Câu 80 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các biểu thức: a) \((2 - \sqrt 2 )( - 5\sqrt 2 ) - {(3\sqrt 2 - 5)^2}\); b) \(2\sqrt {3a} - \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \) với \(a \ge 0\) Gợi ý làm bài a) \((2 - \sqrt 2 )( - 5\sqrt 2 ) - {(3\sqrt 2 - 5)^2}\) \( = - 10\sqrt 2 + 5\sqrt {{2^2}} - (18 - 30\sqrt 2 + 25)\) \( = - 10\sqrt 2 + 10 - 18 + 30\sqrt 2 - 25 = 20\sqrt 2 - 33\) b) \(2\sqrt {3a} - \sqrt {75a} + a\sqrt {{{13,5} \over {2a}}} - {2 \over 5}\sqrt {300{a^3}} \) \( = 2\sqrt {3a} - \sqrt {25.3a} + a\sqrt {{{9.3} \over {4a}}} - {2 \over 5}\sqrt {100{a^2}.3a} \) \( = 2\sqrt {3a} - 5\sqrt {3a} + {3 \over 2}\sqrt {3a} - 4a\sqrt {3a} \) (với a>0) Câu 81 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các biểu thức: a) \({{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\) b) \({{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} - \sqrt {{b^3}} } } \over {a - b}}\) với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\) Gợi ý làm bài a) Ta có: \({{\sqrt a + \sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt a - \sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} + {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}\) \( = {{a + 2\sqrt {ab} + b + a - 2\sqrt {ab} + b} \over {a - b}}\) \( = {{2(a + b)} \over {a - b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)) b) Ta có: \({{a - b} \over {\sqrt a - \sqrt b }} + {{\sqrt {{a^3} - \sqrt {{b^3}} } } \over {a - b}}\) \( = {{(a - b)(\sqrt a + \sqrt {b)} } \over {{{\left( {\sqrt a } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt b } \right)}^2}}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}\) \( = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}} - {{a\sqrt a - b\sqrt b } \over {a - b}}\) \( = {{a\sqrt a + a\sqrt b - b\sqrt a - b\sqrt b - a\sqrt a + b\sqrt b } \over {a - b}}\) \( = {{a\sqrt b - b\sqrt a } \over {a - b}}\) (với \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\)) Câu 82 trang 18 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Chứng mình: \({x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \({x^2} + x\sqrt 3 + 1\). Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu? Gợi ý làm bài a) Ta có: \({x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {3 \over 4} + {1 \over 4}\) \(\eqalign{ & = {x^2} + 2x{{\sqrt 3 } \over 2} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr & = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \cr} \) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. b) Ta có: \({x^2} + x\sqrt 3 + 1 = {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) Vì \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} \ge 0\) với mọi x nên \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4} \ge {1 \over 4}\) Giá trị biểu thức \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}\) bằng \({1 \over 4}\) khi \({\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 2}} \right)^2} = 0\) Suy ra: \(x = - {{\sqrt 3 } \over 2}.\) Câu 83 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Chứng tỏ giá trị các biểu thức sau là số hữu tỉ: a) \({2 \over {\sqrt 7 - 5}} - {2 \over {\sqrt 7 + 5}}\); b) \(\,{{\sqrt 7 + 5} \over {\sqrt 7 - 5}} + {{\sqrt 7 - 5} \over {\sqrt 7 + 5}}.\) Gợi ý làm bài a) Rút gọn biểu thức ta được \({{ - 10} \over {9}}$\) là số hữu tỉ. b) Rút gọn biểu thức ta được 12 là số hữu tỉ. Câu 84 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm x biết: a) \(\sqrt {4x + 20} - 3\sqrt {5 + x} + {4 \over 9}\sqrt {9x + 45} = 6;\) b) \(\sqrt {25x - 25} - {{15} \over 2}\sqrt {{{x - 1} \over 9}} = 6 + \sqrt {x - 1} .\) Gợi ý làm bài a) Điều kiện : \(x \ge - 5\) Ta có: \(\sqrt {4x + 20} - 3\sqrt {5 + x} + {4 \over 3}\sqrt {9x + 45} = 6\) \( \Leftrightarrow \sqrt {4(x + 5)} - 3\sqrt {5 + x} + {4 \over 3}\sqrt {9(x + 5)} = 6\) \( \Leftrightarrow 2\sqrt {x + 5} - 3\sqrt {x + 5} + 4\sqrt {x + 5} = 6\) \( \Leftrightarrow x + 5 = 4 \Leftrightarrow x = - 1\) Giá trị x = -1 thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy x = -1 b) Điều kiện: \(x \ge 1\) Ta có: \(\sqrt {25x - 25} - {{15} \over 2}\sqrt {{{x - 1} \over 9}} = 6 + \sqrt {x - 1} \) \( \Leftrightarrow \sqrt {25(x - 1)} - {5 \over 2}\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} = 6\) \( \Leftrightarrow 5\sqrt {x - 1} - {5 \over 2}\sqrt {x - 1} - \sqrt {x - 1} = 6\) \( \Leftrightarrow {3 \over 2}\sqrt {x - 1} = 6 \Leftrightarrow \sqrt {x - 1} = 6.{2 \over 3}\) \( \Leftrightarrow x - 1 = 16 \Leftrightarrow x = 17\) Giá trị x = 17 thỏa mãn điều kiện bài toán. Vậy x = 17 Câu 85 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho biểu thức: \(P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}\) a) Rút gọn P với \(x \ge 0\) và \(x \ne 4.\) b) Tìm x để P = 2. Gợi ý làm bài a) Điều kiện: \(x \ge 0,x \ne 4\) Ta có: \(P = {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 2}} + {{2\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} + {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}\) \( = {{(\sqrt x + 1)(\sqrt x + 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} - {2^2}}} + {{2\sqrt x (\sqrt x - 2)} \over {{{(\sqrt x )}^2} - {2^2}}} - {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}\) \( = {{x + 2\sqrt x + \sqrt x + 2} \over {x - 4}} + {{2x - 4\sqrt x } \over {x - 4}} - {{2 + 5\sqrt x } \over {x - 4}}\) \( = {{x + 3\sqrt x + 2 + 2x - 4\sqrt x - 2 - 5\sqrt x } \over {x - 4}}\) \( = {{3x - 6\sqrt x } \over {x - 4}} = {{3\sqrt x (\sqrt x - 2)} \over {(\sqrt x + 2)(\sqrt x - 2)}} = {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}}\) b) Ta có: P = 2 \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{3\sqrt x } \over {\sqrt x + 2}} = 2 \cr & \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2(\sqrt x + 2) \Leftrightarrow 3\sqrt x = 2\sqrt x + 4 \cr} \) \( \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\) Câu 86 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho biểu thức: \(Q = \left( {{1 \over {\sqrt a - 1}} - {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt a - 2}} - {{\sqrt a + 2} \over {\sqrt a - 1}}} \right)\) a) Rút gọn Q với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\). b) Tìm giá trị của a để Q dương. Gợi ý làm bài a) Ta có: \(Q = \left( {{1 \over {\sqrt a - 1}} - {1 \over {\sqrt a }}} \right):\left( {{{\sqrt a + 1} \over {\sqrt a - 2}} - {{\sqrt a + 2} \over {\sqrt a - 1}}} \right)\) \( = {{\sqrt a - \left( {\sqrt a - 1} \right)} \over {\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}:{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right) - \left( {\sqrt a + 2} \right)\left( {\sqrt a - 2} \right)} \over {\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\) \( = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}:{{a - 1 - 1 + 4} \over {\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}\) \( = {1 \over {\sqrt a \left( {\sqrt a - 1} \right)}}.{{\left( {\sqrt a - 2} \right)\left( {\sqrt {a - 1} } \right)} \over 3}\) \( = {{\sqrt a - 2} \over {3\sqrt a }}\) (với \(a > 0,a \ne 4\) và \(a \ne 1\)) b) Ta có: \(a \ge 0\) nên \(\sqrt a > 0\) Khi đó: \(Q = {{\sqrt a - 2} \over {3\sqrt a }}\) dương khi \(\sqrt a - 2 > 0\) Ta có: \(\sqrt a - 2 > 0 \Leftrightarrow \sqrt a > 2 \Leftrightarrow a > 4\) Vậy khi a>4 thì Q>0 Câu 87 trang 19 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Với ba số a, b, c không âm, chứng minh bất đẳng thức: \(a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \) Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm. Gợi ý làm bài Vì a, b và c không âm nên và $\sqrt c $ tồn tại. Ta có: \({\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)^2} \ge 0\) suy ra: \(\eqalign{ & a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr & \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,(1) \cr} \) \({\left( {\sqrt b - \sqrt c } \right)^2} \ge 0\) suy ra: \(\eqalign{ & b + c - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr & \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,(2) \cr} \) \({\left( {\sqrt c - \sqrt a } \right)^2} \ge 0\) suy ra: \(\eqalign{ & c + a - 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr & \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,(3) \cr} \) Cộng từng vế các đẳng thức (1), (2) và (3), ta có: \({{a + b} \over 2} + {{b + c} \over 2} + {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \) \( \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \) - Với bốn số a, b, c, d không âm, ta có: \(a + b + c + d \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {da} \) - Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có: \(a + b + c + d + e \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {de} + \sqrt {ea} \)
