Câu 96 trang 21 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Nếu x thỏa mãn điều kiện: \(\sqrt {3 + \sqrt x } = 3\) Thì x nhận giá trị là (A) 0 ; (B) 6 ; (C) 9 ; (D) 36 . Hãy chon câu trả lời đúng. Gợi ý làm bài Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt {3 + \sqrt x } = 3 \Leftrightarrow 3 + \sqrt x = 9 \cr & \Leftrightarrow \sqrt x = 6 \Leftrightarrow x = 36 \cr} \) Vậy chọn đáp án D. Câu 97 trang 21 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Biểu thức \(\sqrt {{{3 - \sqrt 5 } \over {3 + \sqrt 5 }}} + \sqrt {{{3 + \sqrt 5 } \over {3 - \sqrt 5 }}} \) Có giá trị là (A) 3 ; (B) 6 ; (C) \(\sqrt 5 \); (D) \( - \sqrt 5 \). Hãy chọn câu trả lời đúng. Gợi ý làm bài Chọn đáp án A. Câu 98 trang 21 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Chứng minh các đẳng thức: a) \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt 6 \) b) \(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}} - \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}} = 8.\) Gợi ý làm bài a) Ta có: \(4 > 3 \Rightarrow \sqrt 4 > \sqrt 3 \Rightarrow 2 > \sqrt 3 > 0\) Suy ra: \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } > 0\) Ta có: \({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^2} = 2 + \sqrt 3 + 2\sqrt {2 + \sqrt 3 } .\sqrt {2 - \sqrt 3 } + 2 - \sqrt 3 \) \( = 4 + 2\sqrt {4 - 3} = 4 + 2\sqrt 1 = 4 + 2 = 6\) \({\left( {\sqrt 6 } \right)^2} = 6\) Vì \({\left( {\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } } \right)^2} = {\left( {\sqrt 6 } \right)^2}\) nên \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + \sqrt {2 - \sqrt 3 } = \sqrt 6 \) b) Ta có: \(\sqrt {{4 \over {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}}}} - \sqrt {{4 \over {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}}}} = {{\sqrt 4 } \over {\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 5 } \right)}^2}} }} - {{\sqrt 4 } \over {\sqrt {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^2}} }}\) \( = {2 \over {\left| {2 - \sqrt 5 } \right|}} - {2 \over {\left| {2 + \sqrt 5 } \right|}} = {2 \over {\sqrt 5 - 2}} - {2 \over {\sqrt 5 + 2}}\) \( = {{2\left( {\sqrt 5 + 2} \right) - 2\left( {\sqrt 5 - 2} \right)} \over {\left( {\sqrt 5 + 2} \right)\left( {\sqrt 5 - 2} \right)}} = {{2\sqrt 5 + 4 - 2\sqrt {5 + 4} } \over {5 - 4}} = 8\) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. Câu 99 trang 21 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho: \(A = {{\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} } \over {4x - 2}}.\) Chứng minh: \(\left| A \right| = 0,5\) với \(x \ne 0,5.\) Gợi ý làm bài Ta có: \(A = {{\sqrt {4{x^2} - 4x + 1} } \over {4x - 2}} = {{\sqrt {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}} } \over {4x - 2}} = {{\left| {2x - 1} \right|} \over {2\left( {2x - 1} \right)}}\) - Nếu : \(\eqalign{ & 2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow 2x \ge 1 \cr & \Leftrightarrow x \ge {1 \over 2} \Leftrightarrow x \ge 0,5 \cr} \) Suy ra: \(\left| {2x - 1} \right| = 2x - 1\) Ta có: \(A = {{\left| {2x - 1} \right|} \over {2\left( {2x - 1} \right)}} = {{2x - 1} \over {2\left( {2x - 1} \right)}} = {1 \over 2} = 0,5\) - Nếu: \(\eqalign{ & 2x - 1 < 0 \Leftrightarrow 2x < 1 \cr & \Leftrightarrow x < {1 \over 2} \Leftrightarrow x < 0,5 \cr} \) Suy ra: \(\left| {2x - 1} \right| = - (2x - 1)\) Ta có: \(\eqalign{ & A = {{\left| {2x - 1} \right|} \over {2\left( {2x - 1} \right)}} = {{ - \left( {2x - 1} \right)} \over {2\left( {2x - 1} \right)}} = {1 \over 2} = - 0,5 \cr & \Rightarrow \left| A \right| = \left| { - 0,5} \right| = 0,5 \cr} \) Câu 100 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Rút gọn các biểu thức: a) \(\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } ;\) b) \(\sqrt {15 - 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 } ;\) c) \(\left( {15\sqrt {200} - 3\sqrt {450} + 2\sqrt {50} } \right):\sqrt {10} .\) Gợi ý làm bài a) \(\eqalign{ & \sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} + \sqrt {4 - 2\sqrt 3 } \cr & = \left| {2 - \sqrt 3 } \right| + \sqrt {3 - 2\sqrt 3 + 1} \cr} \) \(\eqalign{ & = 2 - \sqrt 3 + \sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} \cr & = 2 - \sqrt 3 + \left| {\sqrt 3 - 1} \right| \cr} \) \( = 2 - \sqrt 3 + \sqrt 3 - 1 = 1\) b) \(\eqalign{ & \sqrt {15 - 6\sqrt 6 } + \sqrt {33 - 12\sqrt 6 } \cr & = \sqrt {9 - 2.3\sqrt 6 + 6} + \sqrt {9 - 2.3.2\sqrt 6 + 24} \cr} \) \(\eqalign{ & = \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 6 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {3 - \sqrt 6 } \right)}^2}} \cr & = \left| {3 - \sqrt 6 } \right| + \left| {3 - 2\sqrt 6 } \right| \cr} \) \( = 3 - \sqrt 6 + 2\sqrt 6 - 3 = \sqrt 6 \) c) \(\eqalign{ & \left( {15\sqrt {200} - 3\sqrt {450} + 2\sqrt {50} } \right):\sqrt {10} \cr & = 15\sqrt {{{200} \over {10}}} - 3\sqrt {{{450} \over {10}}} + 2\sqrt {{{50} \over {10}}} \cr} \) \(\eqalign{ & = 15\sqrt {20} - 3\sqrt {45} + 2\sqrt 5 \cr & = 15\sqrt {4.5} - 3\sqrt {9.5} + 2\sqrt 5 \cr} \) \(\eqalign{ & = 15.2\sqrt 5 - 3.3\sqrt 5 + 2\sqrt 5 \cr & = 30\sqrt 5 - 9\sqrt 5 + 2\sqrt 5 = 23\sqrt 5 \cr} \) Câu 101 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Chứng minh: \(x - 4\sqrt {x - 4} = {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2};\) b) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức: \(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } .\) Gợi ý làm bài a) Ta có: \(x - 4\sqrt {x - 4} = \left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4} + 4\) \( = {\left( {\sqrt {x - 4} } \right)^2} - 2.2\sqrt {x - 4} + {2^2} = {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2}\) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. b) A xác định khi: \(x - 4 \ge 0\) và \(x - 4\sqrt {x - 4} \ge 0\) \(x - 4 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 4\) \(\eqalign{ & x - 4\sqrt {x - 4} = \left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4} + 4 \cr & = {\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)^2} \ge 0 \cr} \) Ta có: \(A = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } \) \( = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)}^2}} \) \( = \left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\) \( = \sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\) - Nếu \(\eqalign{ & \sqrt {x - 4} - 2 \ge 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} \ge 2 \cr & \Leftrightarrow x - 4 \ge 4 \Leftrightarrow x \ge 8 \cr} \) thì: \(\left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right| = \sqrt {x - 4} - 2\) Ta có: \(A = \sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2 = 2\sqrt {x - 4} \) - Nếu: \(\eqalign{ & \sqrt {x - 4} - 2 < 0 \Leftrightarrow \sqrt {x - 4} < 2 \cr & \Leftrightarrow x - 4 < 4 \Leftrightarrow x < 8 \cr} \) thì \(\left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right| = 2 - \sqrt {x - 4} \) Ta có: \(A = \sqrt {x - 4} + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} = 4\) Câu 102 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau: \(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \); \(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} .\) a) Chứng minh rằng \(A \ge 1\) và \(B \ge \sqrt 5 \); b) Tìm x, biết: \(\sqrt x = \sqrt {x + 1} = 1\); \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} = 2\) Gợi ý làm bài \(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \) xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ \matrix{ x \ge 0 \hfill \cr x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge 0 \hfill \cr x \ge 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \,x \ge 0\) \(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} \) xác định khi và chỉ khi: \(\left\{ \matrix{ x + 4 \ge 0 \hfill \cr x - 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ge - 4 \hfill \cr x \ge 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \sqrt {x + 1} \ge 1\) a) Với \(x \ge 0\) ta có: \(x + 1 \ge 1 \Rightarrow \sqrt {x + 1} \ge 1\) Suy ra: \(A = \sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1\) Với \(x \ge 1\) ta có: \(x + 4 \ge 1 + 4 \Leftrightarrow x + 4 \ge 5 \Leftrightarrow \sqrt {x + 4} \ge \sqrt 5 \) Suy ra: \(B = \sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} \ge 5\) b.*\(\sqrt x + \sqrt {x + 1} = 1\) Điều kiện : \(x \ge 0\) Ta có: \(\sqrt x + \sqrt {x + 1} \ge 1\) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: \(\sqrt x = 0\) và \(\sqrt {x + 1} = 1\) Suy ra: x = 0 * \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} = 2\) Ta có: \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} \ge \sqrt 5 \) Mà: \(\sqrt 5 > \sqrt 4 \Leftrightarrow \sqrt 5 > 2\) Vậy không có giá trị nào của x để \(\sqrt {x + 4} + \sqrt {x - 1} = 2\) . Câu 103 trang 22 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Chứng minh \(x - \sqrt x + 1 = {\left( {\sqrt x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\) với x > 0 Từ đó, cho biết biểu thức \({1 \over {x - \sqrt x + 1}}\) có giá trị lớn nhất là bao nhiêu ? Giá trị đó đạt được khi x bằng bao nhiêu ? Gợi ý làm bài: Ta có: \({\left( {\sqrt x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} = x - \sqrt x + {1 \over 4} + {3 \over 4} = x - \sqrt x + 1\) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. Ta có: \({1 \over {x - \sqrt x + 1}} = {1 \over {{{\left( {\sqrt x - {1 \over 2}} \right)}^2} + {3 \over 4}}}\) có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi \({\left( {\sqrt x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4}\) bé nhất. Vì \({\left( {\sqrt x - {1 \over 2}} \right)^2} \ge 0\) nên \({\left( {\sqrt x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\) Ta có \({\left( {\sqrt x - {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge {3 \over 4}\) bé nhất bằng \({3 \over 4}\) Khi đó: \({1 \over {x - \sqrt x + 1}} = {1 \over {{3 \over 4}}} = {4 \over 3} \Rightarrow \sqrt x - {1 \over 2} = 0 \Rightarrow x = {1 \over 4}\) Vậy \({1 \over {x - \sqrt x + 1}}\) có giá trị lớn nhất bằng \({4 \over 3}\) khi \(x = {1 \over 4}\). Câu 104 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm số x nguyên để biểu thức \({{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 3}}\) nhận giá trị nguyên. Gợi ý làm bài: Ta có: \(\eqalign{ & {{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 3}} = {{\sqrt x - 3 + 4} \over {\sqrt x - 3}} \cr & = 1 + {4 \over {\sqrt x - 3}} \cr}\) Để \(1 + {4 \over {\sqrt x - 3}}\) nhận giá trị nguyên thì \({4 \over {\sqrt x - 3}}\) phải có giá trị nguyên. Vì x nguyên nên \(\sqrt x \) là số nguyên hoặc số vô tỉ. *Nếu \(\sqrt x \) là số vô tỉ thì \(\sqrt x - 3\) là số vô tỉ nên \({4 \over {\sqrt x - 3}}\) không có giá trị nguyên. Trường hợp này không có giá trị nào của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. *Nếu \(\sqrt x \) là số nguyên thì \(\sqrt x - 3\) là số nguyên. Vậy để \({4 \over {\sqrt x - 3}}\) nguyên thì \(\sqrt x - 3\) phải là ước của 4. Đồng thời \(x \ge 0\) suy ra: \(\sqrt x \ge 0\) Ta có: Ư(4) = \({\rm{\{ }} - 4; - 2; - 1;1;2;4{\rm{\} }}\) Suy ra: \(\sqrt x - 3 = - 4 \Rightarrow \sqrt x = - 1\) (loại) \(\eqalign{ & \sqrt x - 3 = - 2 \Rightarrow \sqrt x = 1 \Rightarrow x = 1 \cr & \sqrt x - 3 = - 1 \Rightarrow \sqrt x = 2 \Rightarrow x = 4 \cr & \sqrt x - 3 = - 1 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16 \cr & \sqrt x - 3 = 1 \Rightarrow \sqrt x = 4 \Rightarrow x = 16 \cr & \sqrt x - 3 = 2 \Rightarrow \sqrt x = 5 \Rightarrow x = 25 \cr & \sqrt x - 3 = 4 \Rightarrow \sqrt x = 7 \Rightarrow x = 49 \cr} \) Vậy với \(x \in {\rm{\{ }}1;4;16;25;49\} \) thì biểu thức \({{\sqrt x + 1} \over {\sqrt x - 3}}\) nhận giá trị nguyên Câu 105 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Chứng minh các đẳng thức (với a, b không âm và a ≠b ) a) \({{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a - 2\sqrt b }} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} - {{2b} \over {b - a}} = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }}\); b) \(\left( {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a - b}}} \right)^2} = 1.\) Gợi ý làm bài: a) Ta có: \(\eqalign{ & {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\sqrt a - 2\sqrt b }} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\sqrt a + 2\sqrt b }} - {{2b} \over {b - a}} \cr & = {{\sqrt a + \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}} - {{\sqrt a - \sqrt b } \over {2\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} - {{2b} \over {b - a}} \cr & = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} + {{2b} \over {\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr & = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - {{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr & = {{a + 2\sqrt {ab} + b - a + 2\sqrt {ab} - b + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr & = {{4\sqrt {ab} + 4b} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr & = {{4\sqrt b \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)} \over {2\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}} \cr & = {{2\sqrt b } \over {\sqrt a - \sqrt b }} \cr} \) (với a, b không âm và a ≠b ) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. b. Ta có: \(\eqalign{ & \left( {{{a\sqrt a + b\sqrt b } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left( {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {a - b}}} \right)^2} \cr & = \left( {{{\sqrt {{a^3}} + \sqrt {{b^3}} } \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right){\left[ {{{\sqrt a + \sqrt b } \over {\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}}} \right]^2} \cr & = \left[ {{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\left( {\sqrt {{a^2}} - \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \right)} \over {\sqrt a + \sqrt b }} - \sqrt {ab} } \right]{\left( {{1 \over {\sqrt a - \sqrt b }}} \right)^2} \cr & = \left( {\sqrt {{a^2}} - \sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} - \sqrt {ab} } \right){1 \over {{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} \cr & = {{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}}} = 1 \cr} \) (với a, b không âm và a ≠b ) Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh. Câu 106 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho biểu thức \(A = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }}.\) a) Tìm điều kiện để A có nghĩa. b) Khi A có nghĩa , chứng tỏ giá trị của A không phụ thuộc vào a. Gợi ý làm bài: a) Biểu thức A có nghĩa khi và chỉ khi : \(\left\{ \matrix{ a \ge 0 \hfill \cr b \ge 0 \hfill \cr \sqrt a - \sqrt b \ne 0 \hfill \cr \sqrt {ab} \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \ge 0 \hfill \cr b \ge 0 \hfill \cr a \ne b \hfill \cr ab \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ a \ge 0 \hfill \cr b \ge 0 \hfill \cr a \ne b \hfill \cr} \right.\) Vậy \(a \ge 0,b \ge 0\) và \(a \ne b\) thì A có nghĩa. b) Ta có : \(\eqalign{ & A = {{{{\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}^2} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{a\sqrt b + b\sqrt a } \over {\sqrt {ab} }} \cr & = {{\sqrt {{a^2}} + 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} - 4\sqrt {ab} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{\sqrt {{a^2}b} + \sqrt {a{b^2}} } \over {\sqrt {ab} }} \cr & = {{\sqrt {{a^2}} - 2\sqrt {ab} + \sqrt {{b^2}} } \over {\sqrt a - \sqrt b }} - {{\sqrt {ab} (\sqrt a + \sqrt b )} \over {\sqrt {ab} }} \cr & = {{{{\left( {\sqrt a - \sqrt b } \right)}^2}} \over {\sqrt a - \sqrt b }} - \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) \cr & = \sqrt a - \sqrt b - \sqrt a - \sqrt b = - 2\sqrt b \cr}\) Vậy giá trị của A không phu thuộc vào a. Câu 107 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho biểu thức \(B = \left( {{{2x + 1} \over {\sqrt {{x^3}} - 1}} - {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right)\) với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) . a) Rút gọn B ; b) Tìm x để B = 3. Gợi ý làm bài: a) Ta có: \(\eqalign{ & B = \left( {{{2x + 1} \over {{{\sqrt x }^3} - 1}} - {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right)\left( {{{1 + \sqrt {{x^3}} } \over {1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right) \cr & = \left[ {{{2x + 1} \over {\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} - {{\sqrt x } \over {x + \sqrt x + 1}}} \right]\left[ {{{\left( {1 + \sqrt x } \right)\left( {1 - \sqrt x + \sqrt {{x^2}} } \right)} \over {1 + \sqrt x }} - \sqrt x } \right] \cr & = {{2x + 1 - \sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)} \over {\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\left( {1 - \sqrt x + \sqrt {{x^2}} - \sqrt x } \right) \cr & = {{2x + 1 - x + \sqrt x } \over {\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.{\left( {\sqrt x - 1} \right)^2} \cr & = {{\left( {x + \sqrt x + 1} \right){{\left( {\sqrt x - 1} \right)}^2}} \over {\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} \cr} \) \( = \sqrt x - 1\) (với \(x \ge 0\) và \(x \ne 1\) b) Với B = 3 ta có: \(\sqrt x - 1 = 3 \Leftrightarrow \sqrt x = 4 \Leftrightarrow x = 16\) Câu 108 trang 23 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho biểu thức: \(C = \left( {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 - x}}} \right):\left( {{{3\sqrt x + 1} \over {x - 3\sqrt x }} - {1 \over {\sqrt x }}} \right)\) với \(x > 0\) và \(x \ne 9\) a) Rút gọn C b) Tìm x sao cho C < -1. Gợi ý làm bài: a) Ta có: \(\eqalign{ & C = \left( {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {9 - x}}} \right):\left( {{{3\sqrt x + 1} \over {x - 3\sqrt x }} - {1 \over {\sqrt x }}} \right) \cr & = \left[ {{{\sqrt x } \over {3 + \sqrt x }} + {{x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}} \right]:\left[ {{{3\sqrt x + 1} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} - {1 \over {\sqrt x }}} \right] \cr & = {{\sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right) + x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}:{{3\sqrt x + 1 - \left( {\sqrt x - 3} \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cr & = {{3\sqrt x - x + x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}:{{2\sqrt x + 4} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cr & = {{3\sqrt x + 9} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}.{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 3} \right)} \over {2\sqrt x + 4}} \cr & = {{3\left( {\sqrt x + 3} \right)} \over {\left( {3 + \sqrt x } \right)\left( {3 - \sqrt x } \right)}}.{{ - \sqrt x \left( {3 - \sqrt x } \right)} \over {2\sqrt x + 4}} \cr} \) \(= {{ - 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}}\) (với \(x > 0\) và \(x \ne 9\) b) Với \(C < - 1\) ta có: \({{ - 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} < - 1 \Leftrightarrow {{ - 3\sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} + 1 < 0\) \(\Leftrightarrow {{ - 3\sqrt x + 2\sqrt x + 4} \over {2\sqrt x + 4}} < 0 \Leftrightarrow {{4 - \sqrt x } \over {2\sqrt x + 4}} < 0\) Vì \(x > 0\) nên \(\sqrt x > 0\) Khi đó: \(2\sqrt x + 4 > 0\) Suy ra: \(4 - \sqrt x < 0 \Leftrightarrow \sqrt x > 4 \Leftrightarrow x > 16\) Vậy với \(x > 16\) thì C < -1.
