Sách bài tập Toán 9 - Phần Đại số - Chương III - Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Câu 25 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:
\(a)\left\{ {\matrix{
{2x - 11y = - 7} \cr
{10x + 11y = 31} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{4x + 7y = 16} \cr
{4x - 3y = - 24} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{0,35x + 4y = - 2,6} \cr
{0,75x - 6y = 9} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{\sqrt 2 x + 2\sqrt 3 y = 5} \cr
{4x - 3y = - 24} \cr} } \right.\)
\(e)\left\{ {\matrix{
{10x - 9y = 8} \cr
{15x + 21y = 0,5} \cr} } \right.\)
\(f)\left\{ {\matrix{
{3,3x + 4,2y = 1} \cr
{9x + 14y = 4} \cr} } \right.\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2x - 11y = - 7} \cr
{10x + 11y = 31} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12x = 24} \cr
{2x - 11y = - 7} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{2.2 - 11y = - 7} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{ - 11y = - 11} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (2; 1)
b)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4x + 7y = 16} \cr
{4x - 3y = - 24} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{10y = 40} \cr
{4x - 3y = - 24} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 4} \cr
{4x - 3.4 = - 24} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 4} \cr
{4x = - 12} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 4} \cr
{x = - 3} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (-3; 4)
c)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{0,35x + 4y = - 2,6} \cr
{0,75x - 6y = 9} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{1,05x + 12y = - 7,8} \cr
{1,5x - 12y = 18} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2,55x = 10,2} \cr
{0,75x - 6y = 9} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 4} \cr
{0,75.4 - 6y = 9} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 4} \cr
{ - 6y = 6} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 4} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (4; -1)
d)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{\sqrt 2 x + 2\sqrt 3 y = 5} \cr
{3\sqrt 2 x - \sqrt 3 y = {9 \over 2}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\sqrt 2 x + 2\sqrt 3 y = 5} \cr
{6\sqrt 2 x - 2\sqrt 3 y = 9} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{7\sqrt 2 x = 14} \cr
{\sqrt 2 x + 2\sqrt 3 y = 5} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{14} \over {7\sqrt 2 }}} \cr
{\sqrt 2 x + 2\sqrt 3 y = 5} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \sqrt 2 } \cr
{\sqrt 2 .\sqrt 2 + 2\sqrt 3 y = 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \sqrt 2 } \cr
{2\sqrt 3 y = 3} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = \sqrt 2 } \cr
{y = {{\sqrt 3 } \over 2}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = \(\left( {\sqrt 2 ;{{\sqrt 3 } \over 2}} \right)\)
e)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{10x - 9y = 8} \cr
{15x + 21y = 0,5} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{30x - 27y = 24} \cr
{30x + 42y = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{69y = - 23} \cr
{10x - 9y = 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {1 \over 3}} \cr
{10x - 9.\left( { - {1 \over 3}} \right) = 8} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {1 \over 3}} \cr
{10x = 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {1 \over 3}} \cr
{x = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = \(\left( {{1 \over 2}; - {1 \over 3}} \right)\)
f)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3,3x + 4,2y = 1} \cr
{9x + 14y = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{33x + 42y = 10} \cr
{27x + 42y = 12} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x = - 2} \cr
{9x + 14y = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = - {1 \over 3}} \cr
{9.\left( { - {1 \over 3}} \right) + 14y = 4} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = - {1 \over 3}} \cr
{14y = 7} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = - {1 \over 3}} \cr
{y = {1 \over 2}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = \(\left( { - {1 \over 3};{1 \over 2}} \right)\)

Câu 26 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{8x - 7y = 5} \cr
{12x + 13y = - 8} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{3\sqrt 5 x - 4y = 15 - 2\sqrt 7 } \cr
{ - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr} } \right.\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{8x - 7y = 5} \cr
{12x + 13y = - 8} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{24x - 21y = 15} \cr
{24x + 26y = - 16} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{47y = - 31} \cr
{8x - 7y = 5} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {{31} \over {47}}} \cr
{8x - 7.\left( { - {{31} \over {47}}} \right) = 5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {{31} \over {47}}} \cr
{8x = 5 - {{217} \over {47}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {{31} \over {47}}} \cr
{x = {9 \over {188}}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = \(\left( {{9 \over {188}}; - {{31} \over {47}}} \right)\)
b)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3\sqrt 5 x - 4y = 15 - 2\sqrt 7 } \cr
{ - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6\sqrt 5 x - 8y = 30 - 4\sqrt 7 } \cr
{ - 6\sqrt 5 x + 24\sqrt 7 y = 54} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {24\sqrt 7 - 8} \right)y = 84 - 4\sqrt 7 } \cr
{ - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{4\left( {21 - \sqrt 7 } \right)} \over {8\left( {3\sqrt 7 - 1} \right)}}} \cr
{ - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{\left( {21 - \sqrt 7 } \right)\left( {3\sqrt 7 + 1} \right)} \over {2.\left( {9.7 - 1} \right)}}} \cr
{ - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{62\sqrt 7 } \over {2.62}}} \cr
{ - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 y = 18} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{\sqrt 7 } \over 2}} \cr
{ - 2\sqrt 5 x + 8\sqrt 7 .{{\sqrt 7 } \over 2} = 18} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{\sqrt 7 } \over 2}} \cr
{ - 2\sqrt 5 x = - 10} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{\sqrt 7 } \over 2}} \cr
{x = {{10} \over {2\sqrt 5 }}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = {{\sqrt 7 } \over 2}} \cr
{x = \sqrt 5 } \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = \left( {\sqrt 5 ;{{\sqrt 7 } \over 2}} \right)\)

Câu 27 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{5\left( {x + 2y} \right) = 3x - 1} \cr
{2x + 4 = 3\left( {x - 5y} \right) - 12} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{4{x^2} - 5\left( {y + 1} \right) = {{\left( {2x - 3} \right)}^2}} \cr
{3\left( {7x + 2} \right) = 5\left( {2y - 1} \right) - 3x} \cr} } \right.\)
\(c)\left\{ {\matrix{
{{{2x + 1} \over 4} - {{y - 2} \over 3} = {1 \over {12}}} \cr
{{{x + 5} \over 2} = {{y + 7} \over 3} - 4} \cr} } \right.\)
\(d)\left\{ {\matrix{
{{{3s - 2t} \over 5} + {{5s - 3t} \over 3} = s + 1} \cr
{{{2s - 3t} \over 3} + {{4s - 3t} \over 2} = t + 1} \cr} } \right.\)
Giải
a)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{5\left( {x + 2y} \right) = 3x - 1} \cr
{2x + 4 = 3\left( {x - 5y} \right) - 12} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5x + 10y = 3x - 1} \cr
{2x + 4 = 3x - 15y - 12} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 10y = - 1} \cr
{x - 15y = 16} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x + 10y = - 1} \cr
{2x - 30y = 32} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{40y = - 33} \cr
{x - 15y = 16} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {{33} \over {40}}} \cr
{x - 15.\left( { - {{33} \over {40}}} \right) = 16} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {{33} \over {40}}} \cr
{x = 16 - {{99} \over 8}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - {{33} \over {40}}} \cr
{x = {{29} \over 8}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = \(\left( {{{29} \over 8}; - {{33} \over {40}}} \right)\)
b)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4{x^2} - 5\left( {y + 1} \right) = {{\left( {2x - 3} \right)}^2}} \cr
{3\left( {7x + 2} \right) = 5\left( {2y - 1} \right) - 3x} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4{x^2} - 5y - 5 = 4{x^2} - 12x + 9} \cr
{21x + 6 = 10y - 5 - 3x} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12x - 5y = 14} \cr
{24x - 10y = - 11} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{24x - 10y = 28} \cr
{24x - 10y = - 11} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{0x + 0y = 39} \cr
{24x - 10y = - 11} \cr} } \right. \cr} \)
Phương trình: 0x + 0y = 39 vô nghiệm.
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
c)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{{2x + 1} \over 4} - {{y - 2} \over 3} = {1 \over {12}}} \cr
{{{x + 5} \over 2} = {{y + 7} \over 3} - 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3\left( {2x + 1} \right) - 4\left( {y - 2} \right) = 1} \cr
{3\left( {x + 5} \right) = 2\left( {y + 7} \right) - 24} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x + 3 - 4y + 8 = 1} \cr
{3x + 15 = 2y + 14 - 24} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x - 4y = - 10} \cr
{3x - 2y = - 25} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x - 2y = - 5} \cr
{3x - 2y = - 25} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{0x + 0y = 20} \cr
{3x - 2y = 25} \cr} } \right. \cr} \)
Phương trình 0x + 0y = 20 vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm
d)
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{{3s - 3t} \over 5} + {{5s - 3t} \over 3} = s + 1} \cr
{{{2s - 3t} \over 3} + {{4s - 3t} \over 2} = t + 1} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3\left( {3s - 2t} \right) + 5\left( {5s - 3t} \right) = 15s + 15} \cr
{2\left( {2s - 3t} \right) + 3\left( {4s - 3t} \right) = 6t + 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{9s - 6t + 25s - 15t = 15s + 15} \cr
{4s - 6t + 12s - 9t = 6t + 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{19s - 21t = 15} \cr
{16s - 21t = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3s = 9} \cr
{16s - 21t = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{s = 3} \cr
{16.3 - 21t = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{s = 3} \cr
{21t = 48 - 6} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{s = 3} \cr
{t = 2} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (s; t) = (3; 2).

Câu 28 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Tìm hai số a và b sao cho 5a – 4b = -5 và đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm A (-7; 4).
Giải
Đường thẳng ax + by = -1 đi qua điểm A (-7; 4) nên tọa độ của A nghiệm đúng phương trình đường thẳng nên -7a + 4b = -1.
Theo bài ra ta có phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 7a + 4b = - 1} \cr
{5a - 4b = - 5} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{ - 2a = - 6} \cr
{5a - 4b = - 5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 3} \cr
{5.3 - 4b = - 5} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 3} \cr
{ - 4b = - 20} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = 3} \cr
{b = 5} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hai ẩn a và b tìm được (a; b) = (3; 5).

Câu 29 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Tìm giá trị của a và b để đường thẳng ax – by = 4 đi qua hai điểm A (4; 3), B(-6; -7).
Giải
Đường thẳng ax – by = 4 đi qua A(4; 3) và B(-6; -7) nên tọa độ A và B nghiệm đúng phương trình đường thẳng.
Điểm A: 4a – 3b = 4
Điểm B: - 6a + 7b = 4
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{4a - 3b = 4} \cr
{ - 6a + 7b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12a - 9b = 12} \cr
{ - 12a + 14b = 8} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5b = 20} \cr
{4a - 3b = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 4} \cr
{4a - 3.4 = 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 4} \cr
{4a = 16} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 4} \cr
{a = 4} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hằng số a = 4; b = 4.

Câu 30 trang 11 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Giải các hệ phương trình sau theo hai cách (cách thứ nhất: đưa hệ phương trình về dạng
\(\left\{ {\matrix{
{ax + by = c} \cr
{a'x + b'y = c'} \cr} } \right.\);
cách thứ hai: đặt ẩn phụ, chẳng hạn 3x – 2 = s, 3y + 2 = t):
\(a)\left\{ {\matrix{
{2\left( {3x - 2} \right) - 4 = 5\left( {3y + 2} \right)} \cr
{4\left( {3x - 2} \right) + 7\left( {3y + 2} \right) = - 2} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 5\left( {x - y} \right) = 12} \cr
{ - 5\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 11} \cr} } \right.\)
Giải
a) Cách 1:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2\left( {3x - 2} \right) - 4 = 5\left( {3y + 2} \right)} \cr
{4\left( {3x - 2} \right) + 7\left( {3y + 2} \right) = - 2} \cr} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x - 4 - 4 = 15y + 10} \cr
{12x - 8 + 21y + 14 = - 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x - 15y = 18} \cr
{12x + 21y = - 8} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12x - 30y = 36} \cr
{12x + 21y = - 8} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6x - 15y = 18} \cr
{51y = - 44} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x - 5y = 6} \cr
{y = - {{44} \over {51}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 6 - {{220} \over {51}}} \cr
{y = - {{44} \over {51}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = {{86} \over {51}}} \cr
{y = - {{44} \over {51}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{43} \over {51}}} \cr
{y = - {{44} \over {51}}} \cr} } \right. \cr} \)
Cách 2: Đặt 3x – 2 = s, 3y + 2 = t ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2s - 4 = 5t} \cr
{4s + 7t = - 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4s - 10t = 8} \cr
{4s + 7t = - 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{17t = - 10} \cr
{2s - 5t = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = - {{10} \over {17}}} \cr
{2s - 5t = 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = - {{10} \over {17}}} \cr
{2s - 5.\left( { - {{10} \over {17}}} \right) = 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = - {{10} \over {17}}} \cr
{2s = 4 - {{50} \over {17}}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = - {{10} \over {17}}} \cr
{s = {9 \over {17}}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3x - 2 = {9 \over {17}}} \cr
{3y + 2 = - {{10} \over {17}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x = 2 + {9 \over {17}}} \cr
{3y = - {{10} \over {17}} - 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x = {{43} \over {17}}} \cr
{3y = - {{44} \over {17}}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = {{43} \over {51}}} \cr
{y = - {{44} \over {51}}} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = \(\left( {{{43} \over {51}}; - {{44} \over {51}}} \right)\)
b) Cách 1:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3\left( {x + y} \right) + 5\left( {x - y} \right) = 12} \cr
{ - 5\left( {x + y} \right) + 2\left( {x - y} \right) = 11} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{3x + 3y + 5x - 5y = 12} \cr
{ - 5x - 5y + 2x - 2y = 11} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{8x - 2y = 12} \cr
{ - 3x - 7y = 11} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4x - y = 6} \cr
{3x + 7y = - 11} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{12x - 3y = 18} \cr
{12x + 28y = - 44} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{31y = - 62} \cr
{4x - y = 6} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 2} \cr
{4x + 2 = 6} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 2} \cr
{x = 1} \cr} } \right. \cr} \)
Cách 2: Đặt x + y = s; x – y = t ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3s + 5t = 12} \cr
{ - 5s + 2t = 11} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{15s + 25t = 60} \cr
{ - 15s + 6t = 33} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{31t = 93} \cr
{ - 5s + 2t = 11} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = 3} \cr
{ - 5s + 2.3 = 11} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{t = 3} \cr
{s = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{x + y = - 1} \cr
{x - y = 3} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 2} \cr
{x - y = 3} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{1 - y = 3} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = - 2} \cr} } \right. \cr} \)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (1; -2).

Câu 31 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ {\matrix{
{{{x + 1} \over 3} - {{y + 2} \over 4} = {{2\left( {x - y} \right)} \over 5}} \cr
{{{x - 3} \over 4} - {{y - 3} \over 3} = 2y - x} \cr} } \right.\)
cũng là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1.
Giải
Giải hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left( I \right)\left\{ {\matrix{
{{{x + 1} \over 3} - {{y + 2} \over 4} = {{2\left( {x - y} \right)} \over 5}} \cr
{{{x - 3} \over 4} - {{y - 3} \over 3} = 2y - x} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{20x + 20 - 15y - 30 = 24x - 24y} \cr
{3x - 9 - 4y + 12 = 24y - 12x} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4x - 9y = - 10} \cr
{15x - 28y = - 3} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{60x - 135y = - 150} \cr
{60x - 112y = - 12} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{ - 23y = - 138} \cr
{4x - 9y = - 10} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr
{4x - 9.6 = - 10} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr
{4x = 44} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = 6} \cr
{x = 11} \cr} } \right. \cr} \)
Cặp (x; y) = (11; 6) là nghiệm của phương trình 3mx – 5y = 2m + 1
Thay x = 11; y = 6 ta có:
\(33m - 30 = 2m + 1 \Leftrightarrow 31m = 31 \Leftrightarrow m = 1\)
Vậy với m = 1 thì nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của phương trình:
3mx – 5y = 2m + 1.

Câu 32 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Tìm giá trị của m để đường thẳng (d): \(y = \left( {2m - 5} \right)x - 5m\) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):2x + 3y = 7\) và \(\left( {{d_2}} \right):3x + 2y = 13\)
Giải
Tọa độ giao điểm M của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2x + 3y = 7} \cr
{3x + 2y = 13} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4x + 6y = 14} \cr
{9x + 6y = 39} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{5x = 25} \cr
{3x + 2y = 13} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{3.5 + 2y = 13} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 5} \cr
{y = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Tọa độ M (5; -1)
Đường thẳng \(\left( d \right):y = \left( {2m - 5} \right)x - 5m\) đi qua M(5; -1) nên tọa độ của M nghiệm đúng phương trình đường thẳng:
\(\eqalign{
& - 1 = \left( {2m - 5} \right).5 - 5m \Leftrightarrow - 1 = 10m - 25 - 5m \cr
& \Leftrightarrow 5m = 24 \Leftrightarrow m = 4,8 \cr} \)
Vậy với m = 4,8 thì đường thẳng (d) đi qua giao điểm của (d1) và (d2).

Câu 33 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Tìm giá trị của m để ba đường thẳng sau đồng quy:
\(\eqalign{
& \left( {{d_1}} \right):5x + 11y = 8 \cr
& \left( {{d_2}} \right):10x - 7y = 74 \cr
& \left( {{d_3}} \right):4mx + \left( {2m - 1} \right)y = m + 2 \cr} \)
Giải
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{5x + 11y = 8} \cr
{10x - 7y = 74} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{10x + 22y = 16} \cr
{10x - 7y = 74} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{29y = - 58} \cr
{5x + 11y = 8} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 2} \cr
{5x + 11.\left( { - 2} \right) = 8} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 2} \cr
{5x = 30} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{y = - 2} \cr
{x = 6} \cr} } \right. \cr} \)
Tọa độ giao điểm của (d1) và (d2) là (x; y) = (6; -2)
Để ba đường thẳng đồng quy thì đường thẳng (d3) phải đi qua giao điểm của hai đường thẳng (d1) và (d2) nên cặp (6; -2) nghiệm đúng phương trình đường thẳng (d3).
Thay x = 6; y = -2 ta có:
\(\eqalign{
& 24m + \left( {2m - 1} \right)\left( { - 2} \right) = m + 2 \cr
& \Leftrightarrow 24m - 4m + 2 = m + 2 \cr
& \Leftrightarrow 19m = 0 \cr
& \Leftrightarrow + = 0 \cr} \)
Vậy với m = 0 thì ba đường thẳng (d1), (d2), (d3) đồng quy tại điểm có tọa độ (6; -2).

Câu 34 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2.
Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương trình ấy. Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ. Hãy giải các hệ phương trình sau:
\(a)\left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 34} \cr
{4x - 5y = - 13} \cr
{5x - 2y = 5} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{6x - 5y = - 49} \cr
{ - 3x + 2y = 22} \cr
{7x + 5y = 10} \cr} } \right.\)
Giải
\(a)\left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 34} \cr
{4x - 5y = - 13} \cr
{5x - 2y = 5} \cr} } \right.\)
Ta giải hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3x + 5y = 34} \cr
{4x - 5y = - 13} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{7x = 21} \cr
{4x - 5y = - 13} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{4.3 - 5y = - 13} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{ - 5y = - 25} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{y = 5} \cr} } \right. \cr} \)
Thay x = 3 và y = 5 vào vế trái phương trình (3):
\(5.3 - 2.5 = 15 - 10 = 5\)
Vậy cặp nghiệm (x; y) = (3; 5) là nghiệm của phương trình (3).
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (3;5)
\(b)\left\{ {\matrix{
{6x - 5y = - 49} \cr
{ - 3x + 2y = 22} \cr
{7x + 5y = 10} \cr} } \right.\)
Ta giải hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{6x - 5y = - 49} \cr
{7x + 5y = 10} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{13x = - 39} \cr
{7x + 5y = 10} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = - 3} \cr
{7.\left( { - 3} \right) + 5y = 10} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = - 3} \cr
{y = {{31} \over 5}} \cr} } \right. \cr} \)
Thay x = -3; \(y = {{31} \over 5}\) vào vế trái phương trình (2):
\( - 3.\left( { - 3} \right) + 2.{{31} \over 5} = 9 + {{62} \over 5} = {{107} \over 5} \ne 22\)
Vậy cặp \(\left( {x = - 3;y = {{31} \over 5}} \right)\) không phải là nghiệm của phương trình (2).
Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 4.1 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải các hệ phương trình:
\(a)\left\{ {\matrix{
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr
{{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)
\(b)\left\{ {\matrix{
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr
{{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)
Giải
\(a)\left\{ {\matrix{
{{3 \over x} + {5 \over y} = - {3 \over 2}} \cr
{{5 \over x} - {2 \over y} = {8 \over 3}} \cr} } \right.\)
Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b.\) Điều kiện: \(x \ne 0;y \ne 0\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{3a + 5b = - {3 \over 2}} \cr
{5a - 2b = {8 \over 3}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{6a + 10b = - 3} \cr
{15a - 6b = 8} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{30a + 50b = - 15} \cr
{30a - 12b = 16} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{62b = - 31} \cr
{6a + 10b = - 3} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - {1 \over 2}} \cr
{6a + 10.\left( { - {1 \over 2}} \right) = - 3} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - {1 \over 2}} \cr
{6a = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = - {1 \over 2}} \cr
{a = {1 \over 3}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = {1 \over 3}} \cr
{{1 \over y} = - {1 \over 2}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 3} \cr
{y = - 2} \cr} } \right.\)
Hai giá trị của x và y thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (3; -2)
\(b)\left\{ {\matrix{
{{2 \over {x + y - 1}} - {4 \over {x - y + 1}} = - {{14} \over 5}} \cr
{{3 \over {x + y - 1}} + {2 \over {x - y + 1}} = - {{13} \over 5}} \cr} } \right.\)
Đặt \({1 \over {x + y - 1}} = a;{1 \over {x - y + 1}} = b.\) Điều kiện: \(x + y - 1 \ne 0;x - y + 1 \ne 0\)
Ta có hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = - {{14} \over 5}} \cr
{3a + 2b = - {{13} \over 5}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2a - 4b = - {{14} \over 5}} \cr
{6a + 4b = - {{26} \over 5}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{8a = - 8} \cr
{3a + 2b = - {{13} \over 5}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr
{ - 3 + 2b = - {{13} \over 5}} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = - 1} \cr
{b = {1 \over 5}} \cr} } \right. \cr} \)
Suy ra:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{{1 \over {x + y - 1}} = - 1} \cr
{{1 \over {x - y + 1}} = {1 \over 5}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y - 1 = - 1} \cr
{x - y + 1 = 5} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x + y = 0} \cr
{x - y = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2x = 4} \cr
{x - y = 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{2 - y = 4} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 2} \cr
{y = - 2} \cr} } \right. \cr} \)
Hai giá trị x = 2; y = -2 thỏa mãn điều kiện bài toán.
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y) = (2; -2)

Câu 4.2 trang 12 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Hãy xác định hàm số bậc nhất thỏa mãn mỗi điều kiện sau:
a) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(-3; 1) và N(1; 2)
b) Đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) và \(N\left( {3;3\sqrt 2 - 1} \right)\)
c) Đồ thị đi qua điểm M(-2; 9) và cắt đường thẳng (d): 3x – 5y = 1 tại điểm có hoành độ bằng 2.
Giải
Hàm số bậc nhất có dạng y = ax + b (a ≠ 0)
a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-3; 1) và N(1; 2) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.
Điểm M: 1 = -3a + b
Điểm N: 2 = a + b
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 3a + b = 1} \cr
{a + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{4a = 1} \cr
{a + b = 2} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 4}} \cr
{{1 \over 4} + b = 2} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = {1 \over 4}} \cr
{b = {7 \over 4}} \cr} } \right. \cr} \)
Hàm số cần tìm: \(y = {1 \over 4}x + {7 \over 4}\)
b) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua \(M\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\) và \(N\left( {3;3\sqrt 2 - 1} \right)\) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.
Điểm M: \(1 = a\sqrt 2 + b\)
Điểm N: \(3\sqrt 2 - 1 = 3a + b\)
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
{3a + b = 3\sqrt 2 - 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)a = 3\sqrt 2 - 2} \cr
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{\left( {3 - \sqrt 2 } \right)a = \sqrt 2 \left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \cr
{a\sqrt 2 + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr
{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr
{2 + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{a = \sqrt 2 } \cr
{b = - 1} \cr} } \right. \cr} \)
Hàm số cần tìm: \(y = \sqrt 2 x - 1\)
c) Điểm N nằm trên đường thẳng (d): 3x – 5y = 1 có hoành độ bằng 2 nên tung độ của N bằng: \(3.2 - 5y = 1 \Leftrightarrow - 5y = - 5 \Leftrightarrow y = 1\)
Điểm N( 2; 1)
Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua M(-2; 9) và N(2; 1) nên tọa độ của M và N nghiệm đúng phương trình hàm số.
Điểm M: 9 = -2a + b
Điểm N: 1 =2a + b
Hai số a và b là nghiệm của hệ phương trình:
\(\eqalign{
& \left\{ {\matrix{
{ - 2a + b = 9} \cr
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{2b = 10} \cr
{2a + b = 1} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr
{2a + 5 = 1} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr
{2a = - 4} \cr
} } \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{b = 5} \cr
{a = - 2} \cr} } \right. \cr} \)
Hàm số cần tìm là y = - 2x + 5

Câu 4.3 trang 13 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2
Giải hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr
{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr
{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr} } \right.\)
Giải
Điều kiện: \(x \ne - y;y \ne - z;z \ne - x\)
Từ hệ phương trình đã cho suy ra: \(x \ne 0;y \ne 0;z \ne 0\)
\(\left\{ {\matrix{
{{{xy} \over {x + y}} = {2 \over 3}} \cr
{{{yz} \over {y + z}} = {6 \over 5}} \cr
{{{zx} \over {z + x}} = {3 \over 4}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{{x + y} \over {xy}} = {3 \over 2}} \cr
{{{y + z} \over {yz}} = {5 \over 6}} \cr
{{{z + x} \over {zx}} = {4 \over 3}} \cr} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{{1 \over x} + {1 \over y} = {3 \over 2}} \cr
{{1 \over y} + {1 \over z} = {5 \over 6}} \cr
{{1 \over z} + {1 \over x} = {4 \over 3}} \cr} } \right.\)
Đặt \({1 \over x} = a;{1 \over y} = b;{1 \over z} = c\)
Ta có hệ phương trình:
\(\left\{ {\matrix{
{a + b = {3 \over 2}} \cr
{b + c = {5 \over 6}} \cr
{c + a = {4 \over 3}} \cr} } \right.\)
Cộng từng vế ba phương trình ta có:
\(\eqalign{
& a + b + b + c + c + a = {3 \over 2} + {5 \over 6} + {4 \over 3} \cr
& \Leftrightarrow 2\left( {a + b + c} \right) = {9 \over 6} + {5 \over 6} + {8 \over 6} \cr
& \Leftrightarrow a + b + c = {{11} \over 6} \cr
& a = \left( {a + b + c} \right) - \left( {b + c} \right) = {{11} \over 6} - {5 \over 6} = 1 \cr
& b = \left( {a + b + c} \right) - \left( {c + a} \right) = {{11} \over 6} - {4 \over 3} = {{11} \over 6} - {8 \over 6} = {1 \over 2} \cr
& c = \left( {a + b + c} \right) - \left( {a + b} \right) = {{11} \over 6} - {3 \over 2} = {{11} \over 6} - {9 \over 6} = {1 \over 3} \cr} \)
Suy ra:
\(\left\{ {\matrix{
{{1 \over x} = 1} \cr
{{1 \over y} = {1 \over 2}} \cr
{{1 \over z} = {1 \over 3}} \cr
} } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{
{x = 1} \cr
{y = 2} \cr
{z = 3} \cr} } \right.\)
Vậy hệ phương trình đã cho có một nghiệm (x; y; z) = (1; 2; 3).