow \sqrt {3x} = 4\sqrt 6 $
$ \Leftrightarrow x = {{4\sqrt 6 } \over {\sqrt 3 }} \Leftrightarrow x = 4\sqrt 2 $
c)
$\eqalign{
& \sqrt {3x - 2} = 2 - \sqrt 3 \Leftrightarrow 3x - 2 = {(2 - \sqrt 3 )^2} \cr
& \Leftrightarrow 3x - 2 = 4 - 4\sqrt 3 + 3 \cr} $
$ \Leftrightarrow 3x = 9 - 4\sqrt 3 \Leftrightarrow x = {{9 - 4\sqrt 3 } \over 3}$
d) $\sqrt {x + 1} = \sqrt 5 - 3$
Ta có:
$\sqrt 5 $ < $\sqrt 9 $ $ \Leftrightarrow \sqrt 5 < 3 \Leftrightarrow \sqrt 5 - 3 < 0$
Không có giá trị nào của x để $\sqrt {x + 1} = \sqrt 5 - 3$

Câu 78 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
Tìm tập hợp các giá trị x thỏa mãn điều kiện sau và biểu diễn tập hợp đó trên trục số:
a) $\sqrt {x - 2} \ge \sqrt 3 $
b) $\sqrt {3 - 2x} \le \sqrt 5 $
Gợi ý làm bài
a) Điều kiện: $x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 2$
Ta có: $\sqrt {x - 2} \ge \sqrt 3 \Leftrightarrow x - 2 \ge \Leftrightarrow x \ge 5$
Giá trị $x \ge 5$ thỏa mãn điều kiện.

Điều kiện: $3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow 3 \ge 2x \Leftrightarrow x \le 1,5$
Ta có:
$\eqalign{
& \sqrt {3 - 2x} \le \sqrt 5 \Leftrightarrow 3 - 2x \le 5 \cr
& \Leftrightarrow - 2x \le 2 \Leftrightarrow x \ge - 1 \cr} $
Kết hợp với điều kiện ta có: $ - 1 \le x \le 1,5$

Câu 79 trang 17 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1.
Cho các số x và y có dạng: $x = {a_1}\sqrt 2 + {b_1}$ và $x = {a_2}\sqrt 2 + {b_2}$, trong đó ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ là các số hữu tỉ. Chứng minh:
a) x + y và x,y cũng có dạng $a\sqrt 2 + b$ với a và b là số hữu tỉ.
b) ${x \over y}$ với $y \ne 0$ cũng có dạng $a\sqrt 2 + b$ với a và b là số hữu tỉ.
Gợi ý làm bài
a) Ta có:
$\eqalign{
& x + y = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1}) + ({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr
& = ({a_1} + {a_2})\sqrt 2 + ({b_1} + {b_2}) \cr} $
Vì ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ là các số hữu tỉ nên ${a_1} + {a_2},{b_1} + {b_2}$ cũng là số hữu tỉ.
Lại có:
$\eqalign{
& xy = ({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 + {b_2}) \cr
& = 2{a_1}{a_2} + {a_1}{b_2}\sqrt 2 + {a_2}{b_1}\sqrt 2 + {b_1}{b_2} \cr} $
$ = ({a_1}{b_2} + {a_2}{b_1})\sqrt 2 + (2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2})$
Vì ${a_1},{a_2},{b_1},{b_2}$ là các số hữu tỉ nên ${a_1}{b_2} + {a_2}{b_1}$, $2{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}$ cũng là số hữu tỉ.
b) Ta có:
$\eqalign{
& {x \over y} = {{{a_1}\sqrt 2 + {b_1}} \over {{a_2}\sqrt 2 + {b_2}}} \cr
& = {{({a_1}\sqrt 2 + {b_1})({a_2}\sqrt 2 - {b_2})} \over {{{({a_2}\sqrt 2 )}^2} - {b_2}^2}} \cr} $
$ = {{2{a_1}{a_2} - {a_1}{b_2}\sqrt 2 + {a_2}{b_1}\sqrt 2 - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$
$= \sqrt 2 {{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}} + {{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$
Vì $y \ne 0$ nên ${a_2}$ và ${b_2}$ không đồng thời bằng 0
Suy ra: $2{a_2}^2 - {b_2}^2$ $ \ne 0$
Nếu $2{a_2}^2 - {b_2}^2 = 0$ thì $\sqrt 2 {{{b_2}} \over {{a_2}}}$
Điều này mâu thuẫn với $\sqrt 2 $ là số vô tỉ.
Vậy ${{{a_2}{b_1} - {a_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$; ${{2{a_1}{a_2} - {b_1}{b_2}} \over {2{a_2}^2 - {b_2}^2}}$ đều là số hữu tỉ.

Sách bài tập Toán 9 - Phần Đại số - Chương I - Bài 7: Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

Xem các chủ đề cùng chuyên mục