Câu 27 trang 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Xác định a, b’, c trong mỗi phương trình, rồi giải phương trình bằng công thức nghiệm thu gọn: a) \(5{x^2} - 6x - 1 = 0\) b) \( - 3{x^2} + 14x - 8 = 0\) c) \(- 7{x^2} + 4x = 3\) d) \(9{x^2} + 6x + 1 = 0\) Giải a) \(5{x^2} - 6x - 1 = 0\) Có hệ số a = 5; b’ = -3; c = -1 \(\eqalign{ & \Delta ' = b{'^2} - ac = {\left( { - 3} \right)^2} - 5.\left( { - 1} \right) = 9 + 5 = 14 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {14} \cr & {x_1} = {{ - b' + \sqrt {\Delta '} } \over a} = {{3 + \sqrt {14} } \over 5} \cr & {x_2} = {{ - b' - \sqrt {\Delta '} } \over a} = {{3 - \sqrt {14} } \over 5} \cr} \) b) \( - 3{x^2} + 14x - 8 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 14x + 8 = 0\) Có hệ số a = 3; b’ = -7; c = 8 \(\eqalign{ & \Delta ' = {\left( { - 7} \right)^2} - 3.8 = 49 - 23 = 25 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{7 + 5} \over 3} = 4 \cr & {x_2} = {{7 - 5} \over 3} = {2 \over 3} \cr} \) c) \( - 7{x^2} + 4x = 3 \Leftrightarrow 7{x^2} - 4x + 3 = 0\) Có hệ số a = 7; b’ = -2; c = 3 \(\Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 7.3 = 4 - 21 = - 17 < 0\) Phương trình vô nghiệm d) \(9{x^2} + 6x + 1 = 0\) Có hệ số a = 9; b’ = 3; c = 1 \(\Delta ' = {3^2} - 9.1 = 9 - 9 = 0\) Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = {{ - b} \over a} = {{ - 3} \over 9} = - {1 \over 3}\) Câu 28 trang 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Với những giá trị nào của x thì giá trị của hai biểu thức bằng nhau: a) \({x^2} + 2 + 2\sqrt 2 \) và \(2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x\) b) \(\sqrt 3 {x^2} + 2x - 1\) và \(2\sqrt 3 x + 3\) c) \( - 2\sqrt 2 x - 1\) và \(\sqrt 2 {x^2} + 2x + 3\) d) \({x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 \) và \(2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \) e) \(\sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 \) và \( - {x^2} - 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1\)? Giải a) \(\eqalign{ & {x^2} + 2 + 2\sqrt 2 = 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 2 + 2\sqrt 2 = 0 \cr & \Delta ' = {\left[ { - \left( {1 + \sqrt 2 } \right)} \right]^2} - 1.\left( {2 + 2\sqrt 2 } \right) \cr & = 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 2 - 2\sqrt 2 = 1 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \cr & {x_1} = {{1 + \sqrt 2 + 1} \over 1} = 2 + \sqrt 2 \cr & {x_2} = {{1 + \sqrt 2 - 1} \over 1} = \sqrt 2 \cr} \) Vậy với \(x = 2 + \sqrt 2 \) hoặc \(x = \sqrt 2 \) thì hai biểu thức bằng nhau. b) \(\eqalign{ & \sqrt 3 {x^2} + 2x - 1 = 2\sqrt 3 x + 3 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + \left( {2 - 2\sqrt 3 } \right)x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 3 {x^2} + 2\left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 4 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - \sqrt 3 \left( { - 4} \right) \cr & = 1 - 2\sqrt 3 + 3 + 4\sqrt 3 \cr & = 1 + 2\sqrt 3 + 3 = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {1 + \sqrt 3 } \right)}^2}} = 1 + \sqrt 3 \cr & {x_1} = {{\sqrt 3 - 1 + 1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = 2 \cr & {x_2} = {{\sqrt 3 - 1 - 1 - \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 3 }} = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \) Vậy với x = 2 hoặc \(x = {{ - 2\sqrt 3 } \over 3}\) thì hai biểu thức đó bằng nhau. c) \(\eqalign{ & - 2\sqrt 2 x - 1 = \sqrt 2 {x^2} + 2x + 3 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 2 } \right)x + 4 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} - \sqrt 2 .4 \cr & = 1 + 2\sqrt 2 + 2 - 4\sqrt 2 \cr & = 1 - 2\sqrt 2 + 2 = {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 - 1} \right)}^2}} = \sqrt 2 - 1 \cr & {x_1} = {{ - 1 - \sqrt 2 + \sqrt 2 - 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2} \over {\sqrt 2 }} = - \sqrt 2 \cr & {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 2 - \sqrt 2 + 1} \over {\sqrt 2 }} = {{ - 2\sqrt 2 } \over {\sqrt 2 }} = - 2 \cr} \) Vậy với \(x = - \sqrt 2 \) hoặc \(x = - 2\) thì hai biểu thức bằng nhau. d) \(\eqalign{ & {x^2} - 2\sqrt 3 x - \sqrt 3 = 2{x^2} + 2x + \sqrt 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2 + 2\sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {1 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( {1 + \sqrt 3 } \right)^2} - 1.2\sqrt 3 \cr & = 1 + 2\sqrt 3 + 3 - 2\sqrt 3 = 4 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 4 = 2 \cr & {x_1} = {{ - 1 - \sqrt 3 + 2} \over 1} = 1 - \sqrt 3 \cr & {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 - 2} \over 1} = - 3 - \sqrt 3 \cr} \) Vậy với \(x = 1 - \sqrt 3 \) hoặc \(x = - 3 - \sqrt 3 \) thì hai biểu thức bằng nhau. e) \(\eqalign{ & \sqrt 3 {x^2} + 2\sqrt 5 x - 3\sqrt 3 = - {x^2} - 2\sqrt 3 x + 2\sqrt 5 + 1 \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + \left( {2\sqrt 5 + 2\sqrt 3 } \right)x - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {\sqrt 3 + 1} \right){x^2} + 2\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)x - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right)^2} - \left( {\sqrt 3 + 1} \right)\left( { - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 - 1} \right) \cr & = 5 + 2\sqrt {15} + 3 + 9 + 2\sqrt {15} + \sqrt 3 + 3\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 1 \cr & = 18 + 4\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 4\sqrt {15} \cr & = 1 + 12 + 5 + 2.2\sqrt 3 + 2\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr & = 1 + {\left( {2\sqrt 3 } \right)^2} + {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} + 2.1.2\sqrt 3 + 2.1.\sqrt 5 + 2.2\sqrt 3 .\sqrt 5 \cr & = {\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)^2} > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {{{\left( {1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \right)}^2}} = 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 \cr & {x_1} = {{ - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) + 1 + 2\sqrt 3 + \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{1 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 3 + 1}} = 1 \cr & {x_2} = {{ - \left( {\sqrt 5 + \sqrt 3 } \right) - 1 - 2\sqrt 3 - \sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} = {{ - 1 - 3\sqrt 3 - 2\sqrt 5 } \over {\sqrt 3 + 1}} \cr & = 4 - \sqrt 3 - \sqrt 5 - \sqrt {15} \cr} \) Câu 29 trang 55 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Một vận động viên bơi lội nhảy cầu (xem hình 5). Khi nhảy, độ cao h từ người đó tới mặt nước (tính bằng mét) phụ thuộc vào khoảng cách x từ điểm rơi đến chân cầu (tính bằng mét) bởi công thức: \(h = - {\left( {x - 1} \right)^2} + 4\) Hỏi khoảng cách x bằng bao nhiêu a) Khi vận động viên ở độ cao 3m? b) Khi vận động viên chạm mặt nước? Giải a) Khi h = 3m ta có: \(\eqalign{ & 3 = - {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 \Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 - 1 = 0 \Leftrightarrow x\left( {x - 2} \right) = 0 \cr} \) Suy ra: \({x_1} = 0;{x_2} = 2.\) Vậy x = 0m hoặc x = 2m b) Khi vận động viên chạm mặt nước ta có h = 0 \(\eqalign{ & \Rightarrow - {\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.\left( { - 3} \right) = 1 + 3 = 4 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 4 = 2 \cr & {x_1} = {{1 + 2} \over 1} = 3 \cr & {x_2} = {{1 - 2} \over 1} = - 1 \cr} \) Vì khoảng cách không âm. Vậy x = 3m Câu 30 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Tính gần đúng nghiệm của phương trình (làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai): a) \(16{x^2} - 8x + 1 = 0\) b) \(6{x^2} - 10x - 1 = 0\) c) \(5{x^2} + 24x + 9 = 0\) d) \(16{x^2} - 10x + 1 = 0\) Giải a) \(\eqalign{ & 16{x^2} - 8x + 1 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 4} \right)^2} - 16.1 = 16 - 16 = 0 \cr} \) Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = {4 \over {16}} = {1 \over 4} = 0,25\) b) \(6{x^2} - 10x - 1 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 6.\left( { - 1} \right) = 25 + 6 = 31 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {31} \cr & {x_1} = {{5 + \sqrt {31} } \over 6} \approx 1,76 \cr & {x_2} = {{5 - \sqrt {31} } \over 6} \approx - 0,09 \cr} \) c) \(\eqalign{ & 5{x^2} + 24x + 9 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( {12} \right)^2} - 5.9 = 144 - 45 = 99 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {99} = 3\sqrt {11} \cr & {x_1} = {{ - 12 + 3\sqrt {11} } \over 5} \approx - 0,41 \cr & {x_2} = {{ - 12 - 3\sqrt {11} } \over 5} \approx - 4,39 \cr} \) d) \(\eqalign{ & 16{x^2} - 10x + 1 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 16.1 = 25 - 16 = 9 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr & {x_1} = {{5 + 3} \over {16}} = {8 \over {16}} = 0,5 \cr & {x_2} = {{5 - 3} \over {16}} = {2 \over {16}} = {1 \over 8} = 0,125 \cr} \) Câu 31 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Với giá trị nào của x thì giá trị của hai hàm số bằng nhau: a) \(y = {1 \over 3}{x^2}\) và \(y = 2x - 3\) b) \(y = - {1 \over 2}{x^2}\) và \(y = x - 8\)? Giải a) \({1 \over 3}{x^2} = 2x - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 6x + 9 = 0\) \(\Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.9 = 9 - 9 = 0\) Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = 3\) Vậy với x = 3 thì hàm số \(y = {1 \over 3}{x^2}\) và hàm số y = 2x – 3 có giá trị bằng nhau. b) \( - {1 \over 2}{x^2} = x - 8 \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 16 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 16} \right) = 1 + 16 = 17 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {17} \cr & {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {17} } \over 1} = - 1 + \sqrt {17} \cr & {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {17} } \over 1} = - 1 - \sqrt {17} \cr} \) Vậy với \(x = \sqrt {17} - 1\) hoặc \(x = - \left( {1 + \sqrt {17} } \right)\) thì giá trị của hai hàm số \(y = - {1 \over 2}{x^2}\) và y = x – 8 bằng nhau. Câu 32 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Với giá trị nào của m thì: a) Phương trình \(2{x^2} - {m^2}x + 18m = 0\) có một nghiệm x = -3. b) Phương trình \(m{x^2} - x - 5{m^2} = 0\) có một nghiệm x = -2? Giải a) x = -3 là nghiệm của phương trình \(2{x^2} - {m^2}x + 18m = 0\) (1) Ta có: \(\eqalign{ & 2.{\left( { - 3} \right)^2} - {m^2}\left( { - 3} \right) + 18m = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{m^2} + 18m + 18 = 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 6 = 0 \cr & \Delta ' = {3^2} - 1.6 = 9 - 6 = 3 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 \cr & {m_1} = {{ - 3 + \sqrt 3 } \over 1} = - 3 + \sqrt 3 \cr & {m_2} = {{ - 3 - \sqrt 3 } \over 1} = - 3 - \sqrt 3 \cr} \) Vậy với \(m = - 3 - \sqrt 3 \) hoặc \(m = - 3 - \sqrt 3 \) thì phương trình (1) có nghiệm x = -3 b) x = -2 là nghiệm của phương trình \(m{x^2} - x - 5{m^2} = 0\) (2) Ta có: \(\eqalign{ & m{\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - 2} \right) - 5{m^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow 5{m^2} - 4m - 2 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 5.\left( { - 2} \right) = 4 + 10 = 14 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {14} \cr & {m_1} = {{2 + \sqrt {14} } \over 5} \cr & {m_2} = {{2 - \sqrt {14} } \over 5} \cr} \) Vậy \(m = {{2 + \sqrt {14} } \over 5}\) hoặc \(m = {{2 - \sqrt {14} } \over 5}\) thì phương trình (2) có nghiệm x = -2 Câu 33 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: a) \({x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + {m^2} + 3 = 0\) b) \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0\) Giải a) Phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 3} \right)x + {m^2} + 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\Delta ' > 0\) \(\eqalign{ & \Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 3} \right)} \right]^2} - 1\left( {{m^2} + 3} \right) \cr & = {m^2} + 6m + 9 - {m^2} - 3 = 6m + 6 \cr & \Delta ' > 0 \Rightarrow 6m + 6 > 0 \Leftrightarrow 6m > - 6 \Leftrightarrow m > - 1 \cr} \) Vậy với m > -1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Phương trình: \(\left( {m + 1} \right){x^2} + 4mx + 4m - 1 = 0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m + 1 ≠ 0 và \(\Delta ' > 0\) \(\eqalign{ & m + 1 \ne 0 \Rightarrow m \ne - 1 \cr & \Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - \left( {m + 1} \right)\left( {4m - 1} \right) \cr & = 4{m^2} - 4{m^2} + m - 4m + 1 = 1 - 3m \cr & \Delta ' > 0 \Rightarrow 1 - 3m > 0 \Leftrightarrow 3m < 1 \Leftrightarrow m < {1 \over 3} \cr} \) Vậy với \(m < {1 \over 3}\) và m ≠ -1 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. Câu 34 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm kép: a) \(5{x^2} + 2mx - 2m + 15 = 0\) b) \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0\) Giải a) Phương trình \(5{x^2} + 2mx - 2m + 15 = 0\) có nghiệm kép khi và chỉ khi \(\Delta ' = 0\) \(\eqalign{ & \Delta ' = {m^2} - 5\left( { - 2m + 15} \right) = {m^2} + 10m - 75 \cr & \Delta ' = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 10m - 75 = 0 \cr & \Delta 'm = {5^2} - 1.\left( { - 75} \right) = 25 + 75 = 100 > 0 \cr & \sqrt {\Delta 'm} = \sqrt {100} = 10 \cr & {m_1} = {{ - 5 + 10} \over 1} = 5 \cr & {m_2} = {{ - 5 - 10} \over 1} = - 15 \cr} \) Vậy với m = 5 hoặc m = -15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép. b) Phương trình \(m{x^2} - 4\left( {m - 1} \right)x - 8 = 0\) có nghiệm kép khi và chỉ khi \(m \ne 0\) và \(\Delta ' = 0\) \(\eqalign{ & \Delta ' = {\left[ { - 2\left( {m - 1} \right)} \right]^2} - m.\left( { - 8} \right) \cr & = 4\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) + 8m \cr & = 4{m^2} - 8m + 4 + 8m \cr & = 4{m^2} + 4 \cr & \Delta ' = 0 \Leftrightarrow 4{m^2} + 4 = 0 \cr} \) Ta có \(4{m^2} \ge 0 \Rightarrow 4{m^2} + 4 \ge 0\) với mọi m Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép.
Câu 5.1 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ∆’ = 0. Điều nào sau đây là đúng? A) \({x_1} = {x_2} = {b \over {2a}}\) B) \({x_1} = {x_2} = - {{b'} \over a}\) C) \({x_1} = {x_2} = - {b \over a}\) D) \({x_1} = {x_2} = - {{b'} \over {2a}}\) Giải Giả sử x1, x2 là hai nghiệm của phương trình bậc hai \(a{x^2} + bx + c = 0\) có ∆’ = 0 Chọn B: \({x_1} = {x_2} = - {{b'} \over a}\) Câu 5.2 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Tìm mối liên hệ giữa a, b, c để phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm. Giải Phương trình \(\left( {{b^2} + {c^2}} \right){x^2} - 2acx + {a^2} - {b^2} = 0\) có nghiệm khi và chỉ khi \({b^2} + {c^2} \ne 0\) và \(\Delta ' \ge 0\) \({b^2} + {c^2} \ne 0\) suy ra b và c không đồng thời bằng 0. \(\eqalign{ & \Delta ' = {\left( { - ac} \right)^2} - \left( {{b^2} + {c^2}} \right)\left( {{a^2} - {b^2}} \right) \cr & = {a^2}{c^2} - {a^2}{b^2} + {b^4} - {a^2}{c^2} + {b^2}{c^2} \cr & = - {a^2}{b^2} + {b^4} + {c^2}{b^2} \cr & = {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \cr & \Delta ' \ge 0 \Rightarrow {b^2}\left( { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 0 \cr} \)) Vì \({b^2} \ge 0 \Rightarrow - {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge 0 \Leftrightarrow {b^2} + {c^2} \ge {a^2}\) Vậy với \({a^2} \le {b^2} + {c^2}\) thì phương trình đã cho có nghiệm. Câu 5.3 trang 56 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Chứng tỏ rằng phương trình \(\left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0\) luôn có nghiệm. Giải \(\eqalign{ & \left( {x - a} \right)\left( {x - b} \right) + \left( {x - b} \right)\left( {x - c} \right) + \left( {x - c} \right)\left( {x - a} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - bx - ax + ab + {x^2} - cx - bx + bc + {x^2} - ax - cx + ac = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 2\left( {a + b + c} \right)x + ab + bc + ac = 0 \cr & \Delta ' = {\left( {a + b + c} \right)^2} - 3\left( {ab + bc + ac} \right) \cr & = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2ac + 2bc - 3ab - 3ac - 3bc \cr & = {a^2} + {b^2} + {c^2} - ab - bc - ac \cr & = {1 \over 2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right) \cr & = {1 \over 2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right)} \right] \cr & = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right] \cr} \) Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) Suy ra: \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) \( \Rightarrow \Delta ' = {1 \over 2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2}} \right] \ge 0\) Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm.
