Câu 1 trang 156 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 12cm, CD = 16cm. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó. Gợi ý làm bài Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có: IA = IB = IC = ID (tính chất hình chữ nhật) Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn bán kính \({{AC} \over 2}\) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC ta có: \(\eqalign{ & A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {16^2} + {12^2} \cr & = 256 + 144 = 400 \cr} \) Suy ra: \(AC = \sqrt {400} = 20\,(cm)\) Vậy bán kính đường tròn là: \(IA = {{AC} \over 2} = {{20} \over 2} = 10\,(cm)\) Câu 2 trang 156 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định vị trí tương đối của mỗi điểm: A( 1 ; -1), \(B( - \sqrt 2 ;\sqrt 2 )\) và C( 1 ; 2) đối với đường tròn (O ; 2 ). Gợi ý làm bài Gọi R là bán kính của đường tròn (O ; 2). Ta có R = 2 \(O{A^2} = {1^2} + {1^2} = 2 \Rightarrow OA = \sqrt 2 < 2\) Vì OA < R nên điểm A nằm trong đường tròn (O; 2) \(\eqalign{ & O{B^2} = {(\sqrt 2 )^2} + {(\sqrt 2 )^2} \cr & = 2 + 2 = 4 \Rightarrow OB = 2 \cr} \) Vì OB = R nên điểm B thuộc đường tròn (O; 2) \(\eqalign{ & O{C^2} = {1^2} + {2^2} = 1 + 4 = 5 \cr & \Rightarrow OC = \sqrt 5 > 2 \cr} \) Vì OC > R nên điểm C nằm ngoài đường tròn (O; 2). Câu 3 trang 156 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Hãy nối mỗi ô ở cột trái với mỗi ô ở cột phải để được khẳng định đúng: (1)Tập hợp các điểm có khoảng cách đến điểm O cố định bằng 3cm(4) có khoảng cách đến điểm O nhỏ hơn hoặc bằng 3cm.(2)Đường tròn tâm O bán kính 3cm gồm tất cả những điểm(5) cách điểm O một khoảng bằng 3cm.(3) Hình tròn tâm O bán kình 3cm gồm tất cả những điểm(6) là đường tròn tâm O bán kính 3cm.(7) có khoảng cách đến điểm O lớn hơn 3cm.Gợi ý làm bài (1) nối với (6) (2) nối với (5) (3) nối với (4). Câu 4 trang 156 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho góc nhọn xOy và hai điểm D, E thuộc tia Oy. Dựng đường tròn tâm M đi qua D và E sao cho tâm M nằm trên tia Ox. Gợi ý làm bài * Cách dựng − Dựng đường trung trực của DE cắt Ax tại M. − Dựng đường tròn tâm M bán kính MD. * Chứng minh Theo cách dựng ta có: \(M \in Ox\) MD = ME (tính chất đường trung trực) Suy ra: \(E \in (M;MD)\) Câu 5 trang 156 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Trong các câu sau, câu nào đúng? Câu nào sai? a) Hai đường tròn phân biệt có thể có hai điểm chung. b) Hai đường tròn phân biệt có thể có ba điểm chung phân biệt. c) Tâm của đường tròn ngoại tiếp một tam giác bao giờ cũng nằm trong tam giác ấy. Gợi ý làm bài a) Đúng b) Sai vì hai đường tròn có ba điểm chung phân biệt thì chúng trùng nhau. c) Sai vì tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên cạnh huyền, tam giác tù giao điểm của ba đường trung trực nằm ngoài tam giác. Câu 6 trang 157 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Quan sát hình lọ hoa trên giấy kẻ ô vuông (h.71) rồi vẽ hình đó vào vở. b) Quan sát đường xoắn ốc trên hình 72 rồi vẽ lại hình đó vào vở. Tính bán kính của các cung tròn tâm B, C, D, A biết cạnh hình vuông ABCD bằng 1 đơn vị dài. Gợi ý làm bài a) Hình a b) Hình b Cung tròn tâm B có bán kính bằng 1. Cung tròn tâm C có bán kính bằng 2. Cung tròn tâm D có bán kính bằng 3. Cung tròn tâm A có bán kính bằng 4. Câu 7 trang 157 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Có một chi tiết máy (mà đường viền ngoài là đường tròn) bị gãy. Làm thế nào để xác định được bán kính của đường viền? Gợi ý làm bài Lấy ba điểm A, B, C phân biệt trên đường viền. Dựng đường trung trực cảu AB và BC. Hai đường trung trực cắt nhau tại O. OA, AB, OC chính là bán kính của đường viền. Câu 8 trang 157 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm của hai đường chéo, cm. Vẽ đường tròn tâm A bán kính 2cm. Trong năm điểm A, B, C, D, O, điểm nào nằm trên đường tròn? Điểm nào nằm trong đường tròn? Điểm nào nằm ngoài đường tròn? Gợi ý làm bài \(OA = \sqrt 2 < 2\) nên điểm O và A nằm trong ( A; 2) AB = 2 nên điểm B nằm trên (A ; 2) AD = 2 nên điểm D nằm trên (A ; 2) \(AC = 2\sqrt 2 > 2\) nên điểm nằm ngoài (A; 2). Câu 9 trang 157 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Cho tam giác nhọn ABC. Vẽ đường tròn (O) có đường kính BC, nó cắt các cạnh AB, AC theo thứ tự ở D, E. a) Chứng minh rằng \(CD \bot AB,BE \bot AC.\) b) Gọi K là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng AK vuông góc với BC. Gợi ý làm bài a) Tam giác BCD nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại D. Suy ra: \(CD \bot AB\) Tam giác BCE nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại E. Suy ra: \(BE \bot AC\) b) K là giao điểm của hai đường cao CD và BE nên K là trực tâm của tam giác ABC. Suy ra: \(AK \bot BC\) Câu 10 trang 157 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3cm. Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng: \((A)\,2\sqrt 3 \,cm;\) \((B)\, 2cm;\) \((C)\,\sqrt 3 \,cm;\) \((D)\,\sqrt 2 \,cm;\) Hãy chọn câu trả lời đúng. Gợi ý làm bài Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC. Kẻ \(AH \bot BC.\), ta có: \(O \in AH\). Trong tam giác vuông ABH, ta có: \(AH = AB.\sin \widehat C = 3.\sin 60^\circ = {{3\sqrt 3 } \over 2}\) Vì tam giác ABC đều nên AH là đường cao cũng đồng thời là trung tuyến nên: \(OA = {2 \over 3}AH = {2 \over 3}.{{3\sqrt 3 } \over 2} = \sqrt 3 \) Vậy chọn đáp án C. Câu 11 trang 158 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1. a) Chứng minh rằng bốn đỉnh của hình vuông cùng nằm trên một đường tròn. Hãy chỉ ra vị trí của tâm đường tròn đó. b) Tính bán kính của đường tròn đó, biết cạnh của hình vuông bằng 2dm. Gợi ý làm bài a) Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Ta có: IA = IB = IC = ID (tính chất của hình vuông) Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm của đường tròn là I. b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ABC, ta có: \(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} = {2^2} + {2^2} = 8\) Suy ra: \(AC = \,2\sqrt 2 \,(cm)\) Vậy \(R = IA = {{AC} \over 2} = {{2\sqrt 2 } \over 2} = \sqrt 2 \,(cm)\) Câu 12 trang 158 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 1 Cho tam giác ABC cân tại A, nội tiếp đường tròn (O). Đường cao AH cắt đường tròn ở D. a) Vì sao AD là đường kính của đường tròn (O)? b) Tính số đo góc ACD. c) Cho BC = 24cm, AC = 20cm. Tính đường cao AH và bán kính đường tròn (O). Gợi ý làm bài Tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực của BC. Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O nằm trên đường trung trực của BC hay O thuộc AD. Suy ra AD là đường kính của (O). b) Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên suy ra \(\widehat {ACD} = 90^\circ \) c) Ta có: \(\eqalign{ & AH \bot BC \cr & \Rightarrow HB = HC = {{BC} \over 2} = {{24} \over 2} = 12\,(cm) \cr} \) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ACH ta có: \(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\) Suy ra: \(\eqalign{ & A{H^2} = A{C^2} - H{C^2} \cr & = {20^2} - {12^2} = 400 - 144 = 256 \cr} \) \(AH = 16\,(cm)\) Tam giác ACD vuông tại C theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có: \(\eqalign{ & A{C^2} = AH.AD \cr & \Rightarrow AD = {{A{C^2}} \over {AH}} = {{{{20}^2}} \over {16}} = 25\,(cm) \cr} \) Vậy bán kính của đường tròn (O) là : \(R = {{AD} \over 2} = {{25} \over 2} = 12,5\,(cm)\) Câu 13 trang 158 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tam giác ABC cân tại A, BC = 12cm, đường cao AH = 4cm. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Giải: Kéo dài đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Goi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC. Suy ra AD là đường trung trực của BC. Khi đó O thuộc AD hay AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính suy ra: \(\widehat {ACD} = 90^\circ \) Tam giác ACD vuông tại C nên theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có:\(C{H^2} = HA.HD\) Suy ra:\(HD = {{C{H^2}} \over {HA}} = {{{{\left( {{{BC} \over 2}} \right)}^2}} \over {HA}}\) =\({{{{\left( {{{12} \over 2}} \right)}^2}} \over 4} = {{{6^2}} \over 4} = {{36} \over 4} = 9\) (cm) Ta có: AD = AH +HD = 4 + 9 = 13 (cm) Vậy bán kính của đường tròn (O) là: \(R = {{AD} \over 2} = {{13} \over 2} = 6,5\) (cm) Câu 14 trang 158 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm bên ngoài đường tròn. Dựng đường kính COD sao cho AC = BD. Giải: * Cách dựng − Dựng đối xứng với A quan tâm O của đường tròn. − Dựng đường thẳng x là đường trung trực của A’B. − Gọi giao điểm của đường thẳng x và đường tròn (O) là D. − Dựng đường kính COD. * Chứng minh Ta có: OA = OA’ và OD = OC Suy ra tứ giác ACA’D là hình bình hành. Suy ra: AC = A’D Lại có: A’D = DB (tính chất đường trung trực) Suy ra: AC = BD. Câu 1.1 trang 158 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1 Xét tính đúng – sai của mỗi khẳng định sau: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). a) Nếu BC là đường kính của đường tròn thì \(\widehat {BAC} = 90^\circ \). b) Nếu AB = AC thì AO vuông góc với BC. c) Nếu tam giác ABC không vuông góc thì điểm O nằm bên trong tam giác đó. Giải: a) Đúng ; b) Đúng ; c) Sai.
