Câu 2.1 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Cho đường tròn tâm O bán kính R. Vẽ góc ở tâm \(\widehat {AOB} = {80^0}\), vẽ góc ở tâm \(\widehat {BOC} = {120^0}\) kề với \(\widehat {AOB}\). So sánh và sắp xếp độ dài AB, BC, CA theo thứ tự tăng dần. Giải Ta có: \(\widehat {AOB} = {80^0}\); \(\widehat {BOC} = {120^0}\) Suy ra: \(\widehat {AOC} = {160^0}\) sđ \(\overparen{AB}\) \( = \widehat {AOB}\) sđ \(\overparen{BC}\) \( = \widehat {BOC}\) sđ \(\overparen{AC}\) \( = \widehat {AOC}\) \(\widehat {AOB} < \widehat {BOC} < \widehat {AOC}\) Suy ra \(\overparen{AB}\) < \(\overparen{BC}\) < \(\overparen{AC}\) Suy ra: AB < BC < AC Câu 2.2 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Cho hình thoi ABCD. Vẽ đường tròn tâm A, bán kính AD. Vẽ đường tròn tâm C, bán kính CB. Lấy điểm E bất kỳ trên đường tròn tâm A (không trùng với B và D), điểm F trên đường tròn tâm C sao cho BF song song với DE. So sánh hai cung nhỏ DE và BF. Giải Ta có (A; AD) và (C; CB) có bán kính AD = CB là cạnh của hình thoi ABCD nên hai đường tròn đó bằng nhau. Vì AD = AB = CD = CB Suy ra (A; AD) và (C; CB) cắt nhau tại B và D. DE // BF (gt) \( \Rightarrow \widehat {EDB} = \widehat {FBD} \Rightarrow \widehat {EDA} + \widehat {ADB} = \widehat {FBC} + \widehat {CBD}\) \(\widehat {ADB} = \widehat {CBD}\) (tính chất hình thoi) Suy ra: \(\widehat {EDA} = \widehat {FBC}\) (1) ∆ADE cân tại A \( \Rightarrow \widehat {EAD} = {180^0} - 2\widehat {EDA}\) (2) ∆CBF cân tại C \( \Rightarrow \widehat {BCF} = {180^0} - 2\widehat {FBC}\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {EAD} = \widehat {BCF}\) sđ \(\overparen{DE}\) \( = \widehat {EAD}\) sđ \(\overparen{BF}\) \( = \widehat {BCF}\) Vì (A; AD) và (C; CB) bằng nhau nên \(\overparen{DE}\) = \(\overparen{BF}\) Câu 10 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho tam giác ABC có AB > AC. Trên cạnh AB lấy một điểm D sao cho hạ AD = AC. Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác DBC. Từ O lần lượt hạ các đường thẳng vuông góc OH, OK xuống BC và BD (\(H \in BC,K \in BD\)). a) Chứng minh rằng OH < OK. b) So sánh hai cung nhỏ BD và BC. Giải a) Trong ∆ABC ta có: BC > AB – AC (bất đẳng thức tam giác) Mà AC = AD (gt) \( \Rightarrow \) BC > AB – AD Hay BC > BD Trong (O) ta có: BC > BD \( \Rightarrow \) OH < OK (dây lớn hơn gần tâm hơn) b) Ta có dây cung BC > BD Suy ra: \(\overparen{BC}\) > \(\overparen{BD}\) (dây lớn hơn căng cung lớn hơn). Câu 11 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Trên dây cung AB của một đường tròn O, lấy hai điểm C và D chia dây này thành ba đoạn thẳng bằng nhau AC = CD = DB. Các bán kính qua C và D cắt cung nhỏ AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng: a) \(\overparen{AE}\) = \(\overparen{FB}\); b) \(\overparen{AE}\) < \(\overparen{EF}\). Giải a) ∆OABcân tại O (vì OA = OB bán kính) \( \Rightarrow \widehat A = \widehat B\) Xét ∆OAC và ∆OBD: OA = OB (bán kính) \(\widehat A = \widehat B\) (chứng minh trên) AC = BD (gt) Suy ra: ∆OAC = ∆OBD (c.g.c) \( \Rightarrow \widehat {{O_1}} = \widehat {{O_2}}\) (1) sđ \(\overparen{AE}\) \( = \widehat {{O_1}}\) (2) sđ \(\overparen{BF}\) \( = \widehat {{O_2}}\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\overparen{AE}\) = \(\overparen{BF}\) b) ∆OAC = ∆BOD (chứng minh trên) \( \Rightarrow OC = OD\) \( \Rightarrow \Delta OCD\) cân tại O nên \(\widehat {ODC} < {90^0}\). Suy ra: \(\widehat {CDF} > {90^0}\) Trong ∆CDF ta có: \(\widehat {CDF} > {90^0} \Rightarrow CF > CD\) nên AC < CF Xét ∆OAC và ∆OCF: OA = OF (bán kính) OC cạnh chung AC < CF Suy ra: \(\widehat {{O_1}} < \widehat {{O_3}}\) (hai tam giác có 2 cạnh bằng nhau từng đôi một, cạnh thứ 3 không bằng nhau, đối diện cạnh lớn hơn là góc lớn hơn). sđ \(\overparen{AE}\) = \(\widehat {{O_1}}\) sđ \(\overparen{EF}\) \( = \widehat {{O_3}}\) Suy ra: \(\overparen{AE}\) < \(\overparen{EF}\). Câu 12 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho đường tròn tâm O. Trên nửa đường tròn bán kính AB lấy hai điểm C, D. Từ C kẻ vuông góc với AB, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là E. Từ A kẻ vuông góc với DC, nó cắt đường tròn tại điểm thứ hai là F. Chứng minh rằng: a) Hai cung nhỏ CF và DB bằng nhau. b) Hai cung nhỏ BF và DE bằng nhau c) DE = BF. Giải a) ∆ AFB nội tiếp trong (O) có AB là đường kính nên ∆ AFB vuông tại F. \( \Rightarrow BF \bot AK\) \(AK \bot CD\) (gt) Suy ra: BF // CD \( \Rightarrow \) \(\overparen{BD}\) = \(\overparen{CF}\) (hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau) b) \(AB \bot CE\) tại điểm H nên C và H đối xứng qua trục AB. \( \Rightarrow \) \(\overparen{BC}\) = \(\overparen{BE}\) \(\overparen{CF}\) = \(\overparen{BD}\) (chứng minh trên) Suy ra: \(\overparen{BC}\) + \(\overparen{CF}\) = \(\overparen{BE}\) + \(\overparen{BD}\) Hay \(\overparen{BF}\) = \(\overparen{DE}\) c) \(\overparen{BF}\) = \(\overparen{DE}\) (chứng minh trên) d) BF = DE(hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau). Câu 13 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho đường tròn (O). Gọi I là điểm chính giữa dây cung AB (Không phải là cung nửa đường tròn) và H là trung điểm của dây AB. Chứng minh rằng đường thẳng IH đi qua tâm O của đường tròn. Giải Ta có: \(\overparen{IA}\) = \(\overparen{IB}\)(gt) \( \Rightarrow IA = IB\) (2 cung bằng nhau căng 2 dây bằng nhau) \( \Rightarrow I\) nằm trên đường trung trực của AB OA = OB (bán kính (O) \( \Rightarrow O\) nằm trên đường trung trực của AB Suy ra: OI là đường trung trực của AB H là trung điểm của AB, do đó OI đi qua trung điểm H Vậy 3 điểm I, H, O thẳng hàng. Câu 14 trang 101 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho đường tròn (O; R). Hãy vẽ hai cung (không phải là cung lớn) biết rằng cung này có số đo gấp ba lần số đo cung kia và có dây căng cung dài gấp đôi dây căng cung kia. Giải Vì cung không phải là cung lớn nên hai cung đó có thể là cung nhỏ hoặc cung nửa đường tròn. Ta có cung nửa đường tròn có số đo bằng 1800 và dây cung bằng 2R, cung tròn 600 nên có góc ở tâm bằng 600. Tam giác tạo với 2 bán kính đi qua 2 đầu mút cong là một tam giác đều nên dây giương cung bằng bán kính R. Vậy nửa đường tròn và cung 600 thỏa mãn bài toán.
