Câu 15 trang 51 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình a) \(7{x^2} - 5x = 0\) b) \( - \sqrt 2 {x^2} + 6x = 0\) c) \(3,4{x^2} + 8,2x = 0\) d) \( - {2 \over 5}{x^2} - {7 \over 3}x = 0\) Giải a) \(7{x^2} - 5x = 0 \Leftrightarrow x\left( {7x - 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(7x - 5 = 0\) \(\Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = {5 \over 7}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = {5 \over 7}\) b) \( - \sqrt 2 {x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow x\left( {6 - \sqrt 2 x} \right) = 0\) ⇔ x = 0 hoặc \(6 - \sqrt 2 x = 0\) ⇔ x = 0 hoặc \(x = 3\sqrt 2 \) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = 3\sqrt 2 \) c) \(3,4{x^2} + 8,2x = 0 \Leftrightarrow x\left( {17x + 41} \right) = 0\) ⇔ x = 0 hoặc 17x + 41 = 0 ⇔ x = 0 hoặc \(x = - {{41} \over {17}}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = - {{41} \over {17}}\) d) \( - {2 \over 5}{x^2} - {7 \over 3}x = 0 \Leftrightarrow 6{x^2} + 35x = 0\) \( \Leftrightarrow x\left( {6x + 35} \right) = 0\) ⇔ x = 0 hoặc 6x + 35 = 0 ⇔ x = 0 hoặc \(x = - {{35} \over 6}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = - {{35} \over 6}\) Câu 16 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình: a) \(5{x^2} - 20 = 0\) b) \( - 3{x^2} + 15 = 0\) c) \(1,2{x^2} - 0,192 = 0\) d) \(1172,5{x^2} + 42,18 = 0\) Giải a) \(5{x^2} - 20x = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow \left| x \right| = 2\) ⇔ x = 2 hoặc x = -2 Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 2;{x_2} = - 2\) b) \( - 3{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 5 \Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt 5 \) ⇔ \(x = \sqrt 5 \) hoặc \(x = - \sqrt 5 \) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = \sqrt 5 ;{x_2} = - \sqrt 5 \) c) \(1,2{x^2} - 0,192 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 0,16 \Leftrightarrow \left| x \right| = 0,4\) \( \Leftrightarrow x = 0,4\) hoặc x = -0,4 Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0,4;{x_2} = - 0,4\) d) \(1172,5{x^2} + 42,18 = 0\) Ta có: \({x^2} \ge 0;1172,5{x^2} \ge 0;1172,5{x^2} + 42,18 > 0\) nên không có giá trị nào của x để \(1172,5{x^2} + 42,18 = 0\) Phương trình đã cho vô nghiệm. Câu 17 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình: a) \({\left( {x - 3} \right)^2} = 4\) b) \({\left( {{1 \over 2} - x} \right)^2} - 3 = 0\) c) \({\left( {2x - \sqrt 2 } \right)^2} - 8 = 0\) d) \({\left( {2,1x - 1,2} \right)^2} - 0,25 = 0\) Giải a) \(\eqalign{ & {\left( {x - 3} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} - {2^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\left( {x - 3} \right) + 2} \right]\left[ {\left( {x - 3} \right) - 2} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \cr} \) ⇔ x – 1 = 0 hoặc x – 5 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 5 Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = 5\) b) \(\eqalign{ & {\left( {{1 \over 2} - x} \right)^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\left( {{1 \over 2} - x} \right) + \sqrt 3 } \right]\left[ {\left( {{1 \over 2} - x} \right) - \sqrt 3 } \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {{1 \over 2} + \sqrt 3 - x} \right)\left( {{1 \over 2} - \sqrt 3 - x} \right) = 0 \cr} \) ⇔ \({1 \over 2} + \sqrt 3 - x = 0\) hoặc \({1 \over 2} - \sqrt 3 - x = 0\) \( \Leftrightarrow x = {1 \over 2} + \sqrt 3 \) hoặc \(x = {1 \over 2} - \sqrt 3 \) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {1 \over 2} = \sqrt 3 ;{x_2} = {1 \over 2} - \sqrt 3 \) c) \({\left( {2x - \sqrt 2 } \right)^2} - 8 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2x - \sqrt 2 } \right)^2} - {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left[ {\left( {2x - \sqrt 2 } \right) + 2\sqrt 2 } \right]\left[ {\left( {2x - \sqrt 2 } \right) - 2\sqrt 2 } \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2x + \sqrt 2 } \right)\left( {2x - 3\sqrt 2 } \right) = 0 \cr} \) ⇔ \(2x + \sqrt 2 = 0\) hoặc \(2x - 3\sqrt 2 = 0\) \( \Leftrightarrow x = - {{\sqrt 2 } \over 2}\) hoặc \(x = {{3\sqrt 2 } \over 2}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - {{\sqrt 2 } \over 2};{x_2} = {{3\sqrt 2 } \over 2}\) d) \({\left( {2,1x - 1,2} \right)^2} - 0,25 = 0 \Leftrightarrow {\left( {2,1x - 1,2} \right)^2} - {\left( {0,5} \right)^2} = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left( {2,1x - 1,2 + 0,5} \right)\left( {2,1x - 1,2 - 0,5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2,1x - 0,7} \right)\left( {2,1x - 1,7} \right) = 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow 2,1x - 0,7 = 0\) hoặc \(2,1x - 1,7 = 0\) \( \Leftrightarrow x = {1 \over 3}\) hoặc \(x = {{17} \over {21}}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {1 \over 3};{x_2} = {{17} \over {21}}\) Câu 18 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số: a) \({x^2} - 6x + 5 = 0\) b) \({x^2} - 3x - 7 = 0\) c) \(3{x^2} - 12x + 1 = 0\) d) \(3{x^2} - 6x + 5 = 0\) Giải a) \({x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.3x + 9 = 4 \Leftrightarrow {\left( {x - 3} \right)^2} = 4\) \( \Leftrightarrow \left| {x - 3} \right| = 2\) \( \Leftrightarrow x - 3 = 2\) hoặc \(x - 3 = - 2\)⇔ x = 5 hoặc x = 1 Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 5;{x_2} = 1\) b)\({x^2} - 3x - 7 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = 7 + {9 \over 4} \Leftrightarrow {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} = {{37} \over 4}\) \( \Leftrightarrow \left| {x - {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt {37} } \over 2} \Leftrightarrow x - {3 \over 2} = {{\sqrt {37} } \over 2}\) hoặc \(x - {3 \over 2} = - {{\sqrt {37} } \over 2}\) \( \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt {37} } \over 2}\) hoặc \(x = {{3 - \sqrt {37} } \over 2}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt {37} } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt {37} } \over 2}\) c) \(\eqalign{ & 3{x^2} - 12x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + {1 \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2.2x + 4 = 4 - {1 \over 3} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = {{11} \over 3} \Leftrightarrow \left| {x - 2} \right| = {{\sqrt {33} } \over 3} \cr} \) \( \Leftrightarrow x - 2 = {{\sqrt {33} } \over 3}\) hoặc \(x - 2 = - {{\sqrt {33} } \over 3}\) \( \Leftrightarrow x = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3}\) hoặc \(x = 2 - {{\sqrt {33} } \over 3}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 2 + {{\sqrt {33} } \over 3};{x_2} = 2 - {{\sqrt {33} } \over 3}\) d) \(\eqalign{ & 3{x^2} - 6x + 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + {5 \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 1 - {5 \over 3} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = - {2 \over 3} \cr} \) Vế trái \({\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\); vế phải \( - {2 \over 3} < 0\) Vậy không có giá trị nào của x để \({\left( {x - 1} \right)^2} = - {2 \over 3}\) Phương trình vô nghiệm. Câu 19 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Nhận thấy rằng phương trình tích \(\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0,\) hay phương trình bậc hai \({x^2} - x - 6 = 0,\) có hai nghiệm là \({x_1} = - 2,{x_2} = 3\). Tương tự, hãy lập những phương trình bậc hai mà nghiệm của mỗi phương trình là một trong những cặp số sau: a) \({x_1} = 2,{x_2} = 5\) b) \({x_1} = - {1 \over 2},{x_2} = 3\) c) \({x_1} = 0,1;{x_2} = 0,2\) d) \({x_1} = 1 - \sqrt 2 ,{x_2} = 1 + \sqrt 2 \) Giải a) Hai số 2 và 5 là nghiệm của phương trình: \(\left( {x - 2} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 10 = 0\) b) Hai số \( - {1 \over 2}\) và 3 là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left[ {x - \left( { - {1 \over 2}} \right)} \right]\left( {x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + {1 \over 2}} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 3 = 0 \cr} \) c) Hai số 0,1 và 0,2 là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left( {x - 0,1} \right)\left( {x - 0,2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 0,3x + 0,02 = 0 \cr} \) d) Hai số \(1 - \sqrt 2 \) và \(1 + \sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left[ {x - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)} \right]\left[ {x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)\left( {1 + \sqrt 2 } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \cr} \) Câu 3.1 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Đưa các phương trình sau về dạng \(a{x^2} + bx + c = 0\) và xác định các hệ số a, b, c: a) \(4{x^2} + 2x = 5x - 7\) b) \(5x - 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x - 4 + {x^2}\) c) \(m{x^2} - 3x + 5 = {x^2} - mx\) d) \(x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2\) Giải a) \(4{x^2} + 2x = 5x - 7 \Leftrightarrow 4{x^2} - 3x + 7 = 0\) có a = 4, b = -3, c = 7 b) \(\eqalign{ & 5x - 3 + \sqrt 5 {x^2} = 3x - 4 + {x^2} \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt 5 - 1} \right){x^2} + 2x + 1 = 0 \cr & a = \sqrt 5 - 1;b = 2;c = 1 \cr} \) c) \(m{x^2} - 3x + 5 = {x^2} - mx \Leftrightarrow \left( {m - 1} \right){x^2} - \left( {3 - m} \right)x + 5 = 0\) \(m - 1 \ne \) nó là phương trình bậc hai có a = m – 1; b = - (3 – m ); c = 5 d) \(\eqalign{ & x + {m^2}{x^2} + m = {x^2} + mx + m + 2 \cr & \Leftrightarrow \left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + \left( {1 - m} \right)x - 2 = 0 \cr} \) \({m^2} - 1 \ne 0\) nó là phương trình bậc hai có \(a = {m^2} - 1,b = 1 - m,c = - 2\) Câu 3.2 trang 52 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Giải các phương trình sau bằng cách biến đổi chúng thành những phương trình với vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số: a) \({x^2} - 3x + 1 = 0\) b) \({x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0\) c) \(5{x^2} - 7x + 1 = 0\) d) \(3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0\) Giải a) \({x^2} - 3x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2.{3 \over 2}x + {9 \over 4} = {9 \over 4} - 1\) \( \Leftrightarrow {\left( {x - {3 \over 2}} \right)^2} = {5 \over 4} \Leftrightarrow \left| {x - {3 \over 2}} \right| = {{\sqrt 5 } \over 2}\) \( \Leftrightarrow x - {3 \over 2} = {{\sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x - {3 \over 2} = - {{\sqrt 5 } \over 2}\) \( \Leftrightarrow x = {{3 + \sqrt 5 } \over 2}\) hoặc \(x = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\) b) \({x^2} + \sqrt 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 2 } \over 2}x + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = 1 + {\left( {{{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right)^2} = {3 \over 2} \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 2 } \over 2}} \right| = {{\sqrt 6 } \over 2}\) \( \Leftrightarrow x + {{\sqrt 2 } \over 2} = {{\sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x + {{\sqrt 2 } \over 2} = - {{\sqrt 6 } \over 2}\) \( \Leftrightarrow x = {{ - \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\) hoặc \(x = - {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{ - \sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2};{x_2} = - {{\sqrt 2 + \sqrt 6 } \over 2}\) c) \(\eqalign{ & 5{x^2} - 7x + 1 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - {7 \over 5}x + {1 \over 5} = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2.{7 \over {10}}x + {{49} \over {100}} = {{49} \over {100}} - {1 \over 5} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x - {7 \over {10}}} \right)^2} = {{29} \over {100}} \Leftrightarrow \left| {x - {7 \over {10}}} \right| = {{\sqrt {29} } \over {10}} \cr} \) \( \Leftrightarrow x - {7 \over {10}} = {{\sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc \(x - {7 \over {10}} = - {{\sqrt {29} } \over {10}}\) \( \Leftrightarrow x = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}}\) hoặc \(x = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{7 + \sqrt {29} } \over {10}};{x_2} = {{7 - \sqrt {29} } \over {10}}\) d) \(\eqalign{ & 3{x^2} + 2\sqrt 3 x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x - {2 \over 3} = 0 \cr & \Leftrightarrow x + 2.{{\sqrt 3 } \over 3}x + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = {2 \over 3} + {\left( {{{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right)^2} = 1 \cr & \Leftrightarrow \left| {x + {{\sqrt 3 } \over 3}} \right| = 1 \cr} \) \( \Leftrightarrow x + {{\sqrt 3 } \over 3} = 1\) hoặc \(x + {{\sqrt 3 } \over 3} = - 1\) \( \Leftrightarrow x = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\) hoặc \(x = - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 1 - {{\sqrt 3 } \over 3};{x_2} = - 1 - {{\sqrt 3 } \over 3}\) Câu 3.3 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Tìm b, c để phương trình \({x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là những số dưới đây: a) \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 2\) b) x1 = -5 và x2 = 0 c) \({x_1} = 1 + \sqrt 2 \) và \({x_2} = 1 - \sqrt 2 \) d) x1 = 3 và \({x_2} = - {1 \over 2}\) Giải a) Hai số -1 và 2 là ngiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x + x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr} \) Hệ số: b = -1; c = -2. b) Hai số - 5 và 0 là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left( {x + 5} \right)\left( {x + 0} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 5x = 0 \cr} \) Hệ số: b = 5; c = 0 c) Hai số \(1 + \sqrt 2 \) và \(1 - \sqrt 2 \) là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left[ {x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]\left[ {x - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - \left( {1 - \sqrt 2 } \right)x - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + \left( {1 + \sqrt 2 } \right)\left( {1 - \sqrt 2 } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 1 = 0 \cr} \) Hệ số: b = -2; c = -1 d) Hai số 3 và \( - {1 \over 2}\) là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & \left( {x - 3} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + {1 \over 2}x - 3x - {3 \over 2} = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x - 3 = 0 \cr} \) Hệ số: b = -5; c = -3 Câu 3.4 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Tìm a, b, c để phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có hai nghiệm là x1 = -2 và x2 = 3. Có thể tìm được bao nhiêu bộ ba số a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán? Giải x = -2 là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\), ta có: \(4a - 2b + c = 0\) x = 3 là nghiệm của phương trình: \(a{x^2} + bx + c = 0\) ta có: \(9a + 3b + c = 0\) Ba số a, b, c là nghiệm của hệ phương trình: \(\eqalign{ & \left\{ {\matrix{ {4a - 2b + c = 0} \cr {9a + 3b + c = 0} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {5a + 5b = 0} \cr {4a - 2b + c = 0} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = - a} \cr {4a - 2\left( { - a} \right) + c = 0} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {b = - a} \cr {c = - 6a} \cr} } \right. \cr} \) Vậy với mọi a ≠ 0 ta có: \(\left\{ {\matrix{ a \cr {b = - a} \cr {c = - 6a} \cr} } \right.\) thì phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có nghiệm x1 = -2; x2 = 3 Ví dụ: a = 2, b = -2, c = -12 ta có phương trình: \(\eqalign{ & 2{x^2} - 2x - 12 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \cr} \) Có nghiệm: \({x_1} = - 2;{x_2} = 3\) Có vô số bộ ba a, b, c thỏa mãn yêu cầu bài toán.
