Câu 30 trang 69 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Với những giá trị nào của m thì hàm số \(y = \left( {m + 6} \right)x - 7\) đồng biến ? b) Với những giá trị nào của k thì hàm số y = (-k + 9)x + 100 nghịch biến ? Gợi ý làm bài: a) Hàm số \(y = \left( {m + 6} \right)x - 7\) đồng biến khi hệ số a > 0 Ta có: \(m + 6 > 0 \Leftrightarrow m > - 6\) Vậy với m > -6 thì hàm số \(y = \left( {m + 6} \right)x - 7\) đồng biến. b) Hàm số y = (- k + 9)x – 7 nghịch biến khi hệ số a < 0 Ta có : -k + 9 < 0 ⇔ k > 9 Vậy với k > 9 thì hàm số y = (-k + 9)x -7 nghịch biến. Câu 31 trang 69 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Với những giá trị nào của m thì đồ thị của các hàm số \(y = 12x + \left( {5 - m} \right)\) và \(y = 3x + \left( {3 + m} \right)\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung ? Gợi ý làm bài: Hai đường thẳng \(y = 12x + \left( {5 - m} \right)\) và \(y = 3x + \left( {3 + x} \right)\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nghĩa là chúng có cùng tung độ gốc. Suy ra: \(5 - m = 3 + m \Leftrightarrow 2m = 2 \Leftrightarrow m = 1\) Vậy với m = 1 thì đồ thị của các hàm số \(y = 12x + \left( {5 - m} \right)\) và \(y = 3x + \left( {3 + m} \right)\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. Câu 32 trang 70 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tìm giá trị của a để hai đường thẳng \(y = \left( {a - 1} \right)x + 2\) và \(y = \left( {3 - a} \right)x + 1\) song song với nhau. Gợi ý làm bài: Hai đường thẳng \(y = \left( {a - 1} \right)x + 2\) và \(y = \left( {3 - a} \right)x + 1\) có tung độ gốc khác nhau do vậy chúng song song với nhau khi và chỉ khi chúng có hệ số a bằng nhau. Ta có: \(a - 1 = 3 - a \Leftrightarrow 2a - 4 \Leftrightarrow a = 2\) Vậy với a = 2 thì hai đường thẳng \(y = \left( {a - 1} \right)x + 2\) và \(y = \left( {3 - a} \right)x + 1\) song song với nhau. Câu 33 trang 70 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Với điều kiện nào của k và m thì hai đường thẳng sau sẽ trùng nhau ? y = kx + (m – 2) ; y = (5 – k )x + (4 – m ). Gợi ý làm bài: Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi k = 5 – k và m – 2 = 4 – m. Ta có: k = 5 – k ⇔ 2k = 5 ⇔ k = 2,5 m – 2 = 4 – m ⇔ 2m = 6 ⇔ m = 3 Vậy với k = 2,5 và m = 3 thì hai đường thẳng y = kx +(m – 2 ) và y = (5 – k )x + (4 – m) trùng nhau. Câu 34 trang 70 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường thẳng \(y = \left( {1 - 4m} \right)x + m - 2\) (d) a) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) đi qua gốc tọa độ? b) Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn? Góc tù? c) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng \({3 \over 2}\). d) Tìm giá trị của m để đường thẳng (d) cắt trục tung tại một điểm có hoành độ bằng \({1 \over 2}\). Gợi ý làm bài: a) Đồ thị hàm số bậc nhất \(y = \left( {1 - 4m} \right)x + m - 2\) đi qua gốc tọa độ khi \(1 - 4m \ne 0\) và m – 2 = 0 Ta có: \(\eqalign{ & 1 - 4m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne {1 \over 4} \cr & m - 2 = 0 \Leftrightarrow m = 2 \cr} \) Vậy với m = 2 thì (d) đi qua gốc tọa độ. b) Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn khi hệ số góc của đường thẳng là số dương. Ta có: \(1 - 4m > 0 \Leftrightarrow m < {1 \over 4}\) Đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù khi hệ số góc của đường thẳng là số âm. Ta có: \(1 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > {1 \over 4}\) Vậy với \(m < {1 \over 4}\) thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc nhọn, với \(m > {1 \over 4}\) thì đường thẳng (d) tạo với trục Ox một góc tù. c) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng khi \({3 \over 2}\): \(m - 2 = {3 \over 2} \Leftrightarrow m = {3 \over 2} + 2 \Leftrightarrow m = {7 \over 2}\) Vậy với \(m = {7 \over 2}\) thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \({3 \over 2}\) d) Đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \({1 \over 2}\) nên ta có: \(\eqalign{ & 0 = \left( {1 - 4m} \right).{1 \over 2} + m - 2 \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2} - 2m + m - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow m = - {3 \over 2} \cr} \) Vậy với \(m = - {3 \over 2}\) thì đường thẳng (d) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \({1 \over 2}\). Câu 35 trang 70 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\,\,\,\,\,\left( {m \ne 2} \right)\) (d) Tìm các giá trị của m và n trong mỗi trường hợp sau : a) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm A(-1;2), B(3;-4) ; b) Đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1 - \sqrt 2 \) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng \(2 + \sqrt 2 \); c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng \(y = {1 \over 2}x - {3 \over 2}\); d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng \(y = - {3 \over 2}x + {1 \over 2}\); e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng \(y = 2x - 3\). Gợi ý làm bài: a) Đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\,\,\,\,\,\left( {m \ne 2} \right)\) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3; -4) nên tọa độ của A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng. Điểm A: \(\eqalign{ & 2 = \left( {m - 2} \right).\left( { - 1} \right) + n \cr & \Leftrightarrow 2 = - m + 2 + n \cr & \Leftrightarrow m = n \cr} \) (1) Điểm B: \(\eqalign{ & - 4 = \left( {m - 2} \right).3 + n \cr & \Leftrightarrow 3m + n = 2 \cr} \) (2) Thay (1) vào (2) ta có: \(\eqalign{ & 3m + m = 2 \cr & \Leftrightarrow 4m = 2 \cr & \Leftrightarrow m = {1 \over 2} \cr} \) Vậy với \(m = n = {1 \over 2}\) thì đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\,\,\,\,\,\left( {m \ne 2} \right)\) đi qua hai điểm A(-1;2) và B(3;-4). b) Đường thẳng y = (m – 2)x + n cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1 - \sqrt 2 \) nên ta có: \(n = 1 - \sqrt 2 \). Đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\) cắt trục tung tại điểm có hoành độ bằng \(2 + \sqrt 2 \) nên ta có tung độ của giao điểm bằng 0. Ta có: \(\eqalign{ & 0 = \left( {m - 2} \right)\left( {2 + \sqrt 2 } \right) + 1 - \sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 2 } \right)m - 4 - 2\sqrt 2 + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2 + \sqrt 2 } \right)m = 3 + 3\sqrt 2 \cr & \Leftrightarrow m = {{3 + 3\sqrt 2 } \over {2 + \sqrt 2 }} = {{3\left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \over {\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 2 } \right)}} \cr & = {3 \over {\sqrt 2 }} = {{3\sqrt 2 } \over 2} \cr} \) Vậy với \(n = 1 - \sqrt 2 \) và \(m = {{3\sqrt 2 } \over 2}\) thì đường thẳng (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng \(1 - \sqrt 2 \) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ \(2 + \sqrt 2 \). c) Đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\) cắt đường thẳng \(y = {1 \over 2}x - {3 \over 2}\) khi và chỉ khi \(m - 2 \ne {1 \over 2} \Leftrightarrow m \ne {1 \over 2} + 2 \Leftrightarrow m \ne {5 \over 2}\). Vậy với \(m \ne {5 \over 2}\) thì đường thẳng (d) cắt đường thẳng \(y = {1 \over 2}x - {3 \over 2}\). d) Đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\) song song với đường thẳng \(y = - {3 \over 2}x + {1 \over 2}\) khi và chỉ khi \(m - 2 = - {3 \over 2}\) và \(n \ne {1 \over 2}\) . Ta có: \(m - 2 = - {3 \over 2} \Leftrightarrow m = - {3 \over 2} + 2 \Leftrightarrow m = {1 \over 2}\) Vậy với \(m = {1 \over 2}\) và \(n \ne {1 \over 2}\) thì đường thẳng (d) song song với đường thẳng \(y = - {3 \over 2}x + {1 \over 2}.\) e) Đường thẳng \(y = \left( {m - 2} \right)x + n\) trùng với đường thẳng y = 2x – a khi và chỉ khi \(m - 2 = 2\) và n = -3 . Ta có: \(m - 2 = 2 \Leftrightarrow m = 4\) Vậy với m = 4 và n = -3 thì đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y = 2x – 3. Câu 36 trang 70 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ: \(y = 3x + 6\); (1) \(y = x + 2\); (2) \(y = 2x + 4\); (3) \(y = {1 \over 2}x + 1\). (4) b) Gọi giao điểm của các đường thẳng (1), (2), (3), (4) với trục hoành là A và với trục tung lần lượt là \({B_1},{B_2},{B_3},{B_4}\) , ta có \(\widehat {{B_1}Ax} = {\alpha _1};\widehat {{B_2}Ax} = {\alpha _2}\); \(\widehat {{B_3}Ax} = {\alpha _3};\widehat {{B_4}Ax} = {\alpha _4}\). Tính các góc \({\alpha _1},{\alpha _2},{\alpha _3},{\alpha _4}\). ( Hướng dẫn : Dùng máy tính bỏ túi CASIO fx – 220 hoặc CASIO fx – 500A hoặc CASIO fx – 500MS … tính \(tg{\alpha _1},tg{\alpha _2},tg{\alpha _3},tg{\alpha _4}\) rồi tính ra các góc tương ứng). c) Có nhận xét gì về độ dốc của các đường thẳng (1), (2) , (3) , (4) ? Gợi ý làm bài: a) * Vẽ đồ thị của hàm số y = 3x + 6 Cho x = 0 thì y = 6. Ta có: \({B_1}\left( {0;6} \right)\) Cho y = 0 thì \(3x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\). Ta có : A(-2 ; 0) Đồ thị của hàm số y = 3x + 6 là đường thẳng \(A{B_1}\) * Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x + 4 Cho x = 0 thì y = 4 . Ta có: \({B_2}\left( {0;4} \right)\) Cho y = 0 thì \(2x + 4 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\). Ta có : A(-2; 0) Đồ thị của hàm số y = 2x + 4 là đường thẳng \(A{B_2}\) . * Vẽ đồ thị của hàm số y = x + 2 Cho x = 0 thì y = 2. Ta có: \({B_3}(0;2)\) Cho y = 0 thì \(x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\). Ta có: \({\rm{A}}\left( { - 2;0} \right) \) Đồ thị của hàm số y = x + 2 là đường thẳng \(A{B_3}\) * Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {1 \over 2}x + 1\) Cho x = 0 thì y = 1. Ta có: \({B_4}\left( {0;1} \right)\) Cho y = 0 thì \({1 \over 2}x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 2\). Ta có: \({\rm{A}}\left( { - 2;0} \right)\) Đồ thị của hàm số \(y = {1 \over 2}x + 1\) là đường thẳng \(A{B_4}\) b) Ta có: \(tg{\alpha _1} = 3 \Rightarrow \alpha = {71^0}34'\) \(\eqalign{ & tg{\alpha _2} = 2 \Rightarrow {\alpha _2} = {63^0}26' \cr & tg{\alpha _3} = 1 \Rightarrow {\alpha _3} = {45^0} \cr & tg{\alpha _4} = {1 \over 2} \Rightarrow {\alpha _4} = {26^0}34' \cr} \) c) Góc tạo bởi các đường thẳng với trục Ox: \({26^0}34' < {45^0} < {63^0}26' < {74^0}34'\) Độ dốc của các đường thẳng: \(\left( 1 \right) > \left( 2 \right) > \left( 3 \right) > \left( 4 \right)\). Câu 37 trang 71 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Cho các điểm M(-1 ; -2) , N(-2; -4), P(2; -3) , Q(3; -4,5). Tìm tọa độ của các điểm M’, N’, P’, Q’ lần lượt đồi xứng với các điểm M,N,P,Q qua trục Ox. b) Vẽ đồ thị của các hàm số sau trên cùng hệ trục tọa độ: \(\eqalign{ & y = \left| x \right| \cr & y = \left| {x + 1} \right| \cr} \) . c) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị của các hàm số \(y = \left| x \right|\) và \(y = \left| {x + 1} \right|\). Từ đó , suy ra phương trình \(\left| x \right| = \left| {x + 1} \right|\) có một nghiệm duy nhất. Gợi ý làm bài: a) Hình a Tọa độ các điểm M’, N’, P’ , Q’ lần lượt đối xứng với các điểm M , N, P, Q qua trục Ox: \(M'\left( {1 - ;2} \right),N'\left( { - 2;4} \right),P'\left( {2;3} \right),Q'\left( {3;4,5} \right)\) b) Hình b *Ta có: \(y = \left| x \right| = \left\{ \matrix{ x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,Nếu\,\,\,x \ge 0 \hfill \cr - x\,\,\,\,\,\,\,Nếu\,\,\,x \le 0 \hfill \cr} \right.\) Đồ thị hàm số y = x đi qua gốc tọa độ O và điểm (1;1) Đồ thị hàm số y = -x đi qua gốc tọa độ O và điểm (-1;1) * Ta có : \(y = \left| {x + 1} \right| = \left\{ \matrix{ x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,nếu\,\,\,x \ge - 1 \hfill \cr - \left( {x + 1} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,nếu\,\,\,x \le - 1 \hfill \cr} \right.\) - Vẽ đồ thị hàm số y = x + 1 Cho x = 0 thì y = 1. Ta có: (0;1) Cho y = 0 thì x = -1. Ta có: (-1;0) Đồ thị hàm số y = x + 1 đi qua hai điểm (0;1) và (-1;0) - Vẽ đồ thị hàm số y = - (x + 1) Cho x = 0 thì y = - 1. Ta có : (0;-1) Cho y = 0 thì x = -1. Ta có : (-1;0) Đồ thị hàm số y = - (x + 1) đi qua hai điểm (0;-1) và (-1;0) c) Ta có : y = x và y = x + 1 song song vói nhau y = -x và y = -(x + 1) song song vói nhau Suy ra chỉ có đồ thị hàm số y = -x và y = x + 1 cắt nhau Phương trình hoành độ giao điểm: \( - x = x + 1 \Leftrightarrow 2x = - 1 \Leftrightarrow x = - {1 \over 2}\) Suy ra phương trình \(\left| x \right| = \left| {x + 1} \right|\) có một nghiệm duy nhất. Tung độ giao điểm: \(y = - x \Rightarrow y = {1 \over 2}\) Vậy tọa độ giao điểm của đường thẳng \(y = \left| x \right|\) và \(y = \left| {x + 1} \right|\) là : \(I\left( { - {1 \over 2};{1 \over 2}} \right)\) Câu 38 trang 71 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho các hàm số : \(y = 2x - 2\); (d1) \(y = - {4 \over 3}x - 2\); (d2) \(y = {1 \over 3}x + 3\). (d3) a) Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một mặt phẳng tọa độ . b) Gọi giao điểm của đường thẳng (d3) với (d1) và (d2) theo thứ tự là A, B. Tìm tọa độ của A, B c) Tính khoảng cách AB. Gợi ý làm bài: a) *Vẽ đồ thị hàm số y = 2x -2 (d1) Cho x = 0 thì y = - 2 . Ta có : Cho y = 0 thì 2x – 2 = 0 \( \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\). Ta có: (1; 0) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; 2) và (1; 0) *Vẽ đồ thị hàm số \(y = - {4 \over 3}x - 2\) (d2) Cho x = 0 thì y = -2. Ta có: Cho y = 0 thì \( - {4 \over 3}x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 1,5\) . Ta có: \(\left( { - 1,5;0} \right)\) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(\left( {0; - 2} \right)\) và \(\left( { - 1,5;0} \right)\) * Vẽ đồ thị hàm số \(y = {1 \over 3}x + 3\) (d3) Cho x = 0 thì y = 3. Ta có: (0;3) Cho y = 0 thì \({1 \over 3}x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 9\). Ta có: (-9; 0) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm (0; 3) và (-9; 0) b) Phương trình hoành độ giao điểm của (d1) và (d3) : \(\eqalign{ & 2x - 2 = {1 \over 3}x + 3 \cr & \Leftrightarrow 2x - {1 \over 3}x = 3 + 2 \cr & \Leftrightarrow {5 \over 3}x = 5 \Leftrightarrow x = 3 \cr} \) Tung độ giao điểm: \(y = 2.3 - 2 \Leftrightarrow y = 6 - 2 = 4\) Vậy tọa độ điểm A là : A(3; 4) Phương trình hoành độ giao điểm của (d2) và (d3): \(\eqalign{ & - {4 \over 3}x - 2 = {1 \over 3}x + 3 \cr & \Leftrightarrow {1 \over 3}x + {4 \over 3}x = - 2 - 3 \cr & \Leftrightarrow {5 \over 3}x = - 5 \Leftrightarrow x = - 3 \cr} \) Tung độ giao điểm : \(y = {1 \over 3}.\left( { - 3} \right) + 3 \Leftrightarrow y = - 1 + 3 = 2\) Vậy tọa độ điểm B là : A(-3 ; 2) c) Ta có: \(\eqalign{ & A{B^2} = {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} + {\left( {{y_A} - {y_B}} \right)^2} \cr & = {\left( {3 + 3} \right)^2} + {\left( {4 - 2} \right)^2} = 40 \cr & AB = \sqrt {40} = 2\sqrt {10} \cr} \).
