Câu 20 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Xác định các hệ số a, b, c; tính biệt thức ∆ rồi tìm nghiệm của các phương trình: a) \(2{x^2} - 5x + 1 = 0\) b) \(4{x^2} + 4x + 1 = 0\) c) \(5{x^2} - x + 2 = 0\) d) \( - 3{x^2} + 2x + 8 = 0\) Giải a) \(2{x^2} - 5x + 1 = 0\) có hệ số a = 2, b = -5, c = 1 \(\eqalign{ & \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 5} \right)^2} - 4.2.1 = 25 - 8 = 17 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {17} \cr & {x_1} = {{ - b + \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - \left( { - 5} \right) + \sqrt {17} } \over {2.2}} = {{5 + \sqrt {17} } \over 4} \cr & {x_2} = {{ - b - \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - \left( { - 5} \right) - \sqrt {17} } \over {2.2}} = {{5 - \sqrt {17} } \over 4} \cr} \) b) \(4{x^2} + 4x + 1 = 0\) có hệ số a = 4, b = 4, c = 1 \(\Delta = {b^2} - 4ac = {4^2} - 4.4.1 = 16 - 16 = 0\) Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = - {b \over {2a}} = - {4 \over {2.4}} = - {1 \over 2}\) c) \(5{x^2} - x + 2 = 0\) có hệ số a = 5, b = -1, c = 2 \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.5.2 = 1 - 40 = - 39 < 0\) Phương trình vô nghiệm. d) \( - 3{x^2} + 2x + 8 = 0\) có hệ số a = -3, b= 2, c = 8 \(\eqalign{ & \Delta = {b^2} - 4ac = {2^2} - 4.\left( { - 3} \right).8 = 100 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {100} = 10 \cr & {x_1} = {{ - b - \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - 2 - 10} \over {2.\left( { - 3} \right)}} = {{ - 12} \over { - 6}} = 2 \cr & {x_2} = {{ - b + \sqrt \Delta } \over {2a}} = {{ - 2 + 10} \over {2.\left( { - 3} \right)}} = - {8 \over 6} = - {4 \over 3} \cr} \) Câu 21 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Xác định các hệ số a, b, c rồi giải phương trình: a) \(2{x^2} - 2\sqrt 2 x + 1 = 0\) b) \(2{x^2} - \left( {1 - 2\sqrt 2 } \right)x - \sqrt 2 = 0\) c) \({1 \over 3}{x^2} - 2x - {2 \over 3} = 0\) d) \(3{x^2} + 7,9x + 3,36 = 0\) Giải a) \(2{x^2} - 2\sqrt 2 x + 1 = 0\) có hệ số a = 2, b = \( - 2\sqrt 2 \), c = 1 \(\Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} - 4.2.1 = 8 - 8 = 0\) Phương trình có nghiệm kép: \({x_1} = {x_2} = - {b \over {2a}} = - {{ - 2\sqrt 2 } \over {2.2}} = {{\sqrt 2 } \over 2}\) b) \(2{x^2} - \left( {1 - 2\sqrt 2 } \right)x - \sqrt 2 = 0\) Có hệ số a = 2, \(b = - \left( {1 - 2\sqrt 2 } \right)\), c = \( - \sqrt 2 \) \(\eqalign{ & \Delta = {b^2} - 4ac = {\left[ { - \left( {1 - 2\sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 4.2.\left( { - \sqrt 2 } \right) \cr & = 1 - 4\sqrt 2 + 8 + 8\sqrt 2 \cr & \Delta = 1 + 4\sqrt 2 + 8 = 1 + 2.2\sqrt 2 + {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = {\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)^2} > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 2 } \right)}^2}} = 1 + 2\sqrt 2 \cr & {x_1} = {{1 - 2\sqrt 2 + 1 + 2\sqrt 2 } \over {2.2}} = {2 \over 4} = {1 \over 2} \cr & {x_2} = {{1 - 2\sqrt 2 - 1 - 2\sqrt 2 } \over {2.2}} = {{ - 4\sqrt 2 } \over 4} = - \sqrt 2 \cr} \) c) \({1 \over 3}{x^2} - 2x - {2 \over 3} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 6x - 2 = 0\) Có hệ số a = 1, b = -6, c = -2 \(\eqalign{ & \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.\left( { - 2} \right) = 36 + 8 = 44 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {44} = 2\sqrt {11} \cr & {x_1} = {{6 + 2\sqrt {11} } \over {2.1}} = 3 + \sqrt {11} \cr & {x_2} = {{6 - 2\sqrt {11} } \over {2.1}} = 3 - \sqrt {11} \cr} \) d) \(3{x^2} + 7,9x + 3,36 = 0\) Có hệ số a = 3; b = 7,9; c = 3,36 \(\eqalign{ & \Delta = {b^2} - 4ac = {\left( {7,9} \right)^2} - 4.3.3,36 = 62,41 - 40,32 = 22,09 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {22,09} = 4,7 \cr & {x_1} = {{ - 7,9 + 4,7} \over {2.3}} = {{ - 3,2} \over 6} = {{ - 32} \over {60}} = - {8 \over {15}} \cr & {x_2} = {{ - 7,9 - 4,7} \over {2.3}} = {{ - 12,6} \over 6} = - 2,1 \cr} \) Câu 22 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải phương trình bằng đồ thị. Cho phương trình \(2{x^2} + x - 3 = 0\) a) Vẽ các đồ thị của hai hàm số: \(y = 2{x^2},y = - x + 3\) trong cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm hoành độ của mỗi giao điểm của hai đồ thị. Hãy giải thích vì sao các hoành độ này đều là nghiệm của phương trình đã cho. c) Giải phương trình đã cho công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu b. Giải a) Vẽ đồ thị hàm số \(y = 2{x^2}\) x-2-1012\(y = 2{x^2}\)82028Vẽ đồ thị y = -x + 3 Cho x = 0 ⇒ y = 3(0; 3) Cho y = 0 ⇒ x = 3(3; 0) b) M(-1,5; 4,5); N(1; 2) x = -1,5 là nghiệm của phương trình vì \(2.{\left( { - 1,5} \right)^2} - 1,5 - 3 = 4,5 - 4,5 = 0\) x = 1 là nghiệm của phương trình vì \({2.1^2} + 1 - 3 = 2 + 1 - 3 = 0\) c) \(2{x^2} + x - 3 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {1^2} - 4.2.\left( { - 3} \right) = 1 + 24 = 25 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{ - 1 + 5} \over {2.2}} = {4 \over 4} = 1 \cr & {x_2} = {{ - 1 - 5} \over {2.2}} = {{ - 6} \over 4} = - 1,5 \cr} \) Câu 23 trang 53 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Cho phương trình \({1 \over 2}{x^2} - 2x + 1 = 0\) a) Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {1 \over 2}{x^2}\) và \(y = 2x - 1\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Dùng đồ thị tìm giá trị gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai). b) Giải phương trình đã cho bằng công thức nghiệm, so sánh với kết quả tìm được trong câu a. Giải a) Vẽ đồ thị \(y = {1 \over 2}{x^2}\) x-2-1012\(y = {1 \over 2}{x^2}\)202Vẽ đồ thị y = 2x – 1 Cho x = 0 ⇒ y = -1(0; -1) \({x_1} \approx 0,60;{x_2} \approx 3,40\) b) \({1 \over 2}{x^2} - 2x + 1 = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 2 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.2 = 16 - 8 = 8 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt 8 = 2\sqrt 2 \cr & {x_1} = {{4 + 2\sqrt 2 } \over {2.1}} = 2 + \sqrt 2 \approx 3,41 \cr & {x_2} = {{4 - 2\sqrt 2 } \over {2.1}} = 2 - \sqrt 2 \approx 0,59 \cr} \) Câu 24 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm kép: a) \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\) b) \(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\) Giải a) \(m{x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + 2 = 0\) Phương trình có nghiệm số kép \( \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {m \ne 0} \cr {\Delta = 0} \cr} } \right.\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - 4.m.2 \cr & = 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 8m \cr & = 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) \cr & \Delta = 0 \Rightarrow 4\left( {{m^2} - 4m + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2} - 4m + 1 = 0 \cr & \Delta m = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.1.1 = 16 - 4 = 12 > 0 \cr & \sqrt {\Delta m} = \sqrt {12} = 2\sqrt 3 \cr & {m_1} = {{4 + 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 + \sqrt 3 \cr & {m_2} = {{4 - 2\sqrt 3 } \over {2.1}} = 2 - \sqrt 3 \cr} \) Vậy với \(m = 2 + \sqrt 3 \) hoặc \(m = 2 - \sqrt 3 \) thì phương trình đã cho có nghiệm số kép. b) \(3{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + 4 = 0\) Phương trình có nghiệm số kép \( \Leftrightarrow \Delta = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.3.4 = {m^2} + 2m + 1 - 48 = {m^2} + 2m - 47 \cr & \Delta = 0 \Rightarrow {m^2} + 2m - 47 = 0 \cr & \Delta m = {2^2} - 4.1\left( { - 47} \right) = 4 + 188 = 192 > 0 \cr & \sqrt {\Delta m} = \sqrt {192} = 8\sqrt 3 \cr & {m_1} = {{ - 2 + 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = 4\sqrt 3 - 1 \cr & {m_2} = {{ - 2 - 8\sqrt 3 } \over {2.1}} = - 1 - 4\sqrt 3 \cr} \) Vậy với \(m = 4\sqrt 3 - 1\) hoặc \(m = - 1 - 4\sqrt 3 \) thì phương trình có nghiệm số kép. Câu 25 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm; tính nghiệm của phương trình theo m: a) \(m{x^2} + \left( {2x - 1} \right)x + m + 2 = 0\) b) \(2{x^2} - \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} - 1 = 0\) Giải a) \(m{x^2} + \left( {2m - 1} \right)x + m + 2 = 0\) Nếu m = 0 ta có phương trình: \( - x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2\) Nếu m ≠ 0 phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left( {2m - 1} \right)^2} - 4m\left( {m + 2} \right) \cr & = 4{m^2} - 4m + 1 - 4{m^2} - 8m \cr & = - 12m + 1 \cr & \Delta \ge 0 \Rightarrow - 12m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \le {1 \over {12}} \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {1 - 12m} \cr & {x_1} = {{ - \left( {2m - 1} \right) + \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} = {{1 - 2m + \sqrt {1 - 12m} } \over {2m}} \cr & {x_2} = {{ - \left( {2m - 1} \right) - \sqrt {1 - 12m} } \over {2.m}} = {{1 - 2m - \sqrt {1 - 12m} } \over {2 + }} \cr} \) b) \(2{x^2} - \left( {4m + 3} \right)x + 2{m^2} - 1 = 0\) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta \ge 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left[ { - \left( {4m + 3} \right)} \right]^2} - 4.2\left( {2{m^2} - 1} \right) \cr & = 16{m^2} + 24m + 9 - 16{m^2} + 8 \cr & = 24m + 17 \cr & \Delta \ge 0 \Rightarrow 24m + 17 \ge 0 \Leftrightarrow m > - {{17} \over {24}} \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {24m + 17} \cr & {x_1} = {{4m + 3 + \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr & {x_2} = {{4m + 3 - \sqrt {24m + 17} } \over 4} \cr} \) Câu 26 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Vì sao khi phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) có các hệ số a và c trái dấu thì nó có nghiệm? Áp dụng. Không tính ∆, hãy giải thích vì sao mỗi phương trình sau có nghiệm: a) \(3{x^2} - x - 8 = 0\) b) \(2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5 = 0\) c) \(3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 - \sqrt 3 = 0\) d) \(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\) Giải Phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) a và c trái dấu \( \Rightarrow ac < 0\) suy ra \( - ac > 0 \Rightarrow - 4ac > 0\) \(\Delta = {b^2} - 4ac\) ta có \({b^2} \ge 0\); \( - 4ac > 0 \Leftrightarrow {b^2} - 4ac > 0\) \( \Rightarrow \Delta = {b^2} - 4ac > 0\). Phương trình có hai nghiệm phân biệt. Áp dụng: a) \(3{x^2} - x - 8 = 0\) Có a = 3; c = -8 ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt. b) \(2004{x^2} + 2x - 1185\sqrt 5 = 0\) Có a = 2004; c = \( - 1185\sqrt 5 \) ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt. c) \(3\sqrt 2 {x^2} + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right)x + \sqrt 2 - \sqrt 3 = 0\) Có \(a = 3\sqrt 2 > 0;c = \sqrt 2 - \sqrt 3 < 0\) (vì \(\sqrt 2 < \sqrt 3 \)) ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt. d) \(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\) Nếu m = 0 phương trình có dạng có 2 nghiệm Nếu \(m \ne 0 \Rightarrow {m^2} > 0 \Rightarrow - {m^2} < 0\) \(a = 2010 > 0;c = - {m^2} < 0 \Rightarrow ac < 0.\) Phương trình có 2 nghiệm phân biệt. Vậy với mọi m ∈ R thì phương trình \(2010{x^2} + 5x - {m^2} = 0\) luôn có hai nghiệm phân biệt.
Câu 4.1 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Giải các phương trình sau bằng cách (chuyển các số hạng tự do sang vế phải bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được: a) \(4{x^2} - 9 = 0\) b) \(5{x^2} + 20 = 0\) c) \(2{x^2} - 2 + \sqrt 3 = 0\) d) \(3{x^2} - 12 + \sqrt {145} = 0\) Giải a) \(\eqalign{ & 4{x^2} - 9 = 0 \cr & \Leftrightarrow 4{x^2} = 9 \cr & \Leftrightarrow {x^2} = {9 \over 4} \Leftrightarrow x = \pm {3 \over 2} \cr} \) Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {3 \over 2};{x_2} = - {3 \over 2}\) \(\eqalign{ & \Delta = {0^2} - 4.4.\left( { - 9} \right) = 144 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {144} = 12 \cr & {x_1} = {{0 + 12} \over {2.4}} = {{12} \over 8} = {3 \over 2} \cr & {x_2} = {{0 - 12} \over {2.4}} = {{ - 12} \over 8} = - {3 \over 2} \cr} \) b) \(5{x^2} + 20 = 0 \Leftrightarrow 5{x^2} = - 20\) Vế trái \(5{x^2} \ge 0\); vế phải -20 < 0 Không có giá trị nào của x để \(5{x^2} = - 20\) Phương trình vô nghiệm. \(\Delta = {0^2} - 4.5.20 = - 400 < 0.\) Phương trình vô nghiệm. c) \(\eqalign{ & 2{x^2} - 2 + \sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} = 2 - \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} = {{2 - \sqrt 3 } \over 2} \cr & \Leftrightarrow \left| x \right| = \sqrt {{{2 - \sqrt 3 } \over 2}} = \sqrt {{{4 - 2\sqrt 3 } \over 4}} \cr & = {{\sqrt {4 - 2\sqrt 3 } } \over 2} = {{\sqrt {{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} } \over 2} = {{\sqrt 3 - 1} \over 2} \cr} \) Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{\sqrt 3 - 1} \over 2};{x_2} = - {{\sqrt 3 - 1} \over 2} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2}\) \(\eqalign{ & \Delta = {0^2} - 4.2\left( { - 2 + \sqrt 3 } \right) = 16 - 8\sqrt 3 \cr & = 4\left( {4 - 2\sqrt 3 } \right) = 4{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {4{{\left( {\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right) \cr & {x_1} = {{0 + 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {2.2}} = {{\sqrt 3 - 2} \over 2} \cr & {x_2} = {{0 - 2\left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over {2.2}} = {{ - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)} \over 2} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \cr} \) d) \(\eqalign{ & 3{x^2} - 12 + \sqrt {145} = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} = 12 - \sqrt {145} \cr & \Leftrightarrow {x^2} = {{12 - \sqrt {145} } \over 3} \cr} \) Vì \(12 = \sqrt {144} ;\sqrt {144} < \sqrt {145} \Rightarrow {{12 - \sqrt {145} } \over 3} < 0\) Phương trình vô nghiệm. \(\Delta = {0^2} - 4.3\left( { - 12 + \sqrt {145} } \right) = - 12\left( {\sqrt {145} - 12} \right)\) Vì \(\sqrt {145} - 12 > 0 \Rightarrow - 12\left( {\sqrt {145} - 12} \right) < 0\) \( \Rightarrow \Delta < 0.\) Phương trình vô nghiệm. Câu 4.2 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Giải các phương trình sau bằng hai cách (phương trình tích; bằng công thức nghiệm) và so sánh kết quả tìm được: a) \(5{x^2} - 3x = 0\) b) \(3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0\) c) \(2{x^2} + 7x = 0\) d) \(2{x^2} - \sqrt 2 x = 0\) Giải a) \(\eqalign{ & 5{x^2} - 3x = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {5x - 3} \right) = 0 \cr} \) ⇔ x = 0 hoặc 5x – 3 =0 ⇔ x = 0 hoặc \(x = {3 \over 5}.\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = {3 \over 5}\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.5.0 = 9 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt 9 = 3 \cr & {x_1} = {{3 + 3} \over {2.5}} = {6 \over {10}} = {3 \over 5} \cr & {x_2} = {{3 - 3} \over {2.5}} = {0 \over {10}} = 0 \cr} \) b) \(\eqalign{ & 3\sqrt 5 {x^2} + 6x = 0 \cr & \Leftrightarrow 3x\left( {\sqrt 5 x + 2} \right) = 0 \cr} \) ⇔ x = 0 hoặc \(\sqrt 5 x + 2 = 0\) ⇔ x = 0 hoặc \(x = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = - {{2\sqrt 5 } \over 5}\) \(\eqalign{ & \Delta = {6^2} - 4.3\sqrt 5 .0 = 36 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {36} = 6 \cr & {x_1} = {{ - 6 + 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {0 \over {6\sqrt 5 }} = 0 \cr & {x_2} = {{ - 6 - 6} \over {2.3\sqrt 5 }} = {{ - 12} \over {6\sqrt 5 }} = - {{2\sqrt 5 } \over 5} \cr} \) c) \(\eqalign{ & 2{x^2} + 7x = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {2x + 7} \right) = 0 \cr} \) ⇔ x = 0 hoặc 2x + 7 = 0 ⇔ x = 0 hoặc \(x = - {7 \over 2}\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = - {7 \over 2}\) \(\eqalign{ & \Delta = {7^2} - 4.2.0 = 49 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr & {x_1} = {{ - 7 + 7} \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr & {x_2} = {{ - 7 - 7} \over {2.2}} = {{ - 14} \over 4} = - {7 \over 2} \cr} \) d) \(\eqalign{ & 2{x^2} - \sqrt 2 x = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {2x - \sqrt 2 } \right) = 0 \cr} \) ⇔ x = 0 hoặc \(2x - \sqrt 2 = 0\) ⇔ x = 0 hoặc \(x = {{\sqrt 2 } \over 2}\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left( { - \sqrt 2 } \right)^2} - 4.2.0 = 2 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt 2 \cr & {x_1} = {{\sqrt 2 + \sqrt 2 } \over {2.2}} = {{2\sqrt 2 } \over 4} = {{\sqrt 2 } \over 2} \cr & {x_2} = {{\sqrt 2 - \sqrt 2 } \over {2.2}} = {0 \over 4} = 0 \cr} \) Câu 4.3 trang 54 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Giải các phương trình: a) \({x^2} = 14 - 5x\) b) \(3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2\) c) \({\left( {x + 2} \right)^2} = 3131 - 2x\) d) \({{{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \over 5} + {{x\left( {2x - 3} \right)} \over 2}\) Giải a) \({x^2} = 14 - 5x \Leftrightarrow {x^2} + 5x - 14 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {5^2} - 4.1.\left( { - 14} \right) = 25 + 56 = 81 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {81} = 9 \cr & {x_1} = {{ - 5 + 9} \over {2.1}} = {4 \over 2} = 2 \cr & {x_2} = {{ - 5 - 9} \over {2.1}} = {{ - 14} \over 2} = - 7 \cr} \) b) \(\eqalign{ & 3{x^2} + 5x = {x^2} + 7x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 2x + 2 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.1 = 1 - 4 = - 3 < 0 \cr} \) Phương trình vô nghiệm c) \(\eqalign{ & {\left( {x + 2} \right)^2} = 3131 - 2x \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + 2x - 3131 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 6x - 3127 = 0 \cr & \Delta = {6^2} - 4.1.\left( { - 3127} \right) = 36 + 12508 = 12544 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {12544} = 112 \cr & {x_1} = {{ - 6 + 112} \over {2.1}} = {{106} \over 2} = 53 \cr & {x_2} = {{ - 6 - 112} \over {2.1}} = - 59 \cr} \) d) \(\eqalign{ & {{{{\left( {x + 3} \right)}^2}} \over 5} + 1 = {{{{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \over 5} + {{x\left( {2x - 3} \right)} \over 2} \cr & \Leftrightarrow 2{\left( {x + 3} \right)^2} + 10 = 2{\left( {3x - 1} \right)^2} + 5x\left( {2x - 3} \right) \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 12x + 18 + 10 = 18{x^2} - 12x + 2 + 10{x^2} - 15x \cr & \Leftrightarrow 26{x^2} - 39x - 26 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 9 + 16 = 25 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{3 + 5} \over {2.2}} = {8 \over 4} = 2 \cr & {x_2} = {{3 - 5} \over {2.2}} = - {1 \over 2} \cr} \) Câu 4.4 trang 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Chứng minh rằng nếu phương trình \(a{x^2} + bx + c = x(a \ne 0)\) vô nghiệm thì phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + c = x\) cũng vô nghiệm. Phương trình \(a{x^2} - bx + c = x(a \ne 0)\) vô nghiệm. \( \Rightarrow a{x^2} + \left( {b - 1} \right)x + c = 0\) vô nghiệm \(\eqalign{ & \Rightarrow \Delta = {\left( {b - 1} \right)^2} - 4ac < 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {b - 1} \right)^2} < 4ac \cr & \Leftrightarrow 4ac - {\left( {b - 1} \right)^2} > 0 \cr} \) Suy ra: \(f\left( x \right) - x = a{x^2} + \left( {b - 1} \right)x + c\) \(\eqalign{ & = a\left( {{x^2} + {{b - 1} \over a}x + {c \over a}} \right) \cr & = a\left[ {{x^2} + 2.{{b - 1} \over a}x + {{{{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} - {{{{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} + {c \over a}} \right] \cr & = a\left[ {{{\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)}^2} + {{4ac - {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}}} \right] \cr} \) Vì \({\left( {x + {{b - 1} \over {2a}}} \right)^2} + {{4ac - {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \over {4{a^2}}} > 0 \Rightarrow f\left( x \right) - x\) luôn cùng dấu với a. Nếu a > 0 \( \Rightarrow f\left( x \right) - x > 0 \Rightarrow f\left( x \right) > x\) với mọi x. Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c > f\left( x \right) > x\) với mọi x. Vậy không có giá trị nào của x để \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\) Nếu a < 0 \( \Rightarrow f\left( x \right) - x < 0 \Leftrightarrow f\left( x \right) < x\) với mọi x Suy ra: \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c < f\left( x \right) < x\) với mọi x. Vậy không có giá trị nào của x để \(a{\left[ {f\left( x \right)} \right]^2} + bf\left( x \right) + c = x\) Vậy phương trình \(a{\left( {a{x^2} + bx + c} \right)^2} + b\left( {a{x^2} + bx + c} \right) + c = x\) vô nghiệm.
