Câu 45 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình: a) \({\left( {x + 2} \right)^2} - 3x - 5 = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right)\) b) \({\left( {x - 1} \right)^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1\) c) \(x\left( {{x^2} - 6} \right) - {\left( {x - 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3}\) d) \({\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x + 7} \right)\left( {x - 7} \right) = 12x - 23\) Giải a) \(\eqalign{ & {\left( {x + 2} \right)^2} - 3x - 5 = \left( {1 - x} \right)\left( {1 + x} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 - 3x - 5 = 1 - {x^2} \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 2 = 0 \cr & \Delta = 1 - 4.2.\left( { - 2} \right) = 1 + 16 = 17 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {17} \cr & {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {17} } \over {2.2}} = {{\sqrt {17} - 1} \over 4} \cr & {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {17} } \over {2.2}} = - {{1 + \sqrt {17} } \over 4} \cr} \) b) \(\eqalign{ & {\left( {x - 1} \right)^3} + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1 \cr & \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1 + 2x = {x^3} - {x^2} - 2x + 1 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} - 7x + 2 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.2.2 = 49 - 16 = 33 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {33} \cr & {x_1} = {{7 + \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 + \sqrt {33} } \over 4} \cr & {x_2} = {{7 - \sqrt {33} } \over {2.2}} = {{7 - \sqrt {33} } \over 4} \cr} \) c) \(\eqalign{ & x\left( {{x^2} - 6} \right) - {\left( {x - 2} \right)^2} = {\left( {x + 1} \right)^3} \cr & \Leftrightarrow {x^3} - 6x - {x^2} + 4x - 4 = {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 \cr & \Leftrightarrow 4{x^2} + 5x + 5 = 0 \cr & \Delta = {5^2} - 4.4.5 = 25 - 80 = - 55 < 0 \cr} \) Phương trình vô nghiệm. d) \(\eqalign{ & {\left( {x + 5} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + \left( {x + 7} \right)\left( {x - 7} \right) = 12x - 23 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 10x + 25 + {x^2} - 4x + 4 + {x^2} - 49 - 12x + 23 = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \cr & \Delta ' = {1^2} - 1.1 = 1 - 1 = 0 \cr} \) Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = 1\) Câu 46 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình: a) \({{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\) b) \({{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\) c) \({{{x^2} - 3x + 5} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x - 3}}\) d) \({{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) e) \({{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\) f) \({{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\) Giải a) \({{12} \over {x - 1}} - {8 \over {x + 1}} = 1\) điều kiện: \(x \ne \pm 1\) \(\eqalign{ & \Rightarrow 12\left( {x + 1} \right) - 8\left( {x - 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 21} \right) = 4 + 21 = 25 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{2 + 5} \over 1} = 7 \cr & {x_2} = {{2 - 5} \over 1} = - 3 \cr} \) Giá trị x = 7; x = -3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 7;{x_2} = - 3\) b) \({{16} \over {x - 3}} + {{30} \over {1 - x}} = 3\) điều kiện: \( x \ne 3;x \ne 1\) \(\eqalign{ & \Rightarrow 16\left( {1 - x} \right) + 30\left( {x - 3} \right) = 3\left( {x - 3} \right)\left( {1 - x} \right) \cr & \Leftrightarrow 16 - 16x + 30x - 90 = 3x - 3{x^2} - 9 + 9x \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} + 2x - 65 = 0 \cr & \Delta ' = {1^2} - 3.\left( { - 65} \right) = 1 + 195 = 196 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {196} = 14 \cr & {x_1} = {{ - 1 + 14} \over 3} = {{13} \over 3} \cr & {x_2} = {{ - 1 - 14} \over 3} = - 5 \cr} \) Giá trị \(x = {{13} \over 3}\) và x = -5 thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{13} \over 3};{x_2} = - 5\) c) \({{{x^2} - 3x + 5} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = {1 \over {x - 3}}\) điều kiện: \(x \ne 3;x \ne - 2\) \( \Rightarrow {x^2} - 3x + 5 = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0\) Phương trình có dạng: \(\eqalign{ & a + b + c = 0 \cr & 1 + \left( { - 4} \right) + 3 = 0 \cr & {x_1} = 1;{x_2} = 3 \cr} \) Giá trị x = 3 không thỏa mãn điều kiện: loại Vậy phương trình có một nghiệm x = 1 d) \({{2x} \over {x - 2}} - {x \over {x + 4}} = {{8x + 8} \over {\left( {x - 2} \right)\left( {x + 4} \right)}}\) điều kiện: \(x \ne 2;x \ne - 4\) \(\eqalign{ & \Rightarrow 2x\left( {x + 4} \right) - x\left( {x - 2} \right) = 8x + 8 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 8x - {x^2} + 2x = 8x + 8 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 8 = 0 \cr & \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr & {x_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \cr & {x_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4 \cr} \) Cả hai giá trị x = 2 và x = -4 không thỏa mãn điều kiện: loại Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. e) \({{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {{x^3} - 1}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}}\) điều kiện \(x \ne 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{x^3} + 7{x^2} + 6x - 30} \over {\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = {{{x^2} - x + 16} \over {{x^2} + x + 1}} \cr & \Rightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 = \left( {{x^2} - x + 16} \right)\left( {x - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^3} + 7{x^2} + 6x - 30 = {x^3} - {x^2} + 16x - {x^2} + x - 16 \cr & \Leftrightarrow 9{x^2} - 11x - 14 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 11} \right)^2} - 4.9.\left( { - 14} \right) = 625 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr & {x_1} = {{11 + 25} \over {2.9}} = {{36} \over {18}} = 2 \cr & {x_2} = {{11 - 25} \over {2.9}} = {{ - 14} \over {18}} = - {7 \over 9} \cr} \) Giá trị x = 2 và \(x = - {7 \over 9}\) thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có hai nghiệm \({x_1} = 2;{x_2} = - {7 \over 9}\) f) \({{{x^2} + 9x - 1} \over {{x^4} - 1}} = {{17} \over {{x^3} + {x^2} + x + 1}}\) \( \Leftrightarrow {{{x^2} + 9x - 1} \over {\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)}} = {{17} \over {\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} + 1} \right)}}\) điều kiện \(x \ne \pm 1\) \(\eqalign{ & \Rightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17\left( {x - 1} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 1 = 17x - 17 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 9x - 17x - 1 + 17 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 8x + 16 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 4} \right)^2} - 1.16 = 16 - 16 = 0 \cr} \) Phương trình có nghiệm số kép: \({x_1} = {x_2} = 4\) Giá trị x = 4 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 4 Câu 47 trang 59 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích: a) \(3{x^2} + 6{x^2} - 4x = 0\) b) \({\left( {x + 1} \right)^3} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\) c) \({\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x - 1} \right)^2}\) d) \({\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\) e) \({\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} - 10{x^3} - 15x = 0\) f) \({x^3} - 5{x^2} - x + 5 = 0\) Giải Giải các phương trình sau bằng cách đưa về phương trình tích. a) \(3{x^3} + 6{x^2} - 4x = 0 \Leftrightarrow x\left( {3{x^2} + 6x - 4} \right) = 0\) x = 0 hoặc \(3{x^2} + 6x - 4 = 0\) \(\eqalign{ & 3{x^2} + 6x - 4 = 0 \cr & \Delta ' = {3^2} - 3.\left( { - 4} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {21} \cr & {x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 3} \cr} \) Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 3};{x_3} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 3}\) b) \(\eqalign{ & {\left( {x + 1} \right)^3} - x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^3} + 3{x^2} + 3x + 1 - x + 1 = {x^2} - 2x - x + 2 \cr & \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 5x = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2x + 5} \right) = 0 \cr} \) x = 0 hoặc \({x^2} + 2x + 5 = 0\) \(\eqalign{ & {x^2} + 2x + 5 = 0 \cr & \Delta ' = 1 - 1.5 = 1 - 5 = - 4 < 0 \cr} \) Phương trình vô nghiệm. Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 0 c) \(\eqalign{ & {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} = {\left( {4x - 1} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + x + 1} \right)^2} - {\left( {4x - 1} \right)^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right) + \left( {4x - 1} \right)} \right]\left[ {\left( {{x^2} + x + 1} \right) - \left( {4x - 1} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {{x^2} + x + 1 + 4x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 1 - 4x + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 5x} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = 0} \cr {x + 5 = 0} \cr {{x^2} - 3x + 2 = 0} \cr} } \right. \cr} \) x + 5 = 0 ⇒ x = -5 \({x^2} - 3x + 2 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0\), ta có: \(1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\) \({x_1} = 1;{x_2} = 2\) Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = - 5;{x_3} = 1;{x_4} = 2\) d) \(\eqalign{ & {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} = 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) \cr & \Leftrightarrow {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right)^2} - 6\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left[ {\left( {{x^2} + 3x + 2} \right) - 6} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x + 2} \right)\left( {{x^2} + 3x - 4} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{x^2} + 3x + 2 = 0} \cr {{x^2} + 3x - 4 = 0} \cr} } \right. \cr} \) \({x^2} + 3x + 2 = 0\) có dạng: \(a - b + c = 0\), ta có: \(\eqalign{ & 1 - 3 + 2 = 0 \cr & {x_1} = - 1;{x_2} = - 2 \cr} \) \({x^2} + 3x - 4 = 0\) có dạng: \( a + b + c = 0\) \(\eqalign{ & 1 + 3 + \left( { - 4} \right) = 0 \cr & {x_3} = 1;{x_4} = - 4 \cr} \) Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: \({x_1} = - 1;{x_2} = - 2;{x_3} = 1;{x_4} = - 4\) e) \(\eqalign{ & {\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} - 10{x^3} - 15x = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + 3} \right)^2} - 5x\left( {2{x^2} + 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {2{x^2} + 3} \right)\left( {2{x^2} + 3 - 5x} \right) = 0 \cr} \) Ta có: \(\eqalign{ & 2{x^2} \ge 0 \Rightarrow 2{x^2} + 3 > 0 \cr & \Rightarrow 2{x^2} - 5x + 3 = 0 \cr} \) Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\) Ta có: \(\eqalign{ & 2 + \left( { - 5} \right) + 3 = 0 \cr & {x_1} = 1;{x_2} = {3 \over 2} \cr} \) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = {3 \over 2}\) f) \(\eqalign{ & {x^3} - 5{x^2} - x + 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 5} \right) - \left( {x - 5} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {{x^2} - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 5} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) = 0 \cr & \left[ {\matrix{ {x - 5 = 0} \cr {x + 1 = 0} \cr {x - 1 = 0} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = 5} \cr {x = - 1} \cr {x = 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \) Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \({x_1} = 5;{x_2} = - 1;{x_3} = 1\) Câu 48 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình trùng phương: a) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\) b) \({y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\) c) \({z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\) d) \(36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\) e) \({1 \over 3}{x^4} - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0\) f) \(\sqrt 3 {x^4} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} - 2 = 0\) Giải a) \({x^4} - 8{x^2} - 9 = 0\) đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\) Ta có phương trình: \({t^2} - 8t - 9 = 0\) có dạng \(a - b + c = 0\) Ta có: \(\eqalign{ & 1 - \left( { - 8} \right) + \left( { - 9} \right) = 0 \cr & {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 9} \over 1} = 9 \cr} \) \({t_1} = - 1 < 0\) loại \( \Rightarrow {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3\) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: \({x_1} = 3;{x_2} = - 3\) b) \({y^4} - 1,16{y^2} + 0,16 = 0\) đặt \({y^2} = t \Rightarrow t \ge 0\) Ta có phương trình: \({t^2} - 1,16t + 0,16 = 0\) Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\) Ta có: \(\eqalign{ & 1 + \left( { - 1,16} \right) + 0,16 = 0 \cr & {t_1} = 1;{t_2} = 0,16 \cr & \Rightarrow {y^2} = 1 \Rightarrow y = \pm 1 \cr & {y^2} = 0,16 \Rightarrow y = \pm 0,4 \cr} \) Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({y_1} = 1;{y_2} = - 1;{y_3} = 0,4;{y_4} = - 0,4\) c) \({z^4} - 7{z^2} - 144 = 0\) đặt \({z^2} = t \Rightarrow t \ge 0\) Ta có phương trình: \({t^2} - 7t - 144 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left( { - 7} \right)^2} - 4.1.\left( { - 144} \right) = 49 + 576 = 625 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {625} = 25 \cr & {t_1} = {{7 + 25} \over {2.1}} = 16 \cr & {t_2} = {{7 - 25} \over {2.1}} = - 9 \cr} \) \({t_2} = - 9 < 0\) loại \( \Rightarrow {z^2} = 16 \Leftrightarrow z = \pm 4\) Vậy phương trình có hai nghiệm: \({z_1} = 4;{z_2} = - 4\) d) \(36{t^4} - 13{t^2} + 1 = 0\) đặt \({t^2} = u \Rightarrow u \ge 0\) Ta có phương trình: \(36{u^2} - 13u + 1 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left( { - 13} \right)^2} - 4.36.1 = 169 - 144 = 25 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr & {u_1} = {{13 + 5} \over {2.36}} = {{18} \over {72}} = {1 \over 4} \cr & {u_2} = {{13 - 5} \over {2.36}} = {8 \over {72}} = {1 \over 9} \cr & {t^2} = {1 \over 4} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 2} \cr & {t^2} = {1 \over 9} \Leftrightarrow t = \pm {1 \over 3} \cr} \) Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = {1 \over 2};{x_2} = - {1 \over 2};{x_3} = {1 \over 3};{x_4} = - {1 \over 3}\) e) \(\eqalign{ & {1 \over 3}{x^4} - {1 \over 2}{x^2} + {1 \over 6} = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^4} - 3{x^2} + 1 = 0 \cr} \) Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\) Ta có phương trình: \(2{t^2} - 3t + 1 = 0\) Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\) Ta có: \(\eqalign{ & 2 + \left( { - 3} \right) + 1 = 0 \cr & {t_1} = 1;{t_2} = {1 \over 2} \cr & \Rightarrow {x^2} = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \cr & {x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \pm {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \) Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = {{\sqrt 2 } \over 2};{x_4} = - {{\sqrt 2 } \over 2}\) f) \(\sqrt 3 {x^4} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right){x^2} - 2 = 0\) đặt \({x_2} = t \Rightarrow t \ge 0\) Ta có phương trình: \(\sqrt 3 {t^2} - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)t - 2 = 0\) Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0\) Ta có: \(\eqalign{ & \sqrt 3 - \left[ { - \left( {2 - \sqrt 3 } \right)} \right] + \left( { - 2} \right) \cr & = \sqrt 3 - \left( {\sqrt 3 - 2} \right) + \left( { - 2} \right) \cr & = \sqrt 3 - \sqrt 3 + 2 - 2 = 0 \cr & {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 2} \over {\sqrt 3 }} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \cr} \) \({t_1} = - 1 < 0\) loại \({x^2} = {{2\sqrt 3 } \over 3} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{{2\sqrt 3 } \over 3}} = \pm {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\) Phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3};{x_2} = - {{\sqrt {6\sqrt 3 } } \over 3}\) Câu 49 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau. Giải Phương trình: \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0\) Ta có phương trình: \(a{t^2} + bt + c = 0\) Vì a và c trái dấu ⇒ ac < 0. Phương trình có hai nghiệm phân biệt: t1 và t2 Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({t_1}.{t_2} = {c \over a} < 0\) nên t1 và t2 trái dấu. Giả sử t1 < 0; t2 > 0. Vì t ≥ 0 ⇒ t1 < 0 loại \( \Rightarrow {x^2} = {t_2} \Rightarrow x = \pm \sqrt {{t_2}} \) Vậy phương trình trùng phương: \(a{x^4} + b{x^2} + c = 0\) có hệ số a và c trái dấu thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm đối nhau. Câu 50 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình sau bằng cách đặt ẩn phụ: a) \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\) b) \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\) c) \({\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0\) d) \(\left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3\) e) \({{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0\) f) \(x - \sqrt {x - 1} - 3 = 0\) Giải a) \({\left( {4x - 5} \right)^2} - 6\left( {4x - 5} \right) + 8 = 0\) đặt \(4x - 5 = t,\) ta có phương trình: \(\eqalign{ & {t^2} - 6t + 8 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.8 = 9 - 8 = 1 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 1 = 1 \cr & {t_1} = {{3 + 1} \over 1} = 4 \cr & {t_2} = {{3 - 1} \over 1} = 2 \cr} \) Suy ra: \(\left[ {\matrix{ {4x - 5 = 4} \cr {4x - 5 = 2} \cr } \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {4x = 9} \cr {4x = 7} \cr} \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {9 \over 4}} \cr {x = {7 \over 4}} \cr} } \right.} \right.} \right.\) Phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {9 \over 4};{x_2} = {7 \over 4}\) b) \({\left( {{x^2} + 3x - 1} \right)^2} + 2\left( {{x^2} + 3x - 1} \right) - 8 = 0\) đặt \({x^2} + 3x - 1 = t\) Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 8 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 8} \right) = 1 + 8 = 9 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 9 = 3 \cr & {t_1} = {{ - 1 + 3} \over 1} = 2 \cr & {t_2} = {{ - 1 - 3} \over 1} = - 4 \cr} \) Với t1 = 2 ta có: \({x^2} + 3x - 1 = 2 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 3 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = 9 - 4.1.\left( { - 3} \right) = 9 + 12 = 21 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr & {x_1} = {{ - 3 + \sqrt {21} } \over 1} = - 3 + \sqrt {21} \cr & {x_2} = {{ - 3 - \sqrt {21} } \over 1} = - 3 - \sqrt {21} \cr} \) Với t2 = -4 ta có: \({x^2} + 3x - 1 = - 4 \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 3 = 0\) \(\Delta = {3^2} - 4.1.3 = 9 - 12 = - 3 < 0\) Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = - 3 + \sqrt {21} ;{x_2} = - 3 - \sqrt {21} \) c) \(\eqalign{ & {\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 10{x^2} + 5x - 16 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + x - 2} \right)^2} + 5\left( {2{x^2} + x - 2} \right) - 6 = 0 \cr} \) Đặt \(2{x^2} + x - 2 = t\) Ta có phương trình: \({t^2} + 5t - 6 = 0\) có dạng: \(\eqalign{ & a + b + c = 0;1 + 5 + \left( { - 6} \right) = 0 \cr & {t_1} = 1;{t_2} = - 6 \cr} \) Với t1 = 1 ta có: \(2{x^2} + x - 2 = 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + x - 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0\) \(2 + 1 + \left( { - 3} \right) = 0 \Rightarrow {x_1} = 1;{x_2} = - {3 \over 2}\) Với t2 = -6 ta có: \(2{x^2} + x - 2 = - 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + x + 4 = 0\) \(\Delta = {1^2} - 4.2.4 = 1 - 32 = - 31 < 0\) Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = - {3 \over 2}\) d) \(\eqalign{ & \left( {{x^2} - 3x + 4} \right)\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) + 2} \right]\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) = 3 \cr & \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 3x + 2} \right)^2} + 2\left( {{x^2} - 3x + 2} \right) - 3 = 0 \cr} \) Đặt \({x^2} - 3x + 2 = t\) Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 3 = 0\) có dạng: \(\eqalign{ & a + b + c = 0;1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0 \cr & {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3 \cr} \) Với t1 = 1 ta có: \({x^2} - 3x + 2 = 1 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 1 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.1 = 9 - 4 = 5 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr & {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2} \cr & {x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \) Với t2 = -3 ta có: \({x^2} - 3x + 2 = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 5 = 0\) \(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.5 = 9 - 20 = - 11 < 0\) Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\) e) \(\eqalign{ & {{2{x^2}} \over {{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} - {{5x} \over {x + 1}} + 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{\left( {{x \over {x + 1}}} \right)^2} - 5\left( {{x \over {x + 1}}} \right) + 3 = 0 \cr} \) Đặt \({x \over {x + 1}} = t,\) ta có phương trình: \(2{t^2} - 5t + 3 = 0\) \(2{t^2} - 5t + 3 = 0\) có dạng: \(a + b + c = 0;2 + \left( { - 5} \right) + 3 = 0\) \({t_1} = 1;{t_2} = {3 \over 2}\) Với \({t_1} = 1\) ta có: \({x \over {x + 1}} = 1 \Leftrightarrow x = x + 1 \Rightarrow 0x = 1\) vô nghiệm Với t2 = \({3 \over 2}\) ta có: \({x \over {x + 1}} = {3 \over 2} \Leftrightarrow 2x = 3x + 3 \Rightarrow x = - 3\) x = -3 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = -3 f) \(x - \sqrt {x - 1} - 3 = 0\) điều kiện: x ≥ 1 \( \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right) - \sqrt {x - 1} - 2 = 0\) đặt \(\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0\) Ta có phương trình: \({t^2} - t - 2 = 0\) có dạng: \(a - b + c = 0\) \(\eqalign{ & 1 - \left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right) = 1 + 1 - 2 = 0 \cr & {t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 2} \over 1} = 2 \cr} \) \({t_1} = - 1 < 0\) loại Với \({t_2} = 2\) ta có: \(\sqrt {x - 1} = 2 \Rightarrow x - 1 = 4 \Rightarrow x = 5\) x = 5 thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình có 1 nghiệm: x = 5
Câu 7.1 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Giải các phương trình: a) \({x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0\) b) \(5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\) Giải a) \(\eqalign{ & {x^4} - 2{x^3} + 3{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^4} - 2{x^3} + {x^2} + 2{x^2} - 2x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2x\left( {x - 1} \right) - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left[ {x\left( {x - 1} \right)} \right]^2} + 2.x\left( {x - 1} \right) - 3 = 0 \cr} \) Đặt \(x\left( {x - 1} \right) = t\) Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 3 = 0\) có dạng \(a + b + c = 0\) \(1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0 \Rightarrow {t_1} = 1;{t_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3\) Với t1 = 1 ta có: \(x\left( {x - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 1} \right) = 1 + 4 = 5 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt 5 \cr & {x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2} \cr & {x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over {2.1}} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2} \cr} \) Với t2 = -3 ta có: \(x\left( {x - 1} \right) = - 3 \Leftrightarrow {x^2} - x + 3 = 0\) \(\Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.3 = 1 - 12 = - 11 < 0\) Phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\) b) \(5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\) điều kiện \(3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\) \( \Rightarrow 5 - \sqrt {3 - 2x} = 3 - 2x\) đặt \(\sqrt {3 - 2x} = t \Rightarrow t \ge 0\) Ta có phương trình: \(5 - t = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} + t - 5 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 1 + 20 = 21 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr & {t_1} = {{ - 1 + \sqrt {21} } \over {2.1}} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr & {t_2} = {{ - 1 - \sqrt {21} } \over {2.1}} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} \cr} \) \({t_2} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} < 0\) loại \(\eqalign{ & \Rightarrow \sqrt {3 - 2x} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr & \Rightarrow 3 - 2x = {{21 - 2\sqrt {21} + 1} \over 4} \cr & \Leftrightarrow 12 - 8x = 22 - 2\sqrt {21} \cr & \Leftrightarrow 8x = 12 - 22 + 2\sqrt {21} \cr & \Rightarrow x = {{2\left( {\sqrt {21} - 5} \right)} \over 8} = {{\sqrt {21} - 5} \over 4} \cr} \) Phương trình có 1 nghiệm: \(x = {{\sqrt {21} - 5} \over 4}\) Câu 7.2 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Cho phương trình \(x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\) a) Giải phương trình khi m = 2. b) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m. Giải a) Khi m = 2 ta có phương trình: \(x + 2\sqrt {x - 1} - 3 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\) Đặt \(\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0;x + 2\sqrt {x - 1} - 3 = 0 \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1} - 2 = 0\) Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 2 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 2} \right) = 1 + 2 = 3 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 \cr & {t_1} = {{ - 1 + \sqrt 3 } \over 1} = - 1 + \sqrt 3 \cr & {t_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 } \over 1} = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cr} \) \({t_2} = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) < 0\) loại \(\eqalign{ & \Rightarrow \sqrt {x - 1} = \sqrt 3 - 1 \cr & \Rightarrow x - 1 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow x - 1 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 \cr & \Leftrightarrow x = 5 - 2\sqrt 3 \cr} \) Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x = 5 - 2\sqrt 3 \) b) \(x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\) \( \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 10 = 0\) Đặt \(\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0\) Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - {m^2} + 6m - 10 = 0\) \(a = 1 > 0;c = - {m^2} + 6m - 10 = - \left( {{m^2} - 6m + 9 + 1} \right) = - \left[ {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 1} \right] < 0\) nên c < 0 ⇒ a và c khác dấu, phương trình có hai nghiệm. Phân biệt t1 và t2 trái dấu nhau. Giả sử t1 > 0 \( \Rightarrow x = {t_1}^2 + 1\) Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm Câu 7.3 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 (Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997) Tìm giá trị của m để phương trình \(\left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0\) có đúng ba nghiệm phân biệt. Giải Phương trình: \(\eqalign{ & \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(1)} \cr {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(2)} \cr} } \right. \cr} \) Ta xét phương trình (1): \({x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\) \({\Delta _1}' = {\left( { - m} \right)^2} - 1.\left[ { - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = {m^2} + 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0\) với mọi m Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt Ta xét phương trình (2): \({x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\) \(\eqalign{ & {\Delta _2}' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left[ { - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] \cr & = 4 + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) \cr & = 2{m^3} + 2m + 4 \cr} \) Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta _2}' \ge 0\) \(\eqalign{ & \Rightarrow 2{m^3} + 2m + 4 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {m^3} + m + 2 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {m^3} + {m^2} - {m^2} - m + 2m + 2 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2}\left( {m + 1} \right) - m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} - m + 2} \right) \ge 0 \cr} \) Vì \({m^2} - m + 2 = {m^2} - 2.{1 \over 2}m + {1 \over 4} + {7 \over 4} = {\left( {m - {1 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} > 0\) \( \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 1\) Vậy với m ≥ -1 thì phương trình (2) có nghiệm. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi sảy ra một trong hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Phương trình (2) có 1 nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1). Ta có: \({\Delta _2}' = 0\) suy ra m = -1 và nghiệm kép phương trình (2): x = 2 Thay x = 2 vào phương trình (1) ta có: \(4 - 4m - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow 4 - 4m - 4{m^2} - 4 \ne 0 \cr & \Leftrightarrow - 4m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr & \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {m \ne 0} \cr {m \ne - 1} \cr} } \right.\) vô lý loại vì m = -1 Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 trong đó có 1 nghiệm giả sử là x1cũng là nghiệm của phương trình (1). Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {\Delta _2}' > 0 \Leftrightarrow m > - 1\) Và \(\left\{ {\matrix{ {{x_1}^2 - 2m{x_1} - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr {{x_1}^2 - 4{x_1} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0} \cr} } \right.\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2{m^3} + 2m - 4{m^2} - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {{m^3} - 2{m^2} + m - 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left[ {{m^2}\left( {m - 2} \right) + \left( {m - 2} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {4 - 2m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {2 - m} \right){x_1} + 2\left( {m - 2} \right)\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {x_1} = {m^2} + 1 \cr} \) Vì x1 cũng là nghiệm của phương trình (1) nên thay \({x_1} = {m^2} + 1\) vào phương trình (1) ta có: \(\eqalign{ & {\left( {{m^2} + 1} \right)^2} - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {{m^2} + 1} \right)\left[ {{m^2} + 1 - 2m - 4} \right] = 0 \cr} \) (vì \({m^2} + 1 > 0\) ) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {m^2} + 1 - 2m - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2} - 3m + m - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) + \left( {m - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {m - 3} \right)\left( {m + 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {m = 3} \cr {m = - 1} \cr} } \right. \cr} \) Vì m > -1 nên m = -1 loại Vậy m = 3. Thay m = 3 vào phương trình (1) và (2) ta có: Phương trình (1): \({x^2} - 6x - 40 = 0\) Phương trình (2): \({x^2} - 4x - 60 = 0\) Giải phương trình (1): \(\eqalign{ & {x^2} - 6x - 40 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 3} \right)^2} - 1.\left( { - 40} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {49} = 7 \cr & {x_1} = {{3 + 7} \over 1} = 10 \cr & {x_2} = {{3 - 7} \over 1} = - 4 \cr} \) Giải phương trình (2): \(\eqalign{ & {x^2} - 4x - 60 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left( { - 60} \right) = 4 + 60 = 64 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {64} = 8 \cr & {x_1} = {{2 + 8} \over 1} = 10 \cr & {x_2} = {{2 - 8} \over 1} = - 6 \cr} \) Vậy phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm khi m = 3
