Câu 35 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Trên mặt phẳng tọa độ cho điểm I có tọa độ ( -3 ; 2). Nếu vẽ đường tròn tâm I bán kính bằng 2 thì đường tròn đó có vị trí tương đối như thế nào đối với các trục tọa độ? Giải: Kẻ IA ⊥ Ox Ta có: IA = 2 = R Suy ra đường tròn (I) tiếp xúc với trục hành. Kẻ IB ⊥ Oy Ta có: IB = 3 > R Suy ra đường tròn và trục tung không có điểm chung. Câu 36 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường thẳng a. Tâm I của tất cả các đường tròn có bán kính 5cm và tiếp xúc với đường thẳng a nằm trên đường nào? Giải: Vì đường tròn tâm I bán kính 5cm tiếp xúc với đường thẳng a nên khoảng cách từ I đến a là 5cm. Vậy I nằm trên hai đường thẳng x và y song song với a, cách a một khoảng bằng 5cm. Câu 37 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho điểm A cách đường thẳng xy là 12cm. Vẽ đường tròn (A ; 13cm). a) Chứng minh rằng đường tròn (A) có hai giao điểm với đường thẳng xy. b) Gọi hai giao điểm nói trên là B và C. Tính độ dài BC. Giải: a) Kẻ AH ⊥ xy Ta có: AH = 12cm Bán kính đường tròn tâm I là 13cm nên R = 13cm. Mà AH = d = 12cm Nên suy ra d < R Vậy ( A; 13cm) cắt đường thẳng xy tại hai điểm phân biệt B và C. b) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông AHC, ta có: \(A{C^2} = A{H^2} + H{C^2}\) Suy ra: \(H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = {13^2} - {12^2} = 25 \Rightarrow HC = 5(cm)\) Ta có: BC = 2.HC = 2.5 = 10 (cm) Câu 38 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) bán kính bằng 2cm. Một đường thẳng đi qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn và cắt đường tròn tại B và C, trong đó AB = BC. Kẻ đường kính COD. Tính độ dài AD. Giải: Trong tam giác ACD, ta có: B là trung điểm của AC (gt) O là trung điểm của CD Nên OB là đường trung bình của ∆ACD. Suy ra: \(OB = {1 \over 2}AD\) ( tính chất đường trung bình của tam giác) Vậy AD = 2. OB = 2.2 = 4 (cm). Câu 39 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho hình thang vuông ABCD \(\widehat A = \widehat D = 90^\circ )\), AB = 4cm, BC = 13cm, CD = 9cm. a) Tính độ dài AD. b) Chứng minh rằng đường thẳng AD tiếp xúc với đường tròn có đường kính là BC. Giải: a) Kẻ BE ⊥ CD Suy ra tứ giác ABED là hình hình chữ nhật Ta có: AD = BE AB = DE = 4 (cm) Suy ra: CE = CD – DE = 9 – 4 = 5 (cm) Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác vuông BCE ta có: \(B{C^2} = B{E^2} + C{E^2}\) Suy ra: \(B{E^2} = B{C^2} - C{E^2} = {13^2} - {5^2} = 144\) BE = 12 (cm) Vậy: AD = 12 (cm) b) Gọi I là trung điểm của BC Ta có: \(IB = IC = {1 \over 2}BC = {1 \over 2}.13 = 6,5 (cm)\) (1) Kẻ IH ⊥ AD. Khi đó HI là đường trung bình của hình thang ABCD. Ta có: \(HI = {{AB + CD} \over 2} = {{4 + 9} \over 2} = 6,5\) (cm) (2) Từ (1) và (2) suy ra: IB = HI = R Vậy đường tròn \(\left( {I;{{BC} \over 2}} \right)\) tiếp xúc với đường thẳng AD. Câu 40 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O), bán kính OA, dây CD là đường trung trực của OA. a) Tứ giác OCAD là hình gì ? Vì sao? b) Kẻ tiếp tuyến đường tròn tại C, tiếp tuyến này cắt đường thẳng OA tại I. Tính độ dài CI biết OA = R. Giải: a) Gọi H là giao điểm của OA và CD Vì CD là đường trung trực của OA nên: CD ⊥ OA và HA = HO Mà CD ⊥ OA nên HC = HD (đường kính dây cung) Vì tứ giác ACOD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. Đồng thời CD ⊥ OA nên ACOD là hình thoi. b) Vì ACOD là hình thoi nên AC = OC Mà OC = OA ( = R) nên tam giác OAC đều Suy ra: \(\widehat {COA} = 60^\circ \) hay \(\widehat {COI} = 60^\circ \) Mà CI ⊥ OC (tính chất tiếp tuyến) Trong tam giác vuông OCI, ta có: \(CI = OC.tg\widehat {COI} = R.tg60^\circ = R\sqrt 3 \). Câu 41 trang 162 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Qua điểm C thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến d của đường tròn. Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ A đến B đến d. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ C đến AB. Chứng minh rằng: a) CE = CF; b) AC là tia phân giác của góc BAE; c) \(C{H^2} = AE.BF\). Giải: a) Ta có: OC ⊥d ( tính chất tiếp tuyến) AE ⊥ d (gt) BF ⊥ d (gt) Suy ra: OC // AE // BF Mà OA = OB (=R) Suy ra: CE = CF (tính chất đường thẳng song cách đều) b) Ta có: AE // OC Suy ra: \(\widehat {OCA} = \widehat {EAC}\) ( hai góc sole trong) (1) Ta có: OA = OC (=R) Suy ra: ∆OAC cân tại O \( \Rightarrow \widehat {OCA} = \widehat {OAC}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {EAC} = \widehat {OAC}\) Vậy AC là tia phân giác của góc OAE hay AC là tia phân giác của góc BAE. c) Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên \(\widehat {ACB} = 90^\circ \) Tam giác ABC vuông tại C có CH ⊥ AB. Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: \(C{H^2} = HA.HB\) (3) Xét hai tam giác ACH và ACE, ta có: \(\widehat {AEC} = \widehat {AHC} = 90^\circ \) CH = CE (tính chất đường phân giác) AC chung Suy ra: ∆ACH = ∆ACE (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra: AH = AE (4) Xét hai tam giác BCH và BEF, ta có: \(\widehat {BHC} = \widehat {BFC} = 90^\circ \) CH = CF (= CE) BC chung Suy ra: ∆BCH = ∆BCF (cạnh huyền, cạnh góc vuông) Suy ra: BH = BF (5) Từ (3), (4) và (5) suy ra: \(C{H^2} = AE.BF\) Câu 4.1 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Cho đoạn thẳng AB. Đường tròn (O) đường kính 2cm tiếp xúc với đường thẳng AB. Tâm O nằm trên (A) Đường vuông góc với AB tại A ; (B) Đường vuông góc với AB tại B ; (C) Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 1cm ; (D) Hai đường thẳng song song với AB và cách AB một khoảng 2cm. Hãy chọn phương án đúng. Giải: Chọn (C). Câu 4.2 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Cho đường tròn (O ; 2cm), điểm A di chuyển trên đường tròn. Trên tiếp tuyến tại A, lấy điểm M sao cho AM = OA. Điểm M chuyển động trên đường nào ? Giải: \(OM = 2\sqrt 2 \). Điểm M chuyển động trên đường tròn \((O ; 2\sqrt 2 cm).\) Câu 4.3 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Cho đường tròn (O ; 15cm), dây AB = 24cm. Một tiếp tuyến song song với AB cắt các tia OA, OB theo thứ tự ở E, F. Tính độ dài EF. Giải: Gọi C là tiếp điểm của EF với đường tròn (O), H là giao điểm của OC và AB. Ta có OC ^ EF và AB // EF nên OC ^ AB. Ta tính được HB = 12 cm nên OH = 9 cm. ∆OAB đồng dạng với ∆OEF nên \({{OH} \over {OC}} = {{AB} \over {EF}}\) , tức là \({9 \over {15}} = {{24} \over {EF}}\). Ta tính được EF = 40 cm.
