Sách bài tập Toán 9 - Phần Đại số - Chương III - Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế

Câu 16 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp thế:
\(a)\left\{ {\matrix{
{4x + 5y = 3} \cr
{x - 3y = 5} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{7x - 2y = 1} \cr
{3x + y = 6} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} \cr
{0,5x + 2,5y = 5,5} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{\sqrt 5 x - y = \sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \cr
{2\sqrt 3 x + 3\sqrt 5 y = 21} \cr} } \right.\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4x + 5y = 3} \cr
{x - 3y = 5} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3y + 5} \cr
{4\left( {3y + 5} \right) + 5y = 3} \cr} } \right.} \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3y + 5} \cr
{17y = - 17} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3y + 5} \cr
{y = - 1} \cr} } \right.} \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = (2; -1)
b)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{7x - 2y = 1} \cr
{3x + y = 6} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 3x + 6} \cr
{7x - 2\left( { - 3x + 6} \right) = 1} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 3x + 6} \cr
{13x = 13} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = - 3x + 6} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = (1; 3)
c)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} \cr
{0,5x + 2,5y = 5,5} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{1,3x + 4,2y = 12} \cr
{x + 5y = 11} \cr
} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 11 - 5y} \cr
{1,3\left( {11 - 5y} \right) + 4,2y = 12} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 11 - 5y} \cr
{ - 23y = - 23} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 11 - 5y} \cr
{y = 1} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 6} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = (6; 1)
d)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\sqrt 5 x - y = \sqrt 5 \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \cr
{2\sqrt 3 x + 3\sqrt 5 y = 21} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)} \cr
{2\sqrt 3 x + 15\left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right) = 21} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)} \cr
{\left( {2\sqrt 3 + 15} \right)x = 3\left( {2 + 5\sqrt 3 } \right)} \cr} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)} \cr
{x = {{6 + 15\sqrt 3 } \over {2\sqrt 3 + 15}}} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)} \cr
{x = {{\left( {6 + 15\sqrt 3 } \right)\left( {15 - 2\sqrt 3 } \right)} \over {225 - 12}}} \cr
} \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)} \cr
{x = {{90 - 12\sqrt 3 + 225\sqrt 3 - 90} \over {213}}} \cr} } \right.} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)} \cr
{x = {{213\sqrt 3 } \over {213}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 \left( {x + 1 - \sqrt 3 } \right)} \cr
{x = \sqrt 3 } \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = \sqrt 5 } \cr
{x = \sqrt 3 } \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = \(\left( {\sqrt 3 ;\sqrt 5 } \right)\)

Câu 17 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{1,7x - 2y = 3,8} \cr
{2,1x + 5y = 0,4} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)x + y = 3 - \sqrt 5 } \cr
{ - x + 2y = 6 - 2\sqrt 5 } \cr} } \right.\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{1,7x - 2y = 2,8} \cr
{2,1x + 5y = 0,4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{17x - 20y = 28} \cr
{21x + 50y = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{17x - 28} \over {20}}} \cr
{21x + 50.{{17x - 28} \over {20}} = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{17x - 28} \over {20}}} \cr
{42x + 85x - 140 = 8} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{17x - 28} \over {20}}} \cr
{127x = 148} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{17x - 28} \over {20}}} \cr
{x = {{148} \over {127}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {{52} \over {127}}} \cr
{x = {{148} \over {127}}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = \(\left( {{{148} \over {127}}; - {{52} \over {127}}} \right)\)
b)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {\sqrt 5 x + 2} \right)x + y = 3 - \sqrt 5 } \cr
{ - x + 2y = 6 - 2\sqrt 5 } \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 3 - \sqrt 5 - \left( {\sqrt 5 - 2} \right)x} \cr
{ - x + 2\left[ {3 - \sqrt 5 - \left( {\sqrt 5 - 2} \right)x} \right] = 6 - 2\sqrt 5 } \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 3 - \sqrt 5 - \left( {\sqrt 5 + 2} \right)x} \cr
{ - x + 6 - 2\sqrt 5 - \left( {2\sqrt 5 + 4} \right)x = 6 - 2\sqrt 5 } \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 3 - \sqrt 5 - \left( {\sqrt 5 + 2} \right)x} \cr
{ - x\left( {2\sqrt 5 + 5} \right) = 0} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 3 - \sqrt 5 - \left( {\sqrt 5 + 2} \right)x} \cr
{x = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 3 - \sqrt 5 } \cr
{x = 0} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất: (x; y) = \(\left( {0;3 - \sqrt 5 } \right)\).

Câu 18 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Tìm giá trị của a và b:
a) Để hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{3ax - \left( {b + 1} \right)y = 93} \cr
{bx + 4ay = - 3} \cr} } \right.\)
có nghiệm là (x; y) = (1; -5);
b) Để hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{\left( {a - 2} \right)x + 5by = 25} \cr
{2ax - \left( {b - 2} \right)y = 5} \cr} } \right.\)
có nghiệm là (x; y) = (3; -1)
Giải
a) Cặp (x; y) = (1; -5) là nghiệm của hệ phương trình đã cho.
Thay x = 1; y = -5 vào hệ phương trình ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3a + 5b = 88} \cr
{b - 20a = - 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a - 3} \cr
{3a + 5\left( {20a - 3} \right) = 88} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a - 3} \cr
{3a + 100a - 15 = 88} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a - 3} \cr
{103a = 103} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 20a - 3} \cr
{a = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 17} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hằng số a = 1 và hằng số b = 17.
b) Cặp (x; y) = (3; -1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho:
Thay x = 3; y = -1 vào hệ phương trình ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3a - 5b = 31} \cr
{6a + b = 7} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 7 - 6a} \cr
{3a - 5\left( {7 - 6a} \right) = 31} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 7 - 6a} \cr
{33a = 66} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 7 - 6a} \cr
{a = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - 5} \cr
{a = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hằng số a = 2 và hằng số b = -5.

Câu 19 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Tìm giá trị của a và b để hai đường thằng (d1): \(\left( {3a - 1} \right)x + 2by = 56\) và (d2): \({1 \over 2}ax - \left( {3b + 2} \right)y = 3\) cắt nhau tại điểm M(2; -5).
Giải
Hai đường thẳng (d1): \(\left( {3a - 1} \right)x + 2by = 56\) và (d2): \({1 \over 2}ax - \left( {3b + 2} \right)y = 3\) cắt nhau tại điểm M(2; -5) nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{\left( {3a - 1} \right)x + 2by = 56} \cr
{{1 \over 2}ax - \left( {3b + 2} \right)y = 3} \cr} } \right.\)
Thay x = 2 và y = -5 vào hệ phương trình ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {3a - 1} \right)2 + 2b\left( { - 5} \right) = 56} \cr
{{1 \over 2}a.2 - \left( {3b + 2} \right).\left( { - 5} \right) = 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6a - 10b = 58} \cr
{a + 15b = - 7} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 7 - 15b} \cr
{3\left( { - 7 - 15b} \right) - 5b = 29} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 7 - 15b} \cr
{ - 50b = 50} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 7 - 15b} \cr
{b = - 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 8} \cr
{b = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hằng số a = 8; b = -1.

Câu 20 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Tìm a và b:
a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A (-5; 3), \(B\left( {{3 \over 2}; - 1} \right)\);
b) Để đường thẳng \(ax - 8y = b\) đi qua điểm M (9; -6) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1): \(2x + 5y = 17,\) (d2): \(4x - 10y = 14\)
Giải
a) Để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3) và \(B\left( {{3 \over 2}; - 1} \right)\); nên tọa độ của A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
Điểm A: 3 = -5a + b
Điểm B: \( - 1 = {3 \over 2}a + b \Leftrightarrow 3a + 2b = - 2\)
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 5a + b = 3} \cr
{3a + 2b = - 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr
{3a + 2\left( {3 + 5a} \right) = - 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr
{13a = - 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3 + 5a} \cr
{a = - {8 \over {13}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - {1 \over {13}}} \cr
{a = - {8 \over {13}}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ số \(a = - {8 \over {13}};b = - {1 \over {13}}\)
Đường thẳng cần tìm \(y = - {8 \over {13}}x - {1 \over {13}}\)
b) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng (d1): \(2x + 5y = 17,\) (d2): \(4x - 10y = 14\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 17} \cr
{4x - 10y = 14} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 5y = 17} \cr
{2x - 5y = 7} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{7 + 5y} \over 2}} \cr
{2\left( {{{7 + 5y} \over 2}} \right) + 5y = 17} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{7 + 5y} \over 2}} \cr
{10y = 10} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{7 + 5y} \over 2}} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 6} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Giao điểm của (d1) và (d2): A(6; 1)
Đường thẳng ax – 8y = b đi qua hai điểm M(9; -6) và A(6; 1) nên tọa độ của A và M nghiệm đúng phương trình đường thẳng.
Điểm M: 9a + 48 = b
Điểm A: 6a – 8 = b
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{9a + 48 = b} \cr
{6a - 8 = b} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr
{9a + 48 = 6a - 8} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr
{3a = - 56} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 6a - 8} \cr
{a = - {{56} \over 3}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - 120} \cr
{a = - {{56} \over 3}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hằng số \(a = - {{56} \over 3};b = - 120\).

Câu 21 trang 9 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Tìm giá trị của m:
a) Để hai đường thẳng (d1): \(5x - 2y = 3,\) (d2): \(x + y = m\) cắt nhau tại một điểm trên trục Oy. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Để hai đường thẳng (d1): \(mx + 3y = 10\), (d2): \(x - 2y = 4\) cắt nhau tại một điểm trên trục Ox. Vẽ hai đường thẳng này trong cùng một mặt phẳng tọa độ.
Giải
a) Đường thẳng (d1): \(5x - 2y = 3,\) (d2): \(x + y = m\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung nên giao điểm có hoành độ bằng 0.
Ta có: B(0; y) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{5.0 - 2y = 3} \cr
{0 + y = m} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {3 \over 2}} \cr
{m = - {3 \over 2}} \cr} } \right.\)
Vậy \(m = - {3 \over 2}\) thì (d1) cắt (d2) tại một điểm trên trục tung.
(d2): \(x + y = - {3 \over 2}\)
Vẽ (d2): Cho \(x = 0 \Rightarrow y = - {3 \over 2}\left( {0; - {3 \over 2}} \right)\)
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = - {3 \over 2}\left( { - {3 \over 2};0} \right)\)
Vẽ (d1): \(5x - 2y = 3\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = - {3 \over 2}\left( {0; - {3 \over 2}} \right)\)
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = {3 \over 5}\left( {{3 \over 5};0} \right)\)
b) Đường thẳng (d1): mx + 3y = 10 và đường thẳng (d2): x – 2y = 4 cắt nhau tại một điểm trên trục hoành nên tung độ giao điểm bằng 0.
Ta có: A(x; 0) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{mx + 3.0 = 10} \cr
{x - 2.0 = 4} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{mx = 10} \cr
{x = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{m = {5 \over 2}} \cr
{x = 4} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy \(m = {5 \over 2}\) thì (d1) cắt (d2) tại 1 điểm trên trục hoành.
(d1): \({5 \over 2}x + 3y = 10 \Leftrightarrow 5x + 6y = 20\)
Vẽ (d1): Cho \(x = 0 \Rightarrow y = {{10} \over 3}\left( {0;{{10} \over 3}} \right)\)
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 4\left( {4;0} \right)\)
Vẽ \(\left( {{d_2}} \right):x - 2y = 4\)
Cho \(x = 0 \Rightarrow y = - 2\left( {0; - 2} \right)\)
Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 4\left( {4;0} \right)\).

Câu 22 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Tìm giao điểm của hai đường thẳng:
a) \(\left( {{d_1}} \right):5x - 2y = c\) và \(\left( {{d_2}} \right):x + by = 2,\) biết rằng (d1) đi qua điểm A (5; -1) và (d2) đi qua điểm B(-7; 3);
b) \(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y = - 3\) và \(\left( {{d_2}} \right):3x - by = 5,\) biết rằng (d1) đi qua điểm M(3; 9) và (d2) đi qua điểm N(-1; 2)
Giải
a) (d1) \(5x - 2y = c\) đi qua điểm A(5; -1) nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
\(5.5 - 2.\left( { - 1} \right) = c \Rightarrow c = 27\)
Phương trình đường thẳng (d1): \(5x - 2y = 27\)
\(\left( {{d_2}} \right):x + by = 2\) đi qua điểm B( -7; 3) nên tọa độ của B nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
\( - 7 + 3b = 2 \Leftrightarrow 3b = 9 \Leftrightarrow b = 3\)
Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):x + 3y = 2\)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{5x - 2y = 27} \cr
{x + 3y = 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{5\left( {2 - 3y} \right) - 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{10 - 15y - 2y = 27} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{ - 17y = 17} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2 - 3y} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là (5; -1)
b) \(\left( {{d_1}} \right):ax + 2y = 3\) đi qua điểm M (3; 9) nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình đường thẳng: \(a.3 + 2.9 = - 3 \Leftrightarrow 3a = - 21 \Leftrightarrow a = - 7\)
Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right): - 7x + 2y = - 3\)
\(\left( {{d_2}} \right):3x - by = 5\) đi qua điểm N (-1; 2) nên tọa độ của N nghiệm đúng phương trình đường thẳng: \(3\left( { - 1} \right) - b.2 = 5 \Leftrightarrow - 2b = 8 \Leftrightarrow b = - 4\)
Phương trình đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right):3x + 4y = 5\)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 7x + 2y = - 3} \cr
{3x + 4y = 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x - 3} \over 2}} \cr
{3x + 4.{{7x - 3} \over 2} = 5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x - 3} \over 2}} \cr
{17x = 11} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{7x - 3} \over 2}} \cr
{x = {{11} \over {17}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{11} \over {17}}} \cr
{y = {{13} \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \)
Tọa độ của điểm (d1) và (d2) là \(\left( {{{11} \over {17}};{{13} \over {17}}} \right)\).

Câu 23 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{\left( {x - 3} \right)\left( {2y + 5} \right) = \left( {2x + 7} \right)\left( {y - 1} \right)} \cr
{\left( {4x + 1} \right)\left( {3y - 6} \right) = \left( {6x - 1} \right)\left( {2y + 3} \right)} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{\left( {x + y} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x - y} \right)\left( {x + 1} \right) + 2xy} \cr
{\left( {y - x} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {y + x} \right)\left( {y - 2} \right) - 2xy} \cr} } \right.\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {x - 3} \right)\left( {2y + 5} \right) = \left( {2x + 7} \right)\left( {y - 1} \right)} \cr
{\left( {4x + 1} \right)\left( {3y - 6} \right) = \left( {6x - 1} \right)\left( {2y + 3} \right)} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2xy + 5y - 6y - 15 = 2xy - 2x + 7y - 7} \cr
{12xy - 24x + 3y - 6 = 12xy + 18x - 2y - 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{7x - 13y = 8} \cr
{ - 42x + 5y = 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{7x - 13.{{42x + 3} \over 5} = 8} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{35x - 546x - 39 = 40} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{ - 511x = 79} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{42x + 3} \over 5}} \cr
{x = - {{79} \over {511}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {{51} \over {73}}} \cr
{x = - {{79} \over {511}}} \cr} } \right. \cr} \)
Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện.
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( { - {{79} \over {511}}; - {{51} \over {73}}} \right)\)
b)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\left( {x + y} \right)\left( {x - 1} \right) = \left( {x - y} \right)\left( {x + 1} \right) + 2xy} \cr
{\left( {y - x} \right)\left( {y + 1} \right) = \left( {y + x} \right)\left( {y - 2} \right) - 2xy} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{x^2} - x + xy - y = {x^2} + x - xy - y + 2xy} \cr
{{y^2} + y - xy - x = {y^2} - 2y + xy - 2x - 2xy} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{ - x - y = x - y} \cr
{y - x = - 2x - 2y} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 0} \cr
{x + 3y = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 0} \cr
{3y = 0} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 0} \cr
{y = 0} \cr} } \right. \cr} \)
Hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;0} \right)\).

Câu 24 trang 10 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ:
a)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} + {1 \over y} = {4 \over 5}} \cr
{{1 \over x} - {1 \over y} = {1 \over 5}} \cr} } \right.\)
b)
\(\left\{ {\matrix{
{{{15} \over x} - {7 \over y} = 9} \cr
{{4 \over x} + {9 \over y} = 35} \cr} } \right.\)
c)
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} + {1 \over {x - y}} = {5 \over 8}} \cr
{{1 \over {x + y}} - {1 \over {x - y}} = - {3 \over 8}} \cr} } \right.\)
d)
\(\left\{ {\matrix{
{{4 \over {2x - 3y}} + {5 \over {3x + y}} = - 2} \cr
{{3 \over {3x + y}} - {5 \over {2x - 3y}} = 21} \cr} } \right.\)
e)
\(\left\{ {\matrix{
{{7 \over {x - y + 2}} - {5 \over {x + y - 1}} = 4,5} \cr
{{3 \over {x - y + 2}} + {2 \over {x + y - 1}} = 4} \cr} } \right.\)
Giải
a) Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0.\) Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {4 \over 5}} \cr
{a - b = {1 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{b + {1 \over 5} + b = {4 \over 5}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{2b = {3 \over 5}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b + {1 \over 5}} \cr
{b = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 2}} \cr
{b = {3 \over {10}}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = {1 \over 2}} \cr
{{1 \over y} = {3 \over {10}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = {{10} \over 3}} \cr} } \right.\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;{{10} \over 3}} \right)\)
b) Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b\) điều kiện \(x \ne 0;y \ne 0\) ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{15a - 7b = 9} \cr
{4a + 9b = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
{4a + 9.{{15a - 9} \over 7} = 35} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
{28a + 135a - 81 = 245} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
{163a = 326} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{15a - 9} \over 7}} \cr
{a = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 3} \cr
{a = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = 2} \cr
{{1 \over y} = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {1 \over 2}} \cr
{y = {1 \over 3}} \cr} } \right.\)
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = \(\left( {{1 \over 2};{1 \over 3}} \right)\)
c) Đặt \({1 \over {x + y}} = a;{1 \over {x - y}} = b.\) Điều kiện \(x \ne \pm y\). Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a + b = {5 \over 8}} \cr
{a - b = - {3 \over 8}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b - {3 \over 8}} \cr
{b - {3 \over 8} + b = {5 \over 8}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = b - {3 \over 8}} \cr
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 8}} \cr
{b = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y}} = {1 \over 8}} \cr
{{1 \over {x - y}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 8} \cr
{x - y = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{y + 2 + y = 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{2y = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y + 2} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = 3} \cr} } \right. \cr} \)
Hai giá trị x, y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (5; 3).
d) Đặt \({1 \over {2x - 3y}} = a;{1 \over {3x + y}} = b.\) Điều kiện \(x \ne {3 \over 2}y;x \ne - {1 \over 3}y.\) Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a + 5b = - 2} \cr
{3b - 5a = 21} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{4a + 5.{{5a + 21} \over 3} = - 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{12a + 25a + 105 = - 6} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{37a = - 111} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{5a + 21} \over 3}} \cr
{a = - 3} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 2} \cr
{a = - 3} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {2x - 3y}} = - 3} \cr
{{1 \over {3x + y}} = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x - 3y = - {1 \over 3}} \cr
{3x + y = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr
{2x - 3\left( {{1 \over 2} - 3x} \right) = {1 \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr
{2x + 9x = - {1 \over 3} + {3 \over 2}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr
{11x = {7 \over 6}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - 3x} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {1 \over 2} - {7 \over {22}}} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {2 \over {11}}} \cr
{x = {7 \over {66}}} \cr} } \right. \cr} \)
Hai giá trị \(x = {7 \over {66}};y = {2 \over {11}}\) thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = \(\left( {{7 \over {66}};{2 \over {11}}} \right)\)
e) Đặt \({1 \over {x - y + 2}} = a;{1 \over {x + y - 1}} = b.\) Điều kiện \(x - y + 2 \ne 0;x + y - 1 \ne 0.\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{7a - 5b = 4,5} \cr
{3a + 2b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr
{7a - 5.{{4 - 3a} \over 2} = 4,5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr
{14a - 20 + 15a = 9} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr
{29a = 29} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {{4 - 3a} \over 2}} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = {1 \over 2}} \cr
{a = 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x - y + 2}} = 1} \cr
{{1 \over {x + y - 1}} = {1 \over 2}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x - y + 2 = 1} \cr
{x + y - 1 = 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr
{y - 1 + y - 1 = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr
{2y = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = y - 1} \cr
{y = 2} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện
Vậy hệ phương trình có nghiệm: (x; y) = (1; 2).