Câu 67 trang 63 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Cho hai hàm số: \(y = 2x - 3\) và \(y = - {x^2}\) a) Vẽ đồ thị hai hàm số này trong cùng một mặt phẳng tọa độ. b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị. c) Kiểm nghiệm rằng tọa độ của mỗi giao điểm đều là nghiệm chung của hai phương trình hai ẩn y = 2x – 3 và \(y = - {x^2}\) Giải a) Vẽ đồ thị hàm số: \(y = 2x - 3\) Cho x = 0 ⇒ y = -3(0; -3) Cho y = 0 ⇒ x = 1,5(1,5; 0) Vẽ đồ thị hàm số: x-2-1012\(y = - {x^2}\)-4-10-1-4b) Tọa độ giao điểm của hai đồ thị: A(1; -1) và B(-3; -9) c) Thay tọa độ của A và B vào phương trình: \(y = 2x - 3\) ta có: \( - 1 = 2.1 - 3; - 9 = 2.\left( { - 3} \right) - 3\) Thay tọa độ của A và B vào phương trình: \(y = - {x^2}\) \( - 1 = - {1^2} = - 1; - 9 = - {\left( { - 3} \right)^2} = - 9\) Vậy tọa độ của A và B là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\matrix{ {y = 2x - 3} \cr {y = - {x^2}} \cr} } \right.\) Câu 68 trang 63 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình: a) \(3{x^2} + 4\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 3\) b) \({x^2} + x + \sqrt 3 = \sqrt 3 x + 6\) c) \({{x + 2} \over {1 - x}} = {{4{x^2} - 11x - 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\) d) \({{{x^2} + 14x} \over {{x^3} + 8}} = {x \over {x + 2}}\) Giải a) \(\eqalign{ & 3{x^2} + 4\left( {x - 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + 3 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2} + 4x - 4 = {x^2} - 2x + 1 + 3 \cr & \Leftrightarrow 2{x^2} + 6x - 8 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \cr} \) Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0\); ta có: \(\eqalign{ & 1 + 3 + \left( { - 4} \right) = 0 \cr & {x_1} = 1;{x_2} = - 4 \cr} \) b) \(\eqalign{ & {x^2} + x + \sqrt 3 = \sqrt 3 x + 6 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x + \sqrt 3 - 6 = 0 \cr & \Delta = {\left( {1 - \sqrt 3 } \right)^2} - 4.1.\left( {\sqrt 3 - 6} \right) \cr & = 1 - 2\sqrt 3 + 3 - 4\sqrt 3 + 24 = 28 - 6\sqrt 3 \cr & = 27 - 2.3\sqrt 3 + 1 \cr & = {\left( {3\sqrt 3 } \right)^2} - 2.3\sqrt 3 + 1 \cr & = {\left( {3\sqrt 3 - 1} \right)^2} > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {{{\left( {3\sqrt 3 - 1} \right)}^2}} = 3\sqrt 3 - 1 \cr & {x_1} = {{\sqrt 3 - 1 + 3\sqrt 3 - 1} \over {2.1}} = {{4\sqrt 3 - 2} \over 2} = 2\sqrt 3 - 1 \cr & {x_2} = {{\sqrt 3 - 1 - 3\sqrt 3 + 1} \over {2.1}} = {{ - 2\sqrt 3 } \over 2} = - \sqrt 3 \cr} \) c) \({{x + 2} \over {1 - x}} = {{4{x^2} - 11x - 2} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}}\) điều kiện: \(x \ne 1;x \ne - 2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{x + 2} \over {1 - x}} = {{11x + 2 - 4{x^2}} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)}} \cr & \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} = 11x + 2 - 4{x^2} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 = 11x + 2 - 4{x^2} \cr & \Leftrightarrow 5{x^2} - 7x + 2 = 0 \cr} \) Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0 \Rightarrow 5 + \left( { - 7} \right) + 2 = 0\) \({x_1} = 1;{x_2} = {2 \over 5}\) x1 = 1 không thỏa mãn điều kiện: loại. Vậy phương trình có 1 nghiệm: \(x = {2 \over 5}\) d) \({{{x^2} + 14x} \over {{x^3} + 8}} = {x \over {x + 2}}\) điều kiện: \(x \ne - 2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{{x^2} + 14x} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)}} = {x \over {x + 2}} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 14x = x\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 14x = {x^3} - 2{x^2} + 4x \cr & \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - 10x = 0 \cr & \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 3x - 10} \right) = 0 \cr & \Rightarrow \left[ {\matrix{ {x = 0} \cr {{x^2} - 3x - 10 = 0} \cr} } \right. \cr} \) \(\eqalign{ & {x^2} - 3x - 10 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.1.\left( { - 10} \right) = 9 + 40 = 49 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {49} = 7 \cr & {x_1} = {{3 + 7} \over {2.1}} = {{10} \over 2} = 5 \cr & {x_2} = {{3 - 7} \over {2.1}} = {{ - 4} \over 2} = - 2 \cr} \) Giá trị x = -2 không thỏa mãn điều kiện: loại. Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = 5\) Câu 69 trang 63 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình trùng phương a) \({x^4} + 2{x^2} - x + 1 = 15{x^2} - x - 35\) b) \(2{x^4} + {x^2} - 3 = {x^4} + 6{x^2} + 3\) c) \(3{x^4} - 6{x^2} = 0\) d) \(5{x^4} - 7{x^2} - 2 = 3{x^4} - 10{x^2} - 3\) Giải a) \(\eqalign{ & {x^4} + 2{x^2} - x + 1 = 15{x^2} - x - 35 \cr & \Leftrightarrow {x^4} + 2{x^2} - x + 1 - 15{x^2} + x + 35 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^4} - 13{x^2} + 36 = 0 \cr} \) Đặt \({x^2} = t;t \ge 0\) Ta có phương trình: \({t^2} - 13t + 36 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {\left( { - 13} \right)^2} - 4.1.36 = 169 - 144 = 25 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr & {t_1} = {{13 + 5} \over {2.1}} = {{18} \over 2} = 9 \cr & {t_2} = {{13 - 5} \over {2.1}} = {8 \over 2} = 4 \cr & {x^2} = 9 \Leftrightarrow x = \pm 3 \cr & {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2 \cr} \) Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 3;{x_2} = - 3;{x_3} = 2;{x_4} = - 2\) b) \(\eqalign{ & 2{x^4} + {x^2} - 3 = {x^4} + 6{x^2} + 3 \cr & \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^2} - 6 = 0 \cr} \) Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \({t^2} - 5t - 6 = 0\) Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 5} \right) + \left( { - 6} \right) = 0\) \({t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 6} \over 1} = 6\) t1 = -1 < 0: loại \({x^2} = 6 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 6 \) Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = \sqrt 6 ;{x_2} = - \sqrt 6 \) c) \(\eqalign{ & 3{x^4} - 6{x^2} = 0 \cr & \Leftrightarrow 3{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {3{x^2} = 0} \cr {{x^2} - 2 = 0} \cr } \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = 0} \cr {x = \pm \sqrt 2 } \cr} } \right.} \right. \cr} \) Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = \sqrt 2 ;{x_3} = - \sqrt 2 \) d) \(5{x^4} - 7{x^2} - 2 = 3{x^4} - 10{x^2} - 3 \Leftrightarrow 2{x^4} + 3{x^2} + 1 = 0\) Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \(2{t^2} + 3t + 1 = 0\) Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0;2 - 3 + 1 = 0\) \({t_1} = - 1;{t_2} = - {1 \over 2}\) Cả hai giá trị t1 và t2 đều nhỏ hơn 0: loại. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Câu 70 trang 63 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Giải các phương trình sau bằng phương pháp đặt ẩn phụ: a) \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0\) b) \(3\sqrt {{x^2} + x + 1} - x = {x^2} + 3\) Giải a) \(\eqalign{ & {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2{x^2} + 4x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2x} \right)^2} - 2\left( {{x^2} - 2x} \right) - 3 = 0 \cr} \) Đặt \({x^2} - 2x = t,\) ta có phương trình: \({t^2} - 2t - 3 = 0\) Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\) \({t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 3} \over 1} = 3\) Ta có: \(\eqalign{ & {x^2} - 2x = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 1} \right)^2} - 1.1 = 1 - 1 = 0 \cr} \) Phương trình có nghiệm số kép: x1 = x2 = 1 \({x^2} - 2x = 3 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 3 = 0\) Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 2} \right) + \left( { - 3} \right) = 0\) \({x_1} = - 1;{x_2} = - {{ - 3} \over 1} = 3\) Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = - 1;{x_3} = 3\) b) \(3\sqrt {{x^2} + x + 1} - x = {x^2} + 3,\) ta có: \({x^2} + x + 1 = {\left( {x + {1 \over 2}} \right)^2} + {3 \over 4} \ge 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + x + 1 - 3\sqrt {{x^2} + x + 1} + 2 = 0\) Đặt \(\sqrt {{x^2} + x + 1} = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \({t^2} - 3t + 2 = 0\) Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0;1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\) \({t_1} = 1;{t_2} = 2\) \(\eqalign{ & \Rightarrow \sqrt {{x^2} + x + 1} = 1 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 1 \cr & \Leftrightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0 \cr & \Rightarrow \left[ {\matrix{ {x = 0} \cr {x + 1 = 0} \cr } \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = 0} \cr {x = - 1} \cr} } \right.} \right. \cr} \) \(\eqalign{ & \sqrt {{x^2} + x + 1} = 2 \Rightarrow {x^2} + x + 1 = 4 \cr & \Rightarrow {x^2} + x - 3 = 0 \cr & \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 3} \right) = 1 + 12 = 13 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {13} \cr & {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2} \cr & {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over {2.1}} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2} \cr} \) Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = {{ - 1 + \sqrt {13} } \over 2};{x_4} = {{ - 1 - \sqrt {13} } \over 2}\) Câu 71 trang 63 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Cho phương trình: \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + m - 1 = 0\) a) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm. b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m: \({x_1} + {x_2};{x_1}{x_2};{x_1}^2 + {x_2}^2\) Giải a) Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(\Delta ' \ge 0\) \(\eqalign{ & \Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 1\left( {{m^2} + m - 1} \right) \cr & = {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - m + 1 = m + 2 \cr & \Delta ' \ge 0 \Rightarrow m + 2 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 2 \cr} \) Vậy với m ≥ -2 thì phương trình đã cho có nghiệm. b) Phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\eqalign{ & {x_1} + {x_2} = {{2\left( {x + 1} \right)} \over 1} = 2m + 2 \cr & {x_1}{x_2} = {{{m^2} + m - 1} \over 1} = {m^2} + m - 1 \cr & {x_1}^2 + {x_2}^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} \cr & = {\left( {2m + 2} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + m - 1} \right) \cr & = 4{m^2} + 8m + 4 - 2{m^2} - 2m + 2 \cr & = 2{m^2} + 6m + 6 \cr} \) Câu 72 trang 63 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 10 và tích của chúng bằng -10. Giải Hai số có tổng bằng 10 và tích bằng -10 nó là nghiệm của phương trình: \(\eqalign{ & {x^2} - 10x - 10 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 5} \right)^2} - 1.\left( { - 10} \right) = 25 + 10 = 35 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {35} \cr & {x_1} = {{5 + \sqrt {35} } \over 1} = 5 + \sqrt {35} \cr & {x_2} = {{5 - \sqrt {35} } \over 1} = 5 - \sqrt {35} \cr} \) Câu 73 trang 63 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời hạn nhất định. Ba ngày đầu mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó mỗi ngày họ đều khai thác vượt định mức 8 tấn. Do đó họ khai thác được 232 tấn và xong trước thời hạn một ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than? Giải Gọi lượng than mà mỗi đội dự định khai thác mỗi ngày theo kế hoạch là x (tấn) Điều kiện: x > 0 Thời gian dự định khai thác là \({{216} \over x}\) ngày Lượng than khai thác 3 ngày đầu là 3x tấn Lượng than khai thác trong những ngày còn lại là \(232 - 3x\) (tấn) Mỗi ngày sau đội khai thác được x + 8 tấn Thời gian đội khai thác 232 – 3x tấn là \({{232 - 3x} \over {x + 8}}\) ngày. Ta có phương trình: \(\eqalign{ & {{216} \over x} - 1 = 3 + {{232 - 3x} \over {x + 8}} \cr & \Rightarrow 216\left( {x + 8} \right) - x\left( {x + 8} \right) = 3x\left( {x + 8} \right) + \left( {232 - 3x} \right)x \cr & \Leftrightarrow 216x + 1728 - {x^2} - 8x = 3{x^2} + 24x + 232x - 3{x^2} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 48x - 1728 = 0 \cr & \Delta ' = {24^2} - 1.\left( { - 1728} \right) = 576 + 1728 = 2304 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt {2304} = 48 \cr & {x_1} = {{ - 24 + 48} \over 1} = 24 \cr & {x_2} = {{ - 24 - 48} \over 1} = - 72 \cr} \) x2 = -72 < 0 không thỏa mãn điều kiện: loại. Vậy theo kế hoạch mỗi ngày đội khai thác 24 tấn than. Câu 74 trang 63 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một ca nô đi từ A đến B, nghỉ 40 phút ở B rồi lại trở về bến A. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến A là 6 giờ. Tính vận tốc của ca nô khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 30km/h. Giải Gọi vận tốc ca nô khi nước yên lặng là x (km/h); điều kiện: x > 3 Thì vận tốc lúc đi xuôi dòng là x + 3 (km/h) Vận tốc ca nô đi ngược dòng là x – 3 (km/h) Thời gian đi xuôi dòng là \({{30} \over {x + 3}}\) giờ Thời gian đi ngược dòng là \({{30} \over {x - 3}}\) giờ Ta có phương trình: \(\eqalign{ & {{30} \over {x + 3}} + {{30} \over {x - 3}} = {{16} \over 3} \cr & \Rightarrow 90\left( {x - 3} \right) + 90\left( {x + 3} \right) = 16\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right) \cr & \Leftrightarrow 90x - 270 + 90x + 270 = 16{x^2} - 144 \cr & \Leftrightarrow 16{x^2} - 180x - 144 = 0 \cr & \Leftrightarrow 4{x^2} - 45x - 36 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 45} \right)^2} - 4.4.\left( { - 36} \right) = 2025 + 675 = 2601 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {2601} = 51 \cr & {x_1} = {{45 + 51} \over {2.4}} = {{96} \over 8} = 12 \cr & {x_2} = {{45 - 51} \over {2.4}} = {{ - 6} \over 8} = - {3 \over 4} \cr} \) \({x_2} = - {3 \over 4} < 0\) không thỏa mãn điều kiện: loại. Vậy vận tốc ca nô khi nước yên lặng là 12 km/h.
Câu IV.1 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Cho hàm số \(y = - 3{x^2}\). Khẳng định nào sau đây là đúng? A) Khi 0 < x < 15, hàm số đồng biến B) Khi -1 < x < 1, hàm số đồng biến C) Khi -15 < x < 0, hàm số đồng biến D) Khi -15 < x < 1, hàm số đồng biến Giải Cho hàm số: \(y = - 3{x^2}\). Khẳng định sau đây là đúng. Chọn C) Khi -15 < x < 0, hàm số đồng biến. Câu IV.2 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Muốn tìm hai số khi biết tổng của chúng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta giải phương trình nào sau đây? A) \({x^2} + Sx + P = 0\) B) \({x^2} - Sx + P = 0\) C) \({x^2} - Sx - P = 0\) D) \({x^2} + Sx - P = 0\) Giải Muốn tìm hai số khi biết tổng bằng S, tích của chúng bằng P thì ta phải giải phương trình Chọn B) \({x^2} - Sx + P = 0\) Câu IV.3 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Giải các phương trình: a) \({x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0\) b) \({x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0\) c) \(2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left( {1 - 3\sqrt 2 } \right){x^2} - 3x - 4 = 0\) d) \(\left( {2{x^2} + 7x - 8} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0\) Giải a) \(\eqalign{ & {x^3} + 4{x^2} + x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^3} + 2{x^2} + 2{x^2} + 4x - 3x - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2}\left( {x + 2} \right) + 2x\left( {x + 2} \right) - 3\left( {x + 2} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} + 2x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x + 2 = 0} \cr {{x^2} + 2x - 3 = 0} \cr } } \right. \cr & x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = - 2 \cr} \) \({x^2} + 2x - 3 = 0\). Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0;1 + 2 + \left( { - 3} \right) = 0\) \({x_1} = 1;{x_2} = {{ - 3} \over 1} = - 3\) Vậy phương trình có 3 nghiệm: \({x_1} = - 2;{x_2} = 1;{x_3} = - 3\) b) \(\eqalign{ & {x^3} - 2{x^2} - 5x + 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^3} - {x^2} - {x^2} + x - 6x + 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2}\left( {x - 1} \right) - x\left( {x - 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - 6} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x - 1 = 0} \cr {{x^2} - x - 6 = 0} \cr } } \right. \cr & x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr & {x^2} - x - 6 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4.1.\left( { - 6} \right) = 1 + 24 = 25 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {25} = 5 \cr & {x_1} = {{1 + 5} \over {2.1}} = 3 \cr & {x_2} = {{1 - 5} \over {2.1}} = - 2 \cr} \) Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \({x_1} = 1;{x_2} = 3;{x_3} = - 2\) c) \(\eqalign{ & 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + \left( {1 - 3\sqrt 2 } \right){x^2} - 3x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{x^4} + 2\sqrt 2 {x^3} + {x^2} - 3\sqrt 2 {x^2} - 3x - 4 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 2 {x^2} + x} \right)^2} - 3\left( {\sqrt 2 {x^2} + x} \right) - 4 = 0 \cr} \) Đặt \(\sqrt 2 {x^2} + x = t,\) ta có phương trình: {t^2} - 3t - 4 = 0\) Phương trình có dạng: \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 3} \right) + \left( { - 4} \right) = 0\) \({t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 4} \over 1} = 4\) Với \(t = - 1 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x + 1 = 0\) \(\Delta = 1 - 4.\sqrt 2 .1 = 1 - 4\sqrt 2 < 0\) phương trình vô nghiệm Với \(t = 4 \Rightarrow \sqrt 2 {x^2} + x = 4 \Leftrightarrow \sqrt 2 {x^2} + x - 4 = 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {1^2} - 4.\sqrt 2 .\left( { - 4} \right) = 1 + 16\sqrt 2 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } \cr & {x_1} = {{ - 1 + \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} = {{ - \sqrt 2 + \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \cr & {x_2} = {{ - 1 - \sqrt {1 + 16\sqrt 2 } } \over {2.\sqrt 2 }} = {{ - \sqrt 2 - \sqrt {2 + 32\sqrt 2 } } \over 4} \cr} \) Phương trình đã cho có hai nghiệm. d) \(\eqalign{ & \left( {2{x^2} + 7x - 8} \right)\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 5} \right]\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \cr & \Leftrightarrow {\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right)^2} - 5\left( {2{x^2} + 7x - 3} \right) - 6 = 0 \cr} \) Đặt \(2{x^2} + 7x - 3 = t,\) ta có phương trình: \({t^2} - 5t - 6 = 0\) Phương trình có dạng \(a - b + c = 0;1 - \left( { - 5} \right) + \left( { - 6} \right) = 0\) \({t_1} = - 1;{t_2} = - {{ - 6} \over 1} = 6\) Với t = -1 ta có: \(\eqalign{ & 2{x^2} + 7x - 3 = - 1 \Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 2 = 0 \cr & \Delta = {7^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 49 + 16 = 65 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {65} \cr & {x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4} \cr & {x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over {2.2}} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4} \cr} \) Với t = 6, ta có: \(2{x^2} + 7x - 3 = 6 \Leftrightarrow 2{x^2} + 7x - 9 = 0\) Phương trình có dạng: \(a + b + c = 0;2 + 7 + \left( { - 9} \right) = 0\) \({x_1} = 1;{x_2} = - {9 \over 2}\) Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm: \({x_1} = {{ - 7 + \sqrt {65} } \over 4};{x_2} = {{ - 7 - \sqrt {65} } \over 4};{x_3} = 1;{x_4} = - {9 \over 2}\) Câu IV.4 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Cho phương trình: \({x^2} + px + 1 = 0\) có hai nghiệm. Xác định p biết rằng tổng các bình phương của hai nghiệm bằng 254. Giải Cho phương trình: \({x^2} + px + 1 = 0\) Phương trình đã cho có hai nghiệm thì \(\Delta \ge 0\) \(\eqalign{ & \Delta = {p^2} - 4 \cr & \Rightarrow {p^2} - 4 \ge 0 \Leftrightarrow {p^2} \ge 4 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {p \ge 2} \cr {p \le - 2} \cr} } \right. \cr} \) Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({x_1} + {x_2} = - p;{x_1}{x_2} = 1\) Theo bài ra ta có: \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 254\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 254 \cr & \Leftrightarrow {p^2} - 2.1 = 254 \cr & \Leftrightarrow {p^2} = 256 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {p = 16} \cr {p = - 16} \cr} } \right. \cr} \) Cả hai giá trị đều thỏa mãn điều kiện. Vậy với p = 16 hoặc p = -16 thì phương trình có hai nghiệm thỏa mãn \({x_1}^2 + {x_2}^2 = 254\) Câu IV.5 trang 64 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Cho phương trình: \({x^4} - 13{x^2} + m = 0\). Tìm các giá trị của m để phương trình: a) Có 4 nghiệm phân biệt b) Có 3 nghiệm phân biệt c) Có 2 nghiệm phân biệt d) Có một nghiệm e) Vô nghiệm. Giải Cho phương trình: \({x^4} - 13{x^2} + m = 0\) (1) Đặt \({x^2} = t \Rightarrow t \ge 0,\) ta có phương trình: \({t^2} - 13t + m = 0\) (2) \(\Delta = 169 - 4m\) a) Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có hai nghiệm số dương khi \(\left\{ {\matrix{ {\Delta = 169 - 4m > 0} \cr {{t_1}{t_2} = m > 0} \cr {{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {m < {{169} \over 4}} \cr {m > 0} \cr} \Leftrightarrow 0 < m < {{169} \over 4}} \right.} \right.\) b) Phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 1 nghiệm số dương và 1 nghiệm bằng 0 khi: \(\left\{ {\matrix{ {\Delta = 169 - 4m > 0} \cr {{t_1} + {t_2} = 13 > 0} \cr {{t_1}.{t_2} = m = 0} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {m < {{169} \over 4}} \cr {m = 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow m = 0} \right.\) c) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có nghiệm kép hoặc có 1 nghiệm dương và một nghiệm âm. Phương trình (2) có một nghiệm số kép khi và chỉ khi \(\Delta = 169 - 4m = 0\) \( \Leftrightarrow m = {{169} \over 4} \Rightarrow {t_1} = {t_2} = {{13} \over 2}\) Phương trình (2) có một nghiệm số dương và một nghiệm số âm khi \(\left\{ {\matrix{ {\Delta = 169 - 4m > 0} \cr {{t_1}.{t_2} = m < 0} \cr } \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {m < {{169} \over 4}} \cr {m < 0} \cr} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.\) Vậy với \(m = {{169} \over 4}\) hoặc m < 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt. d) Phương trình (1) có một nghiệm khi phương trình (2) có 1 nghiệm số kép bằng 0 hoặc phương trình (2) có một nghiệm bằng 0 và một nghiệm số âm. Ta thấy phương trình (2) có nghiệm số kép \({t_1} = {t_2} = {{13} \over 2} \ne 0\) Nếu phương trình (2) có một nghiệm t1 = 0. Theo hệ thức Vi-ét ta có: \({t_1} + {t_2} = 13 \Rightarrow {t_2} = 13 - {t_1} = 13 - 0 = 13 > 0\) Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) chỉ có 1 nghiệm. e) Phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) có 2 nghiệm số âm hoặc vô nghiệm. Nếu phương trình (2) có 2 nghiệm âm thì theo hệ thức Vi-ét ta có: \({t_1} + {t_2} = 13 > 0\) vô lý Vậy phương trình (1) vô nghiệm khi phương trình (2) vô nghiệm. Suy ra: \(\Delta = 169 - 4m < 0 \Leftrightarrow m > {{169} \over 4}\)
