Câu 39. Trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm: \(\sin 39^\circ 13'\); \(\cos 52^\circ 18'\); \(tg13^\circ 20'\); \(\cot g10^\circ 17'\); \(\sin 45^\circ \); \(\cos 45^\circ \). Gợi ý làm bài: \(\sin 39^\circ 13' \approx 0,6323\); \(\cos 52^\circ 18' \approx 0,6115\); \(tg13^\circ 20' \approx 0,2370\); \(\cot g10^\circ 17' \approx 0,5118\); \(\sin 45^\circ \approx 0,7071\); \(\cos 45^\circ \approx 0,7071\). Câu 40. Trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi để tìm góc nhọn x, biết: a) \(\sin x = 0,5446\); b) \(\cos x = 0,4444\); c) \(tgx = 1,1111\). Gợi ý làm bài: a) \(\sin x = 0,5446 \Rightarrow x = 33^\circ \) b) \(\cos x = 0,4444 \Rightarrow x = 63^\circ 47'\) c) \(tg x = 1,1111 \Rightarrow x = 48^\circ \) Câu 41. Trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Có góc nhọn x nào mà: a) \(\sin x = 1,0100\); b) \(\cos x = 2,3540\); c) \(tgx = 1,6754\)? Gợi ý làm bài: a) \(\sin x = 1,0100\): không có góc nhọn x vì \(\sin x < 1\) b) \(\cos x = 2,3540\): không có góc nhọn x vì \(\cos x < 1\) c) \(tgx = 1,6754 \Rightarrow x = 59^\circ 10'\) Câu 42. Trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hình: Biết: \(AB = 9cm,AC = 6,4cm\) \(AN = 3,6cm,\widehat {AN{\rm{D}}} = 90^\circ ,\widehat {DAN} = 34^\circ \) Hãy tính: a) CN; b) \(\widehat {ABN}\); c) \(\widehat {CAN}\); d) AD. Gợi ý làm bài: a) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ANC, ta có: \(\eqalign{ & A{C^2} = A{N^2} + N{C^2} \cr & \Rightarrow N{C^2} = A{C^2} - A{N^2} \cr & \Rightarrow NC = \sqrt {A{C^2} - A{N^2}} = \sqrt {6,{4^2} - 3,{6^2}} = \sqrt {28} \cr & \Rightarrow NC = 5,2915\left( {cm} \right) \cr} \) b) Tam giác ANB vuông tại N nên ta có: \(\sin \widehat {ABN} = {{AN} \over {AB}} = {{3,6} \over 9} = 0,4\) \( \Rightarrow \widehat {ABN} \approx 23^\circ 35'\) c) Tam giác ANC vuông tại N nên ta có: \(\eqalign{ & \cos \widehat {CAN} = {{AN} \over {AC}} \cr & \Rightarrow {{3,6} \over {6,4}} = {9 \over {16}} = 0,5625 \cr & \Rightarrow \widehat {CAN} \approx 55^\circ 46' \cr} \) d) Tam giác AND vuông tại N nên ta có: \(\eqalign{ & \cos \widehat {NAD} = {{AN} \over {AD}} \cr & \Rightarrow AD = {{AN} \over {\cos \widehat {NAD}}} \cr & = {{3,6} \over {\cos 34^\circ }} \approx 4,3424 \cr} \) Câu 43. Trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hình: Biết: \(\widehat {ACE} = 90^\circ ,AB = BC = CD = DE = 2cm.\) Hãy tính: a) AD, BE; b) \(\widehat {DAC}\); c) \(\widehat {BXD}\). Gợi ý làm bài: a) Ta có: \(AC = AB + BC = 2 + 2 = 4\left( {cm} \right)\) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACD, ta có: \(A{D^2} = A{C^2} + C{D^2} = {4^2} + {2^2} = 16 + 4 = 20\) \( \Rightarrow AD = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \left( {cm} \right)\) Mặt khác: \(CE = CD + DE = 2 + 2 = 4\left( {cm} \right)\) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BEC, ta có: \(B{E^2} = B{C^2} + C{E^2} = {2^2} + {4^2} = 4 + 16 = 20\) \( \Rightarrow BE = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \left( {cm} \right)\) b) Tam giác ACD vuông tại C nên ta có: \(tg\widehat {DAC} = {{CD} \over {AC}} = {2 \over 4} = {1 \over 2}\) Suy ra: \(\widehat {DAC} \approx 26^\circ 34'\) Ta có: \(\widehat {CDA} = 90^\circ - \widehat {CAD} \approx 90^\circ - 26^\circ 34' = 63^\circ 26'\) Trong tứ giác BCDX, ta có: \(\widehat {BXD} = 360^\circ - (\widehat C + \widehat {CDA} + \widehat {CBE})\) \( = 360^\circ - (90^\circ + 63^\circ 26' + 63^\circ 26') = 143^\circ 8'.\) Câu 44. Trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Đoạn thẳng LN vuông góc với đoạn thẳng AB tại trung điểm N của AB; M là một điểm của đoạn thẳng LN và khác với L,N. Hãy so sánh các góc \(\widehat {LAN}\) và \(\widehat {MBN}\). Gợi ý làm bài: Tam giác ALN vuông tại N nên ta có: \(tg\widehat {LAN} = {{NL} \over {AN}}\) (1) Tam giác BNM vuông tại N nên ta có: \(tg\widehat {MBN} = {{NM} \over {NB}}\) (2) Mặt khác: AN = NB (gt) (3) NL > NM (4) Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: \(tg\widehat {MBN} < tg\widehat {LAN}\) Suy ra: \(\widehat {MBN} < tg\widehat {LAN}\) ( vì \(\alpha \) tăng thì tg\(\alpha \) tăng). Câu 45. Trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Không dùng bảng lượng giác và máy tính bỏ túi, hãy so sánh: a) \(\sin 25^\circ \) và \(\sin 70^\circ \); b) \(\cos 40^\circ \) và \(\cos 75^\circ \) ; c) \(\sin 38^\circ \) và \(\cos 38^\circ \) ; d) \(\sin 50^\circ \) và \(\cos 50^\circ \). Gợi ý làm bài: a) Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì sin\(\alpha\ tăng Ta có: \(25^\circ < 75^\circ \), suy ra: \(\sin 25^\circ < \sin 75^\circ \) b) Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì sin\(\alpha\) giảm Ta có: \(40^\circ < 75^\circ \), suy ra: \({\rm{cos40}}^\circ {\rm{ > cos}}75^\circ \) c) Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì sin\(\alpha\) tăng Ta có: \(38^\circ + 52^\circ = 90^\circ \), suy ra: \(\cos 38^\circ = \sin 52^\circ \) Vì \(38^\circ < 52^\circ \) nên \(\sin 38^\circ < \sin 52^\circ \) hay \(\sin 38^\circ < \cos 38^\circ \) d) Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha\) tăng thì cos\(\alpha\) giảm Ta có: \(40^\circ + 50^\circ = 90^\circ ,\) suy ra: \(\sin 50^\circ = \cos 40^\circ \) Vì \(40^\circ < 50^\circ \) nên \(\cos 40^\circ > \cos 50^\circ \) hay \(\sin 50^\circ > \cos 50^\circ \) Câu 46. Trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Không dùng bảng lượng giác hoặc máy tính bỏ túi,hãy so sánh: a) \(tg50^\circ 28'\) và \(tg63^\circ \); b) \(\cot g14^\circ \) và \(\cot g35^\circ 12'\); c) \(tg27^\circ \) và \(\cot g27^\circ \); d) \(tg65^\circ \) và \(\cot g65^\circ \). Gợi ý làm bài: a) Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha \) tăng thì tg\(\alpha \) tăng Ta có: \(50^\circ 28' < 63^\circ ,\) suy ra: \(tg50^\circ 28' < tg63^\circ \) b) Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha \) tăng thì cotg\(\alpha \) giảm Ta có: \(14^\circ < 35^\circ 12',\) suy ra: cotg14°> cotg35°12’ c) Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha \) tăng thì tg\(\alpha \) tăng Ta có: \(27^\circ + 63^\circ = 90^\circ ,\) suy ra: \(\cot g27^\circ = tg63^\circ \) Vì \(27^\circ < 63^\circ \) nên \(tg27^\circ < tg63^\circ \) hay \(tg27^\circ < \cot g27^\circ \) d) Với \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) ta có \(\alpha \) tăng thì cotg\(\alpha \) giảm Ta có: \(65^\circ + 25^\circ = 90^\circ \) nên tg65° =cotg25° Vì 25 < 65 nên cotg25 > cotg65 hay tg65° > cotg65°. Câu 47. Trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho x là một góc nhọn, biểu thức sau đây có giá trị âm hay dương? Vì sao? a) \(tg28^\circ \) và \(\sin 28^\circ \); b) \(\cot g42^\circ \) và \(\cos 42^\circ \); c) \(\cot g73^\circ \) và \(\sin 17^\circ \); d) \(tg32^\circ \) và \(\cos 58^\circ \). Gợi ý làm bài: a) Ta có: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) với thì sinx < 1, suy ra \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - 1 < 0\) b) Ta có: \(0^\circ < \alpha < 90^\circ \) với thì cosx < 1, suy ra \(1 - \cos x > 0\) c) Ta có: * Nếu x = 45° thì sinx =cosx, suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x = 0\) * Nếu x < 45° thì \(\cos x = \sin (90^\circ - x)\) Vì x < 45° nên \(90^\circ - x > 45^\circ \), suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} < \sin (90^\circ - x)\) Vậy \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - \cos x < 0\) * Nếu x > 45° thì \(\cos x = \sin (90^\circ - x)\) Vì x > 45° nên \(90^\circ - x < 45^\circ \), suy ra: \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} > \sin (90^\circ - x)\) Vậy \({\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - c{\rm{osx > 0}}\). d) Ta có: * Nếu x = 45° thì tgx = cotgx, suy ra: tgx = cotgx = 0 * Nếu x < 45° thì \(\cot gx = tg(90^\circ - x)\) Vì x > 45° nên \(90^\circ - x < 45^\circ \), suy ra: \(tgx > tg(90^\circ - x)\) Vậy tgx – cotgx >0. Câu 48. Trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a. \(tg28^\circ \) và sin28° b. cotg42° và cos42° c. cotg73° và sin17° d. tg32° và cos58° Gợi ý làm bài: a) \(tg28^\circ = {{\sin 28^\circ } \over {\cos 28^\circ }} = \sin 28^\circ .{1 \over {\cos 28^\circ }}\) (1) Vì 0 < cos28° < 1 nên \({1 \over {\cos 28^\circ }} > 1 \Rightarrow \sin 28^\circ .{1 \over {\cos 28^\circ }} > \sin 28^\circ \) (2) Từ (1) và (2) suy ra: tg28° > sin28° b) Ta có: \(\cot g42^\circ = {{\cos 42^\circ } \over {\sin 42^\circ }} = c{\rm{os42}}^\circ .{1 \over {\sin 42^\circ }}\) (1) Vì 0 < sin42° < 1 nên \({1 \over {\sin 42^\circ }} > 1 \Rightarrow \cos 42^\circ .{1 \over {\sin 42^\circ }} > \cos 42^\circ \) (2) Từ (1) và (2) suy ra: cotg42° > cos42° c) Ta có: 17° +73° =90° (1) \(\cot g73^\circ = {{\cos 73^\circ } \over {\sin 73^\circ }} = \cos 73^\circ .{1 \over {\sin 73^\circ }}\) (2) Vì 0 <sin73° <1 nên \({1 \over {\sin 73^\circ }} > 1 \Rightarrow c{\rm{os73}}^\circ .{1 \over {\sin 73^\circ }} > c{\rm{os73}}^\circ \) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: cotg73° > sin17° d) Ta có: 32° +58° = 90° (1) \(tg32^\circ = {{\sin 32^\circ } \over {\cos 32^\circ }} = \sin 32^\circ .{1 \over {\cos 32^\circ }}\) (2) Vì 0 < cos32° < 1 nên \({1 \over {{\rm{cos32}}^\circ }} > 1 \Rightarrow \sin 32^\circ .{1 \over {{\rm{cos32}}^\circ }} > \sin 32^\circ \) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: tg32° > cos58° Câu 49. Trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tam giác ABC vuông tại A, có \(AC = {1 \over 2}BC\). Tính : \(\sin B,\cos B,tgB,\cot gB.\) Gợi ý làm bài: Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow A{B^2} = B{C^2} - A{C^2} \cr & = B{C^2} - {{B{C^2}} \over 4} = {{3B{C^2}} \over 4} \cr & \Rightarrow AB = {{BC\sqrt 3 } \over 2} \cr} \) Vậy: \(\sin \widehat B = {{AC} \over {BC}} = {{{1 \over 2}BC} \over {BC}} = {1 \over 2}\) \({\rm{cos}}\widehat B = {{AB} \over {BC}} = {{{{\sqrt 3 } \over 2}BC} \over {BC}} = {{\sqrt 3 } \over 2}\) \(tg\widehat B = {{AC} \over {AB}} = {{{1 \over 2}BC} \over {{{\sqrt 3 } \over 2}BC}} = {{\sqrt 3 } \over 3}\) \(\cot g\widehat B = {1 \over {tgB}} = {1 \over {{{\sqrt 3 } \over 3}}} = \sqrt 3 \) Câu 50. Trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tính các góc của tam giác ABC, biết \(AB = 3cm,AC = 4cm\) và \(BC = 5cm\). Gợi ý làm bài: Ta có: \(AB = 3 \Rightarrow A{B^2} = {3^2} = 9\) \(AC = 4 \Rightarrow A{C^2} = {4^2} = 16\) \(BC = 5 \Rightarrow B{C^2} = {5^2} = 25\) Ta có: \(A{B^2} + A{C^2} = 9 + 16 = 25 = B{C^2}\) Suy ra tam giác ABC vuông tại A. Ta có: \(\sin \widehat B = {{AC} \over {BC}} = {4 \over 5} = 0,8 \Rightarrow \widehat B = 53^\circ 8'\) \(\widehat C = 90^\circ - \widehat B = 90^\circ - 53^\circ 8' = 36^\circ 52'\) Câu 51. Trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Để vẽ một tam giác cân có góc ở đáy là \(50^\circ \) mà không có thước đo góc, một học sinh vẽ một tam giác cân có cạnh bên 3cm, cạnh đáy 4cm. Tính góc ở đáy mà em học sinh đó đã tải về. Sai số so với số đo phải vẽ là bao nhiêu? Gợi ý làm bài: Giả sử tam giác ABC có AB = AC =3cm, BC=4cm. Kẻ \(AH \bot BC\) Ta có: \(BH = {1 \over 2}BC = {4 \over 2} = 2\left( {cm} \right)\) Tam giác ABH vuông tại H nên ta có: \(\cos \widehat B = {{BH} \over {AB}} = {2 \over 3} \Rightarrow \widehat B \approx 48^\circ 11'\) Sai số là: \(50^\circ - 48^\circ 11' = 1^\circ 49'\). Câu 3.1. Trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hãy so sánh: a) sinα và tgα ( 0º < α < 90º) ; b) cosα và cotgα ( 0º < α < 90º). c) sin35º và tg38º ; d) cos33º và tg61º. Gợi ý làm bài: a) Do 0 < cosα < 1 và sinα > 0 nên \(tg\alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} > \sin \alpha \) b) Do 0 < sinα < 1 và cosα > 0 nên \(\cot g\alpha = {{\cos \alpha } \over {\sin \alpha }} > \cos \alpha \) c) Theo a) sin35º < tg35º, mà khi góc lớn lên thì tang cũng lớn lên nên tg35º < tg38º. Vậy sin35º < tg38º. d) Theo b) cos33º < cotg33º mà khi góc lớn lên thì cotang nhỏ đi nên cotg33º < cotg29º = tg61º. Suy ra cos33º < tg61º. Câu 3.2. Trang 112 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Không tính giá trị cụ thể, hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. a) sin20º, cos20º, sin55º, cos40º, tg70º. b) tg70º, cotg60º, cotg65º, tg50º, sin25º. Gợi ý làm bài: a) Để ý rằng với các góc nhọn, khi góc lớn lên thì sin của nó lớn lên và chú ý rằng cos20º = sin70º, cos40º = sin50º và sinα < tgα nên từ: sin20º < sin50º (= cos40º) < sin55º < sin70º (=cos20º) < tg70º suy ra sin20º < cos40º < sin55º < cos20º < tg70º. b) Để ý rằng với các góc nhọn, khi góc lớn lên thì tg của góc đó lớn lên và chú ý rằng cotg60º= tg30º, cotg65º = tg25º và do sinα < tgα nên từ: sin25º < tg25º ( = cotg65º) < tg30º ( = cotg60º) < tg50º < tg70º suy ra sin25º < cotg65º < cotg60º < tg50º < tg70º. Câu 3.3. Trang 113 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng b, góc đối diện với nó bằng β. a) Hãy biểu thị cạnh góc vuông kia, góc đối diện với cạnh này và cạnh huyền qua b và β. b) Hãy tìm các giá trị của chúng khi b = 10cm, β =50º ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba). Gợi ý làm bài: Trong tam giác ABC vuông tại A, cạnh AC = b, \(\widehat {ABC} = \beta \) thì: a) \(AB = c = {b \over {tg\beta }} = b\cot g\beta \), \(\widehat {ACB} = 90^\circ - \beta ,BC = a = {b \over {\sin \beta }}.\) b) Khi b = 10 (cm), β = 50º thì \(c = {{10} \over {tg50^\circ }} \approx 8,391(cm),\) \(\widehat {ACB} = 40^\circ ,a = {{10} \over {\sin 50^\circ }} \approx 13,054(cm).\) Câu 3.4. Trang 113 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Trong tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng b, góc nhọn kề với nó bằng α. a)Hãy biểu thị cạnh góc vuông kia, góc nhọn kề với cạnh này và cạnh huyền đi qua b và α. b) Hãy tìm các giá trị của chúng khi b = 12cm, α = 42º ( làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba). Gợi ý làm bài: Trong tam giác ABC vuông tại A, cạnh AC = b, \(\widehat {ACB} = \alpha \) thì: a) AB = c = btgα, \(\widehat {ABC} = 90^\circ - \alpha ,BC = a = {b \over {\cos \alpha }}.\) b) Khi b = 12 (cm), α = 42º thì \(c = 12tg42^\circ \approx 10,805(cm)\), \(\widehat {ABC} = 48^\circ ,a = {{12} \over {\cos 42^\circ }} \approx 16,148(cm).\)
