Câu 15 trang 102 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho đường tròn tâm O, bán kính 1,5cm. Hãy vẽ hình vuông ABCD có bốn đỉnh nằm trên đường tròn đó. Nêu cách vẽ. Giải - Vẽ đường tròn (0; 1,5cm) - Vẽ 2 đường kính AC và BD vuông góc với nhau. - Nối AB, BC, CD, DA ta có tứ giác ABCD là hình vuông có 4 đỉnh nằm trên cung tròn (0; 1,5cm). Thật vậy: OA = OC, OB = OD nên tứ giác ABCD là hình bình hành Lại có: AC = BD và \(BD \bot AC\). Vậy: tứ giác ABCD là hình vuông. Câu 16 trang 102 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho đường tròn (O) và hai đường kính AB, CD vuông góc với nhau. Lấy một điểm M trên cung AC rồi vẽ tiếp tuyến với đường tròn (O) tại M. Tiếp tuyến này cắt đường thẳng CD tại S. Chứng minh rằng \(\widehat {MSD} = 2\widehat {MBA}\). Giải \(SM \bot OM\) (tính chất tiếp tuyến) \( \Rightarrow \Delta OMS\) vuông tại M \(\widehat {MSO} + \widehat {MOS} = {90^0}\) \(AB \bot CD\) (gt) \( \Rightarrow \widehat {MOS} + \widehat {MOA} = {90^0}\) Suy ra: \(\widehat {MSO} = \widehat {MOA}\) hay \(\widehat {MSD} = \widehat {MOA}\) (1) \(\widehat {MOA} = 2\widehat {MBA}\) (góc ở tâm và góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AM}\)) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {MSD} = 2\widehat {MBA}\) Câu 17 trang 102 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho đường tròn (O) và hai dây AB, AC bằng nhau. Qua A vẽ một cát tuyến cắt dây BC ở D và cắt đường tròn (O) ở E. Chứng minh rằng \(A{B^2} = AD.AE\). Giải AB = AC (gt) \(\overparen{AB}\) = \(\overparen{AC}\) (hai dây bằng nhau căng 2 cung bằng nhau) \( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {AEB}\) (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) Xét ∆ABD và ∆ABE: \(\widehat A\) chung \(\widehat {ABC} = \widehat {AEB}\) (chứng minh trên) Hay \(\widehat {ABD} = \widehat {AEB}\) Suy ra: ∆ABD đồng dạng ∆AEB \({{AE} \over {AB}} = {{AB} \over {AD}} \Rightarrow {\rm A}{{\rm B}^2} = AD.AE\). Câu 18 trang 102 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho đường tròn (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn. Qua M vẽ một cát tuyến bất kì cắt đường tròn ở A và B. Chứng minh rằng tích MA.MB không đổi. Giải Trường hợp M ở bên trong đường tròn (O) Kẻ cát tuyến AB bất kỳ và kẻ đường thẳng MO cắt đường tròn tại C và D. Xét hai ∆MAC và ∆MBD: \(\widehat {AMC} = \widehat {BMD}\) (đối đỉnh) \(\widehat A = \widehat D\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{BC}\) Suy ra: ∆MAC đồng dạng ∆MDB (g.g) \( \Rightarrow {{MB} \over {MC}} = {{MD} \over {MA}}\) \( \Rightarrow MA.MB = MC.MD\) (1) Vì M, O cố định suy ra điểm C và D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi \( \Rightarrow \) tích MC.MD không đổi (2) Từ (1) và (2) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến AB thay đổi. Trường hợp điểm M ở ngoài đường tròn (O) Kẻ cát tuyến MAB bất kỳ của (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D Xét ∆MAD và ∆MCB: \(\widehat M\) chung \(\widehat B = \widehat D\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AC}\)) Suy ra: ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g.g) \( \Rightarrow {{MC} \over {MA}} = {{MB} \over {MD}} \Rightarrow MA.MB = MC.MD\) (3) Vì M và O cố định suy ra điểm C, D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi \( \Rightarrow \) tích MC. MD không đổi (4) Từ (3) và (4) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi. Câu 19 trang 102 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Để giúp xe lửa chuyển từ một đường ray từ hướng này sang một đường ray theo hướng khác, người ta làm xen giữa một đoạn đường ray hình vòng cung (hình 1). Biết chiều rộng của đường ray là AB \( \approx 1,1m\), đoạn BC \( \approx 28,4m\). Hãy tính bán kính OA = R của đoạn đường ray hình vòng cung. Giải Ta xem hai đoạn đường ray thẳng là tiếp tuyến của hai đoạn đường ray vòng cung. Điểm B cố định nằm trong đường tròn có cung \(\overparen{AC}\). Đường thẳng OB cắt đường tròn đó tại A và A’. A cố định và A’ cố định B là tiếp điểm cung nhỏ trong nên BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; OB) \( \Rightarrow BC \bot OB\). Kéo dài BC cắt đường tròn (O; OA) tại C’ \( \Rightarrow BC = BC'\) (đường kính vuông góc dây cung) Xét ∆BAC và ∆BA'C: \(\widehat {ABC} = \widehat {C'BA'}\) (đối đỉnh) \(\widehat {ACB} = \widehat {C'A'B}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AC'}\)) Suy ra: ∆BAC đồng dạng ∆BC'A' (g.g) \( \Rightarrow {{BC'} \over {AB}} = {{BA'} \over {BC}}\) \( \Rightarrow BC.BC' = AB.BA'\) mà BC = BC’; BA’ = 2R – AB Suy ra: \(B{C^2} = AB\left( {2R - AB} \right)\) \({\left( {28,4} \right)^2} \approx 1,1.\left( {2R - 1,1} \right)\) \( \Rightarrow 2,2R \approx 806,56 + 1,21\) \(R \approx 807,77:2,2 = 367,2\) (m). Câu 20 trang 102 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O) và M là một điểm của cung nhỏ BC. Trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB. a) Hỏi tam giác MBD là tam giác gì? b) So sánh hai tam giác BDA và BMC. c) Chứng minh rằng MA = MB + MC. Giải a) MB = MD (gt) \( \Rightarrow \) ∆MBD cân tại M \(\widehat {AMB} = \widehat {ACB}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AB}\)) Mà \(\widehat {ACB} = {60^0}\) (vì ∆ABC đều) \( \Rightarrow \widehat {AMB} = {60^0}\) hay \(\widehat {DMB} = {60^0}\) Vậy ∆MBD đều b) ∆MBD đều \( \Rightarrow \widehat {DBC} + \widehat {CBM} = \widehat {DBM} = {60^0}\) (1) ∆ABC đều \( \Rightarrow \widehat {ABD} + \widehat {DBC} = \widehat {ABC} = {60^0}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra: \(\widehat {CBM} = \widehat {ABD}\) Xét ∆BDA và ∆BMC: BA = BC (gt) \(\widehat {ABD} = \widehat {CBM}\) (chứng minh trên) BD = BM (vì ∆MBD đều) Suy ra: ∆BDA = ∆BMC (c.g.c) c) ∆BDA = ∆BMC (chứng minh trên) \( \Rightarrow DA = MC\) Ta có: MB = MD (gt) mà AM = AD + DM Suy ra: MA = MD + MC. Câu 21 trang 102 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O, biết \(\widehat A = {32^0}\), \(\widehat B = {84^0}\). Lấy các điểm D, E, F thuộc đường tròn tâm O sao cho AD = AB, BE = BC, CF = CA. Hãy tính các góc của tam giác DEF. Giải \(\widehat A = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{BC}\) (tính chất góc nội tiếp) \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{BC}\) \( = 2\widehat A = {2.32^0} = {64^0}\) BC = BE (gt) \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{BC}\) = sđ \(\overparen{BE}\) = 640 \(\widehat B = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AC}\) (tính chất góc nội tiếp) \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AC}\) \( = 2\widehat B = {2.84^0} = {168^0}\) AC = CF (gt) \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{CF}\) = sđ \(\overparen{AC}\) = 1680 sđ \(\overparen{AC}\) + sđ \(\overparen{AF}\) + sđ \(\overparen{CF}\) = 3600 \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AF}\) \( = {360^0} - \) sđ \(\overparen{AC}\) - sđ \(\overparen{CF}\) = 3600 – 1680. 2 = 240 Trong ∆ABC ta có: \(\widehat A + \widehat B + \widehat C = {180^0}\) \( \Rightarrow \widehat {ACB} = {180^0} - \left( {\widehat A + \widehat B} \right)\) = \({180^0} - \left( {{{32}^0} + {{84}^0}} \right) = {64^0}\) sđ \(\widehat {ACB} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{AB}\) \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AB}\) \( = 2\widehat {ACB} = {2.64^0} = {128^0}\) AD = AB (gt) \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{AD}\) = sđ \(\overparen{AB}\) = 1280 \(\widehat {FED} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{DF}\) \( = {1 \over 2}\) ( sđ \(\overparen{AD}\) + sđ \(\overparen{AF}\)) = \({1 \over 2}.\left( {{{128}^0} + {{24}^0}} \right) = {76^0}\) \(\widehat {EDF} = {1 \over 2}\) sđ \(\overparen{EF}\) = \({1 \over 2}\) ( sđ \(\overparen{AB}\) - sđ \(\overparen{AF}\) - sđ \(\overparen{BE}\) = \({1 \over 2}.\left( {{{128}^0} - {{24}^0} - {{64}^0}} \right) = {20^0}\) \(\widehat {DFE} = {180^0} - \left( {\widehat {FED} + \widehat {EDF}} \right)\) = \({180^0} - \left( {{{76}^0} + {{20}^0}} \right) = {84^0}\). Câu 22 trang 102 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Vẽ một tam giác vuông biết cạnh huyền là 4cm và đường cao ứng với cạnh huyền là 1,5cm. Giải Cách vẽ: - Vẽ đoạn BC = 4cm. - Vẽ nửa đường tròn đường kính BC - Vẽ đường thẳng xy nằm trên nửa mặt phẳng chứa nửa đường tròn và xy // BC, cách BC một khoảng bằng 1,5cm. - Đường thẳng xy cắt nửa đường tròn đường kính BC tại A và A’. Nối AB, AC, A’B, A’C ta có ∆ABC hoặc ∆A'BC cần vẽ. Thật vậy: xy cách BC một khoảng 1,5m < \({{BC} \over 2} = 2\) cm nên đường thẳng xy cắt nửa đường tròn đường kính BC. Ta lại có ∆ABC nội tiếp trong nửa đường tròn đường kính BC nên \(\widehat {BAC} = {90^0}\) Có \(AH \bot BC\) và AH = 1,5 cm. Câu 23 trang 103 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC) nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường phân giác của hai góc B và C cắt nhau ở E và cắt đường tròn lần lướt ở F và D. Chứng minh rằng tứ giác EBAF là một hình thoi. Giải ∆ABC cân tại A \( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân) BF là tia phân giác của \(\widehat {ABC}\) (gt) CD là tia phân giác của \(\widehat {ACB}\) (gt) Suy ra: \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}} = \widehat {{C_1}} = \widehat {{C_2}}\) Suy ra: \(\overparen{AD}\)=\(\overparen{DB}\)=\(\overparen{AF}\)=\(\overparen{FC}\) \(\widehat {{A_1}} = \widehat {{B_1}}\) (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) \( \Rightarrow AD//BF\) (vì có cặp góc so le trong bằng nhau) Hay AD // EF (1) \(\widehat {{A_2}} = \widehat {{C_1}}\) (hai góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) \( \Rightarrow \) AF // CD (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau) Hay AF // ED (2) \(\overparen{AD}\) = \(\overparen{AF}\) (chứng minh trên) \( \Rightarrow AD = AF\) (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra: Tứ giác ADEF là hình thoi Câu 3.1 trang 103 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Mỗi câu sau đây đúng hay sai (A) Góc nội tiếp là góc tạo bởi hai dây của đường tròn đó. (B) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì cùng chắn một cung. (C) Trong một đường tròn, hai góc nội tiếp không cùng chắn một cung thì không bằng nhau. (D) Trong một đường tròn, số đo của một góc nội tiếp bằng số đo cung bị chắn. (E) Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Giải Chọn câu đúng (E) Trong một đường tròn, góc nội tiếp có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung. Câu 3.2 trang 103 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O. Đường tròn tâm A bán kính AO cắt nửa đường tròn đã cho tại C. Đường tròn tâm B bán kính BO cắt nửa đường tròn đã cho tại D. Đường thẳng qua O và song song với AD cắt nửa đường tròn đã cho tại E. a) \(\widehat {ADC}\) và \(\widehat {ABC}\) có bằng nhau không? Vì sao? b) Chứng minh CD song song với AB. c) Chứng minh AD vuông góc với OC d) Tính số đo của \(\widehat {DAO}\). e) So sánh hai cung BE và CD. Giải a) Trong đường tròn (O) ta có: \(\widehat {ADC} = \widehat {ABC}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(\overparen{AC}\)) b) ∆ACB nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên ∆ABC vuông tại C \( \Rightarrow CO = OA = {1 \over 2}AB\) (tính chất tam giác vuông) AC = AO (bán kính đường tròn (A)) Suy ra: AC = AO = OC \( \Rightarrow \) ∆ACO đều \( \Rightarrow \widehat {AOC} = {60^0}\) ∆ADB nội tiếp trong đường tròn đường kính AB nên ∆ADB vuông tại D \( \Rightarrow DO = OB = OA = {1 \over 2}AB\) (tính chất tam giác vuông) BD = BO(bán kính đường tròn (B)) Suy ra: BO = OD = BD \( \Rightarrow \) ∆BOD đều \( \Rightarrow \widehat {ODB} = \widehat {BOD} = {60^0}\) \(\widehat {AOC} + \widehat {COD} + \widehat {BOD} = {180^0}\) Suy ra: \(\widehat {COD} = {60^0}\) OC = OD (vì cùng bằng \({1 \over 2}AB\)) Suy ra: ∆COD đều \( \Rightarrow \widehat {ODC} = {60^0} \Rightarrow \widehat {ODC} = \widehat {BOD}\) \( \Rightarrow \) CD // AB (vì có cặp góc ở vị trí so le trong bằng nhau) c) ∆AOC đều (chứng minh trên) \( \Rightarrow OA = AC = OC\) ∆OCD đều (chứng minh trên) \( \Rightarrow OC = OD = CD\) Suy ra: AC = AO = OD = DC Vậy: tứ giác AODC là hình thoi. d) ∆BOD đều (chứng minh trên) \( \Rightarrow \widehat {OBD} = {60^0}\) hay \(\widehat {ABD} = {60^0}\) ∆ADBvuông tại D \( \Rightarrow \widehat {DAB} + \widehat {ABD} = {90^0}\) \( \Rightarrow \widehat {DAB} = {90^0} - \widehat {ABD} = {90^0} - {60^0} = {30^0}\) Vậy \(\widehat {DAO} = {30^0}\) e) OE // AD (gt) \( \Rightarrow \widehat {EOB} = \widehat {DAO} = {30^0}\) (hai góc đồng vị) sđ \(\overparen{BE}\) \( = \widehat {EOB} = {30^0}\) sđ \(\overparen{CD}\) \( = \widehat {COD}\) mà \(\widehat {COD} = {60^0}\) (chứng minh trên) sđ \(\overparen{CD}\) = 600 Suy ra: Số đo cung \(\overparen{CD}\) gấp đôi số đo cung \(\overparen{BE}\).
