Câu 42 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O), điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Dùng thước và compa, hãy dựng các điểm B và C thuộc đường tròn (O) sao cho AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O). Giải: * Phân tích Giả sử tiếp tuyến AB và AC cần dựng thỏa mãn điều kiện bài toán. Ta có: AB ⊥ OB \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) \(AC \bot OC \Rightarrow \widehat {ACO} = 90^\circ \) Tam giác ABO có \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính AO và tam giác ACO có \(\widehat {ACO} = 90^\circ \) nội tiếp trong đường tròn đường kính AO. Suy ra B và C là giao điểm của đường tròn đường kính AO với đường tròn (O). * Cách dựng − Dựng I là trung điểm của OA. − Dựng đường tròn ( I; IO) cắt đường tròn (O) tại B và C. − Nối AB, AC ta được hai tiếp tuyến cần dựng. * Chứng minh Tam giác ABO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên: \(\widehat {ABO} = 90^\circ \) Suy ra: AB ⊥ OB tại B nên AB là tiếp tuyến của đường tròn (O). Tam giác ACO nội tiếp trong đường tròn (I) có OA là đường kính nên : \(\widehat {ACO} = 90^\circ \) Suy ra: AC ⊥ OC tại C nên AC là tiếp tuyến của đường tròn (O) * Biện luận Luôn dựng được đường tròn tâm I, cắt đường tròn tâm O tại hai điểm B và C và luôn có AB, AC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O). Câu 43 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho điểm A nằm trên đường thẳng d, điểm B nằm ngoài đường thẳng d. Dựng đường tròn (O) đi qua A và B, nhận đường thẳng d làm tiếp tuyến. Giải: * Phân tích − Giả sử dựng được đường tròn (O) qua A, B và tiếp xúc với d. Khi đó đường tròn (O) phải tiếp xúc với d tại A. − Đường tròn (O) đi qua A và B nên tâm O nằm trên đường trung trực của AB. − Đường tròn (O) tiếp xúc với d tại A nên điểm O nằm trên đường thẳng vuông góc với d tại điểm A. * Cách dựng − Dựng đường thẳng trung trực của AB. − Dựng đường thẳng đi qua A và vuông góc với d. Đường thẳng này cắt đường trung trực của AB tại O. − Dựa đường tròn ( O; OA) ta được đường tròn cần dựng. * Chứng minh Vì O nằm trên đường trung trực của AB nên OA = OB. Khi đó đường tròn (O; OA) đi qua hai điểm A và B. Ta có: OA vuông góc với d tại A nên d là tiếp tuyến của (O). Vậy (O) thỏa mãn điều kiện bài toán. Câu 44 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ đường tròn (B ; BA) và đường tròn (C ; CA), chúng cắt nhau tại điểm D (khác A). Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (B). Giải: Xét hai tam giác ABC và DBC, ta có: BA = BD (bán kính của (B; BA)) CA = CD (bán kính của (C; CA)) BC chung Suy ra: ∆ABC = ∆DBC (c.c.c) Suy ra: \(\widehat {BAC} = \widehat {BDC}\) Mà \(\widehat {BAC} = 90^\circ \) (gt) \( \Rightarrow \widehat {BDC} = 90^\circ \) Suy ra: CD ⊥ BD tại D Vậy CD là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA). Câu 45 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn (O) có đường kính AH. Chứng minh rằng: a) Điểm E nằm trên đường tròn(O); b) DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). Giải: a) Gọi O là trung điểm của AH Tam giác AEH vuông tại E có EO là đường trung tuyến nên: \( EO = OA = OH ={{AH} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông) Vậy điểm E nằm trên đường tròn \(\left( {O;{{AH} \over 2}} \right)\) b) Ta có: OH = OE suy ra tam giác OHE cân tại O suy ra: \(\widehat {OEH} = \widehat {OHE}\) (1) Mà \(\widehat {BHD} = \widehat {OHE}\) (đối đỉnh) (2) Trong tam giác BDH ta có: \(\widehat {HDB} = 90^\circ \) Suy ra: \(\widehat {HBD} + \widehat {BHD} = 90^\circ \) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {OEH} + \widehat {HBD} = 90^\circ \) (4) Tam giác ABC cân tại A có AD ⊥ BC nên BD = CD Tam giác BCE vuông tại E có ED là đường trung tuyến nên: \(ED = BD = {{BC} \over 2}\) (tính chất tam giác vuông). Suy ra tam giác BDE cân tại D Suy ra: \(\widehat {BDE} = \widehat {DEB}\) (5) Từ (4) và (5) suy ra: \(\widehat {OEH} + \widehat {DEB} = 90^\circ \) hay \(\widehat {DEO} = 90^\circ \) Suy ra: DE ⊥ EO. Vậy DE là tiếp tuyến của đường tròn ((O). Câu 46 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho góc nhọn xOy, điểm A thuộc tia Ox. Dựng đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A và có tâm I nằm trên tia Oy. Giải: * Phân tích Giả sử đường tròn tâm I dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. − Đường tròn tâm I tiếp xúc với Ox tại A nên I nằm trên đường thẳng vuông góc với Ox kẻ từ A. − Tâm I nằm trên tia Oy nên I là giao điểm của Oy và đường thẳng vuông góc với Ox tại A. * Cách dựng − Dựng đường vuông góc với Ox tại A cắt Oy tại I. − Dựng đường tròn (I; IA). * Chứng minh Ta có: I thuộc Oy, OA ⊥ IA tại A. Suy ra Ox là tiếp tuyến của đường tròn ( I;IA) hay (I; IA) tiếp xúc với Ox. * Biện luận Vì \(\widehat {xOy}\) là góc nhọn nên đường thẳng vuông góc với Ox tại A luôn cắt tia Oy nên tâm I luôn xác định và duy nhất. Câu 47 trang 163 Sách bài tập (SBT) Toán 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) và đường thẳng d không giao nhau. Dựng tiếp tuyến của đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến đó song song với d. Giải: * Phân tích Giả sử tiếp tuyến của đường tròn dựng được thỏa mãn điều kiện bài toán. − d1 là tiếp tuyến của đường tròn tại A nên d1 ⊥ OA − Vì d1 // d nên d ⊥ OA. Vậy A là giao điểm của đường thẳng kẻ từ O vuông góc với d. * Cách dựng − Dựng OH vuông góc với d cắt đường tròn (O) tại A và B. − Dựng đường thẳng d1 đi qua A và vuông góc với OA. − Dựng đường thẳng d2 đi qua B và vuông góc với OB. Khi đó d1 và d2 là hai tiếp tuyến cần dựng. * Chứng minh Ta có: A và B thuộc (O) d1 // d mà d ⊥ OH nên d1 ⊥ OH hay d1 ⊥ OA tại A Suy ra d1 là tiếp tuyến của đường tròn (O) d2 // d mà d ⊥ OH nên d2 ⊥ OH hay d2 ⊥ OB tại B Suy ra d2 là tiếp tuyến của đường tròn (O) * Biện luận Đường thẳng OH luôn cắt đường tròn (O) nên giao điểm A và B luôn dựng được. Câu 5.1 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Xét tính đúng – sai của mỗi khẳng định sau: a) Nếu đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A thì d vuông góc với OA. b) Nếu đường thẳng d vuông góc với bán kính OA của đường tròn (O) thì d là tiếp tuyến của đường tròn. Giải: a) Đúng ; b) Sai. Câu 5.2 trang 164 Sách bài tập (SBT) Toán lớp 9 Tập 1. Cho đường tròn (O) đường kính AB, dây CD vuông góc với OA tại trung điểm của OA. Gọi M là điểm đối xứng với O qua A. Chứng minh rằng MC là tiếp tuyến của đường tròn. Giải: CD là đường trung trực của OA nên CA = CO. Suy ra CA = CO = AO = AM. Do đó \(\widehat {MCO} = 90^\circ \). Vậy MC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
