Câu 24 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hình 74, trong đó MN = PQ. Chứng minh rằng: a) AE = AF; b) AN = AQ. Giải: a) Nối OA Ta có: MN = PQ (gt) Suy ra: OE = OF (hai dây bằng nhau cách đều tâm) Xét hai tam giác OAE và OAF, ta có: \(\widehat {OEA} = \widehat {{\rm{OF}}A} = 90^\circ \) OA chung OE = OF ( chứng minh trên) Suy ra: ∆OAE = ∆OAF (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra: AE = AF b) Ta có: OE ⊥ MN (gt) Suy ra: \(EN = {1 \over 2}MN\) (đường kính vuông góc với dây cung) (1) OF ⊥PQ (gt) Suy ra: \(FQ = {1 \over 2}PQ\) (đường kính vuông góc với dây cung) (2) Mặt khác: MN = PQ (gt) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: EN = FQ (4) Mà AE = QF ( chứng minh trên) (5) Từ (4) và (5) suy ra: AN + NE = AQ + QF (6) Từ (5) và (6) suy ra: AN = AQ. Câu 25 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hình 75, trong đó hai dây CD, EF bằng nhau và vuông góc với nhau tại I, IC = 2cm, ID = 14cm. Tính khoảng cách từ O đến mỗi dây. Giải: Kẻ OH ⊥ CD, OK ⊥EF Vì tứ giác OKIH có ba góc vuông nên nó là hình chữ nhật. Ta có: CD = EF (gt) Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm) Suy ra tứ giác OKIH là hình vuông. Ta có: CD = CI + ID = 2 + 14 =16 (cm) \(HC = HD = {{CD} \over 2} = 8\) (cm) (đường kính dây cung) IH = HC – CI = 8 – 2 = 6 (cm) Suy ra: OH = OK = 6 (cm) (OKIH là hình vuông). Câu 26 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O), dây AB và dây CD, AB < CD. Giao điểm K của các đường thẳng AB, CD nằm ngoài đường tròn. Đường tròn (O ; OK) cắt KA và KC tại M và N. Chứng minh rằng KM < KN. Giải: Kẻ OI ⊥ AB, OE ⊥ CD Trong ( O ; OA) ta có: AB < CD (gt) Suy ra: OI > OE (dây lớn hơn gần tâm hơn) Trong (O ; OK) ta có: OI > OE (cmt) Suy ra: KM < KN (dây gần tâm hơn thì lớn hơn). Câu 27 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) và điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng dây AB vuông góc với OI tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I. Giải: Gọi CD là dây bất kì đi qua I và CD không vuông góc với OI. Kẻ OK ⊥ CD Tam giác OKI vuông tại K nên OI > OK Suy ra: AB < CD ( dây lớn hơn gần tâm hơn) Vậy dây AB vuông góc với IO tại I ngắn hơn mọi dây khác đi qua I. Câu 28 trang 160 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có \(\widehat A > \widehat B > \widehat C.\) Gọi OH, OI, OK theo thứ tự là khoảng cách từ O đến BC, AC, AB. So sánh các độ dài OH, OI, OK. Giải: Tam giác ABC có \(\widehat A > \widehat B > \widehat C\) nên suy ra: BC > AC > AB (cạnh đối diện góc lớn hơn thì lớn hơn) Ta có AB, BC, AC lần lượt là các dây cung của đường tròn (O) Mà BC < AC > AB nên suy ra: OH < OI < OK ( dây lớn hơn gần tâm hơn). Câu 29 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O), hai dây AB, CD bằng nhau và cắt nhau tại điểm I nằm bên trong đường tròn. Chứng minh rằng: a) IO là tia phân giác của một trong hai góc tạo bởi hai dây AB và CD. b) Điểm I chia AB, CD thành các đoạn thẳng bằng nhau đôi một. Giải: a) Kẻ OH ⊥ AB, OK ⊥ CD Ta có: AB = CD (gt) Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm) Vậy OI là tia phân giác cảu góc BID (tính chất đường phân giác) b) Xét hai tam giác OIH và OIK, ta có: \(\widehat {OHI} = \widehat {OKI} = 90^\circ \) OI chung OH = OK (chứng minh trên) Suy ra: ∆OIH = ∆OIK (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra: IH = IK (1) Lại có: \(HA = HB = {1 \over 2}AB\) \(KC = KD = {1 \over 2}CD\) Mà AB = CD nên HA = KC (2) Từ (1) VÀ (2) suy ra: IA = IC Mà A = CD nên IB = ID. Câu 30 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn tâm O bán kính 25cm. Hai dây AB, CD song song với nhau và có độ dài theo thứ tự bằng 40cm, 48cm. Tính khoảng cách giữa hai dây ấy. Giải: Kẻ \(OK \bot CD \Rightarrow CK = DK = {1 \over 2}CD\) Kẻ \(OH \bot AB \Rightarrow AH = BH = {1 \over 2}AB\) Vì AB // CD nên H, O, K thẳng hàng. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OBH, ta có: \(O{B^2} = B{H^2} + O{H^2}\) Suy ra: \(O{H^2} = O{B^2} - B{H^2} = {25^2} - {20^2} = 225\) OH = 15 (cm) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông ODK, ta có: \(O{D^2} = D{K^2} + O{D^2}\) Suy ra: \(O{K^2} = O{D^2} - D{K^2} = {25^2} - {24^2} = 49\) OK = 7 (cm) * Trường hợp O nằm giữa hai dây AB và CD (hình a): HK = OH + OK = 15 + 7 =22 (cm) * Trường hợp O nằm ngoài hai dây AB và CD (hình b): HK = OH – OK = 15 – 7 = 8 (cm). Câu 31 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O), các bán kính OA và OB. Trên cung nhỏ AB lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Gọi C là giao điểm của các đường thẳng AM và BN. Chứng minh rằng: a) OC là tia phân giác của góc AOB. b) OC vuông góc với AB. Giải: a) Kẻ OH ⊥ AM, OK ⊥ BN Ta có: AM = BN (gt) Suy ra: OH = OK (hai dây bằng nhau cách đều tâm) Xét hai tam giác OCH và OCK, ta có: \(\widehat {OHC} = \widehat {OKC} = 90^\circ \) OC chung OH = OK (chứng minh trên) Suy ra: ∆OCH = ∆OCK (cạnh huyền, cạnh góc vuông) \(\widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) Xét hai tam giác OAH và OBK, ta có: \(\widehat {OHA} = \widehat {OKB} = 90^\circ \) OA = OB OH = OK ( chứng minh trên) Suy ra: ∆OAH = ∆OBK (cạnh huyền, cạnh góc vuông) \(\widehat {{O_3}} = \widehat {{O_4}}\) Suy ra: \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{O_3}} = \widehat {{O_2}} + \widehat {{O_4}}\) hay \(\widehat {AOC} = \widehat {BOC}\) Vậy OC là tia phân giác của \(\widehat {AOB}\) b) Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân). Suy ra: OC ⊥ AB. Câu 32 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn tâm O bán kính 5dm, điểm M cách O là 3dm. a) Tính độ dài dây ngắn nhất đi qua điểm M. b) Tính độ dài dây dài nhất đi qua M. Giải: a) Dây đi qua M ngắn dây là dây AB vuông góc với OM. Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OAM ta có: \(O{A^2} = A{M^2} + O{M^2}\) Suy ra: \(A{M^2} = O{A^2} - O{M^2} = {5^2} - {3^2} = 16\) AM = 4 (dm) Ta có: OM ⊥ AB Suy ra: AM = \({1 \over 2}AB\) Hay: AB = 2AM = 2.4 = 8 (dm) b) Dây đi qua M lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn (O). Vậy dây có độ dài bằng 2R = 2.5 = 10 (dm) Câu 33 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD cắt nhau tại điểm M nằm bên trong đường tròn. Gọi H và K theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Cho biết AB >CD, chứng minh rằng MH > MK. Giải: Ta có: HA = HB (gt) Suy ra: OH ⊥ AB (đường kính dây cung) Lại có: KC = KD (gt) Suy ra: OK ⊥ CD ( đường kính dây cung) Mà AB > CD (gt) Nên OK > OH ( dây lớn hơn gần tâm hơn) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OHM ta có: \(O{M^2} = O{H^2} + H{M^2}\) Suy ra: \(H{M^2} = O{M^2} - O{H^2}\) (1) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông OKM, ta có: \(O{M^2} = O{K^2} + K{M^2}\) Suy ra: \(K{M^2} = O{M^2} - O{K^2}\) (2) Mà OH < OK (cmt) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(H{M^2} > K{M^2}\) hay HM > KM. Câu 34 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B nằm bên trong đường tròn và không cùng thuộc một đường kính. Dựng hai dây song song và bằng nhau sao cho điểm A nằm trên một dây, điểm B nằm trên dây còn lại. Giải: * Cách dựng − Dựng trung điểm I của AB. − Qua A dựng dây CD song song với OI. − Qua B dựng dây EF song song với OI. Ta được CD và EF là hai dây cần dựng. * Chứng minh Ta có: CD // OI, EF // OI Suy ra: CD // EF Kẻ OH ⊥ CD cắt EF tại K Suy ra: OK ⊥ EF Lại có: IA = IB Suy ra: OH = OK Vậy CD = EF. Câu 3.1 Trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) đường kính 6cm, dây AB bằng 2cm. Khoảng cách từ O đến AB bằng: (A) \(\sqrt {35} cm\) ; (B) \(\sqrt 5 cm\) ; (C) \(4\sqrt 2 cm\) ; (D) \(2\sqrt 2 cm\). Hãy chọn phương án đúng. Giải: Chọn (D). Câu 3.2 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán 9 lớp Tập 1. Cho đường tròn (O), điểm I nằm bên trong đường tròn ( I khác O). Dựng dây AB đi qua I và có độ dài ngắn nhất. Giải: Dây AB phải dựng vuông góc với OI tại I. Câu 3.3 trang 161 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Cho đường tròn (O ; 25cm), điểm C cách O là 7cm. Có bao nhiêu dây đi qua C có độ dài là một số nguyên xentimét? Giải: Dây lớn nhất đi qua C là đường kính EF = 50cm. Dây nhỏ nhất đi qua C là dây AB vuông góc với OC tại C, AB = 48cm. Có hai dây đi qua C có độ dài 49cm ( là dây GH và IK đối xứng nhau qua EF). Có tất cả 4 dây đi qua C có độ dài là một số nguyên xentimét.
