Câu 25 trang 67 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Tìm hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;1) ; b) Tìm hệ số của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1;-2) ; c) Vẽ đồ thị của các hàm số với hệ số góc tìm được ở các câu a) , b) trên cùng một mặt phẳng tọa độ và chừng tỏ rằng hai đường thẳng đó vuông góc với nhau. Gợi ý làm bài: Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng y = ax + b. a) Vì đường thẳng y = ax + b đi qua điểm A(2;1) nên tọa độ điểm A nghiệm đúng với phương trình đường thẳng. Ta có : \(1 = a.2 \Leftrightarrow a = {1 \over 2}\) Vậy hệ số góc mà đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm A(2;1) là \(a = {1 \over 2}\). b) Vì đường thẳng y = ax đi qua điểm B(1;-2) nên tọa độ điểm B nghiệm đúng phương trình đường thẳng. Ta có: \9 - 2 = a.1 \Leftrightarrow a = - 2\) Vậy hệ số góc của đường thẳng đi qua gốc tọa độ và đi qua điểm B(1;-2) Là a = -2. c) Với \(a = {1 \over 2}\) ta có hàm số: \(y = {1 \over 2}x\) Với a = -2 ta có hàm số : \(y = - 2x\) *Vẽ đồ thị hàm số \(y = {1 \over 2}x\) Cho x = 0 thì y = 0 . Ta có: O(0;0) Cho x = 2 thì y = 1 . Ta có: A(2;1) Đồ thị hàm số \(y = {1 \over 2}x\) đi qua O và A. *Vẽ đồ thị hàm số y = -2x Cho x = 0 thì y = 0. Ta có : O(0;0) Cho x = 1 thì y = -2 . Ta có : B(1;-2) Đồ thị hàm số y = -2x đi qua điểm O và B. *Gọi A’, B’ lần lượt là hình chiếu của A, B trên Ox, Oy. Ta có hai tam giác AA’O và BB’O có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau. Suy ra : \(\widehat {AOA'} = \widehat {BOB'}\) (1) Vì \({\rm{Ox}} \bot {\rm{Oy}}\) nên \(\widehat {BOA'} + \widehat {BOB'} = {90^0}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra : \(\widehat {BOA'} + \widehat {AOA'} = {90^0}\) Vậy \(OA \bot OB\) hay hai đường thẳng \(y = {1 \over 2}x\) và y = -2x vuông góc với nhau. Câu 26 trang 67 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hai đường thẳng y = ax + b (d) y = a’x + b’ (d’) Chứng minh rằng : Trên cùng một mặt phẳng tọa độ , hai đường thẳng (d) và (d’) vuông góc với nhau khi và chỉ khi a. a’ = 1. Gợi ý làm bài: Qua gốc tọa độ , kẻ đường thẳng y = ax // (d) và y = ax // (d’). *Chứng mình (d) vuông góc với (d’) thì a. a’ = -1 Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0 Khi đó góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = ax là góc nhọn. Suy ra góc tạo bởi tia Ox và đường thẳng y = a’x là góc tù ( vì các góc tạo bởi đường thẳng y = ax và đường thẳng y = a’x với tia Ox hơn kém nhau ). Suy ra: a’ < 0 Mà đường thẳng y = ax đi qua A(1;a), đường thẳng y = a’x đi qua B(1;a’) nên đoạn AB vuông góc với Ox tại điểm H có hoành độ bằng 1. Vì \(\left( {\rm{d}} \right) \bot \left( {{\rm{d'}}} \right)\) nên hai đường thẳng y = ax và y = a’x vuông góc với nhau Suy ra: \(\widehat {AOB} = {90^0}\) Tam giác vuông AOB có \(OH \bot AB\). Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có : \(O{H^2} = HA.HB\) Hay: \(a.\left| {a'} \right| = 1 \Leftrightarrow a.\left( { - a'} \right) = 1 \Leftrightarrow a.a' = - 1\) Vậy nếu (d) vuông góc với (d’) thì a.a’ = -1 *Chứng minh \9a.a' = - 1\) thì (d) vuông góc với (d’) Ta có : \(a.a' = - 1 \Leftrightarrow a.\left| {a'} \right| = 1\) hay \(HA.HB = O{H^2}\) Suy ra: \({{HA} \over {OH}} = {{OH} \over {HB}} \Rightarrow \widehat {OHA} = \widehat {OHB} = {90^0}\) Suy ra: \(\Delta OHA\) đồng dạng \(\Delta BHO \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {OBH}\) Mà \(\widehat {OBH} = \widehat {BOH} = {90^0} \Rightarrow \widehat {AOH} = \widehat {BOH} = {90^0}\) Suy ra \(OA \bot OB\) hay hai đường thẳng y = ax và y = a’x vuông góc với nhau hay \(\left( {\rm{d}} \right) \bot \left( {{\rm{d'}}} \right)\). Câu 27 trang 68 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số sau: y = x (1) y = 0,5x (2) b) Đường thẳng (d) song song với trục Ox và cắt trục tung Oy tại điểm C có tung độ bằng 2, theo thứ tự cắt các đường thẳng (1) và (2) tại D và E. Tìm tọa độ của các điểm D, E . Tính chu vi và diện tích của tam giáo ODE. Gợi ý làm bài: a) * Vẽ đồ thị hàm số y = x Cho x = 0 thì y = 0. Ta có : O(0;0) Cho x = 1 thì y = 1. Ta có: A(1;1) Đồ thị hàm số y = x đi qua O và A. * Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x Cho x = 0 thì y = 0.Ta có : O(0;0) Cho x = 2 thì y = 1. Ta có : B(2;1) Đồ thị hàm số y = 0,5x đi qua O và B . b) Qua điểm C trên trục tung có tung độ bằng 2, kẻ đường thẳng song song với Ox cắt đồ thị hàm số y = x tại D , cắt đồ thị hàm số y = 0,5x tại E. Điểm D có tung độ bằng 2. Thay giá trị y = 2 vào hàm số y = x ta được x = 2 Vậy điểm D(2;2) Điểm E có tung độ bằng 2. Thay giá trị y = 2 vào hàm số y = 0,5x ta được x = 4. Vậy điểm E(4;2) Gọi D’ và E’ lần lượt là hình chiều của D và E trên Ox. Ta có: OD’ = 2, OE’ = 4. Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông ODD’, ta có: \(O{D^2} = OD{'^2} + {\rm{DD}}{'^2} = {2^2} + {2^2} = 8\) Suy ra: \(OD = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \) Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông OEE’, ta có: \(O{E^2} = OE{'^2}{\rm{ + EE}}{{\rm{'}}^2} = {4^2} + {2^2} = 20\) Suy ra: \(OE = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \) Lại có: \(DE = CE - CD = 4 - 2 = 2\) Chu vi tam giác ODE bằng: \(\eqalign{ & OD + DE + EO \cr & = 2\sqrt 2 + 2 + 2\sqrt 2 \cr & = 2\left( {\sqrt 2 + 1 + \sqrt 5 } \right) \cr} \) Diện tích tam giác ODE bằng: \({1 \over 2}DE.OC = {1 \over 2}.2.2 = 2\) Câu 28 trang 68 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Vẽ trên cùng một mắt phẳng tọa độ đồ thị của các hàm số y = -2x ; (1) y = 0,5x ; (2) b) Qua điểm K(0;2) vẽ đường thẳng (d) song song với trục Ox. Đường thẳng (d) cắt các đường thẳng (1) , (2) lần lượt tại A, B. Tìm tọa độ của các điểm A, B. c) Hãy chứng tỏ rằng \9\widehat {AOB} = {90^0}\) (hai đường thẳng y = -2x và y = 0,5x vuông góc với nhau). Gợi ý làm bài: a) * Vẽ đồ thị hàm số y = -2x Cho x = 0 thì y = 0. Ta có: O(0;0) Cho x = 1 thì y = -2. Ta có : M(1;-2) Đồ thị hàm số y = -2x đi qua điểm O và M. * Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5 x Cho x = 0 thì y = 0 . Ta có : O(0;0) Cho x = 2 thì y = 1 . Ta có: N(2;1) Đồ thị hàm số y = 0,5x đi qua O và N. b) Đường thẳng (d) song song với trục Ox và đi qua điểm K(0;2) nên nó là đường thẳng y = 2 Đường thẳng y = 2 cắt đường thẳng (1) tại A nên điểm A có tung độ bằng 2. Thay y = 2 vào phương trình y = -2x ta được x = -1. Vậy điểm A(-1;2) Đường thẳng y = 2 cắt đường thẳng (2) tại B nên điểm B có tung độ bằng 2. Thay y = 2 vào phương trình y = 0,5x ta được x = 4 Vậy điểm B(4;2) c) Xét hai tam giác vuông OAK và BOK , ta có: \(\eqalign{ & \widehat {OKA} = \widehat {OKB} = {90^0} \cr & {{AK} \over {OK}} = {1 \over 2};{{OK} \over {KB}} = {2 \over 4} = {1 \over 2} \cr & \Rightarrow {{AK} \over {OK}} = {{OK} \over {KB}} \cr} \) Suy ra \(\Delta OAK\) đồng dạng với \(\Delta BOK\) Suy ra: \(\widehat {KOA} = \widehat {KOB}\) Mà \(\widehat {KBO} + \widehat {KOB} = {90^0}\) Suy ra: \(\widehat {KOB} = \widehat {KOB} = {90^0}\) hay \(\widehat {AOB} = {90^0}\). Câu 29 trang 68 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hàm số \(y = mx + \left( {2m + 1} \right)\) (1) Với mỗi giá trị của \(m \in R\) , ta có một đường thẳng xác định bởi (1) . Như vậy, ta có một họ đường thẳng xác định bởi (1). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, họ đường thẳng xác định bởi (1) luôn đi qua một điểm cố định. Hãy xác định tọa độ của điểm đó. Gợi ý làm bài: Chứng minh họ đường thẳng \(y = mx + \left( {2m + 1} \right)\) (1) luôn đi qua một điểm cố định nào đó. Giả sử điểm \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm mà họ đường thẳng (1) đi qua với mọi m. Khi đó tọa độ điểm A nghiệm đúng phương trình hàm số (1). Với mọi m , ta có: \({y_0} = m{x_0} + \left( {2m + 1} \right) \Leftrightarrow \left( {{x_0} + 2} \right)m + \left( {1 - y} \right) = 0\) Vì phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của m nên tất cả các hệ số phải bằng 0. Suy ra: \(\eqalign{ & {x_0} + 2 = 0 \Leftrightarrow {x_0} = - 2 \cr & 1 - {y_0} = 0 \Leftrightarrow {y_0} = 1 \cr} \) Vậy A(-2;1) là điểm cố định mà họ đường thẳng \(y = mx + \left( {2m + 1} \right)\) luôn đi qua với mọi giá trị m.
