Câu 52 trang 109 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho hai đường tròn có bán kính lần lượt là R = 1km và r = 1m. Nếu độ dài của mỗi đường tròn ấy đều tăng thêm 1m thì bán kính của mỗi đường tròn tăng thêm bao nhiêu? Hãy giải thích. Giải Gọi phần bán kính tăng thêm của đường tròn bán kính R là a, phải tăng thêm của đường tròn bán kính r là b. Khi bán kính mỗi đường tròn tăng thêm 1m, ta có: \(2\pi (R + a) = 2\pi r + 1 \Rightarrow 2\pi a = 1 \Rightarrow a = {1 \over {2\pi }}(m)\) \(2\pi (r + b) = 2\pi r + 1 \Rightarrow 2\pi b = 1 \Rightarrow b = {1 \over {2\pi }}(m)\) Vậy bán kính mỗi đường tròn đều tăng thêm \({1 \over {2\pi }}(m)\). Câu 53 trang 109 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp: a) Một lục giác đều có cạnh là 4cm; b) Một hình vuông có cạnh là 4cm; c) Một tam giác đều có cạnh là 6cm. Giải a) Cạnh lục giác đều nội tiếp trong đường tròn (O; R) bằng bán kính R. Vì cạnh lục giác đều là 4cm \( \Rightarrow R = 4\) cm. C = 2πR = 2. π. 4 = 8π (cm) b) Đường tròn ngoại tiếp hình vuông có đường kính là đường chéo của hình vuông. Độ dài đường chéo hình vuông có cạnh bằng 4 (cm) là \(4\sqrt 2 \) (cm) Bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình vuông: \(R = {{4\sqrt 2 } \over 2} = 2\sqrt 2 \) C = 2πR= 2. π. \(2\sqrt 2 \) = 4π\(\sqrt 2 \) (cm) c) Vì tam giác đều nên giao điểm 3 đường trung trực cũng là giao điểm 3 đường cao, 3 đường trung tuyến nên bán kính của đường tròn ngoại tiếp bằng \({2 \over 3}\) đường cao của tam giác đều. \(AH = AB.\sin \widehat B = {\rm{6}}.\sin {\rm{6}}{0^0} = {\rm{6}}.{{\sqrt 3 } \over 2} = 3\sqrt 3 \) \(R = {2 \over 3}AH = {2 \over 3}.3\sqrt 3 = 2\sqrt 3 \) (cm) C = 2πR = 2π. = 4π (cm). Câu 54 trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Xích đạo là một đường tròn lớn của Trái Đất có độ dài khoảng 40 000km. Hãy tính bán kính của Trái Đất. Giải Gọi bán kính trái đất là R Ta có: 2πR = 40 000 (km) R = \({{40000} \over {2\pi }} \approx {{40000} \over {6,28}} \approx 6369\) (km) Câu 55 trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Mát – xcơ – va có vĩ độ là 560 Bắc. Tìm độ dài cung kinh tuyến từ Mát – xcơ – va đến Xích Đạo, biết rằng mỗi kinh tuyến là một nửa đường tròn lớn của Trái Đất, có độ dài khoảng 20 000km. Giải Ta có cung 1800 có độ dài bằng 20 000 km. Độ dài của cung 560 là: \(l \approx {{20000.56} \over {180}} \approx 6222\) (km) Vậy mát – x cơ – va cách xích đạo gần 6222 km. Câu 56 trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Hãy so sánh độ dài ba đường cong a, b, c trong hình 6. Giải Đường cong a là nửa đường tròn đường kính 12 cm Đường cong a có độ dài \({l_1} = {1 \over 2}\pi .12 = 6\pi \) (cm) Đường cong b gồm 3 nửa đường tròn có đường kính là 4 cm Đường cong b có độ dài \({l_2} = 3.{1 \over 2}\pi .4 = 6\pi \) (cm) Đường cong c gồm hai nửa đường tròn đường kính 6 cm. Đường cong c có độ dài \({l_3} = 2.{1 \over 2}\pi .6 = 6\pi \) (cm) Vậy 3 đường cong có độ dài bằng nhau. Câu 57 trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Các tam giác trong hai hính quả tim dưới đây (h.7 và h.8) đều là tam giác đều. Biết AB = CD = 8cm. Tính chu vi của mỗi hình quả tim. Giải Hình a có 2 nửa đường tròn đường kính 4 cm \(\overparen{AmI}\) là nửa đường tròn đường kính 4 cm có độ dài \({l_1}\) \({l_1} = {1 \over 2}\pi .4 = 2\pi \) (cm) \(\overparen{AnJ}\) là cung \({1 \over 6}\) đường tròn bán kính 4 cm có 4 cung bằng nhau (vì 4 đường tròn đó có cùng bán kính) \(\overparen{AnJ}\) có độ dài \({l_2}\) \({l_2} = {1 \over 6}.2\pi .4 = {4 \over 3}\pi \) (cm) Chu vi hình a là: \(2\pi .2 + {4 \over 3}\pi .4 = {{28} \over 3}\pi \) (cm) Hình b có hai nửa đường tròn đường kính 4 cm và hai cung \({1 \over 6}\) đường tròn bán kính 8 cm Cung \(\overparen{CpS}\) nửa đường tròn đường kính 4 cm có độ dài \({l_1}\) \({l_1} = {1 \over 2}.\pi .4 = 2\pi \) (cm) Cung \(\overparen{CqT}\) là \({1 \over 6}\) đường tròn bán kính 8 cm có độ dài \({l_2}\) \({l_2} = {1 \over 6}.2\pi .8 = {8 \over 3}\pi \) (cm) Chu vi hình b bằng: \(2.{l_1} + 2.{l_2} = 2.2\pi + 2.{8 \over 3}\pi = {{28} \over 3}\pi \) (cm) Câu 58 trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Vẽ hình quả trứng (h. 9) với AB = 3cm. Nêu cách vẽ. Tính chu vi của hình quả trứng đó. Giải - Vẽ đoạn thẳng AB = 3 cm - Vẽ đường tròn tâm A bán kính 3 cm - Vẽ đường tròn tâm B bán kính 3 cm Đường tròn (A) và đường tròn (B) cắt nhau tại C và D. - Vẽ cung tròn tâm C bán kính 6 cm cắt đường tròn (A) và (B) tại F và H - Vẽ cũng tròn tâm D bán kính 6 cm cắt đường tròn (A) và (B) tại E và G ∆ABD đều, ∆ACD đều. \( \Rightarrow \widehat {CAD} = \widehat {CBD} = {120^0}\) \(\overparen{FmE}\) = \(\overparen{HG}\); \(\overparen{FnH}\) = \(\overparen{EG}\) Cung \(\overparen{FmE}\) bằng \({1 \over 3}\) đường tròn đường kính 3 cm có độ dài là \({l_1}\) \({l_1} = {1 \over 3}.2\pi .3 = 2\pi \) (cm) Cung \(\overparen{FnH}\) bằng \({1 \over 6}\) đường tròn bán kính 6 cm có độ dài \({l_2}\) \({l_2} = {1 \over 6}.2\pi .6 = 2\pi \) (cm) Chu vi quả trứng bằng: \(2{l_1} + 2{l_2} = 2.2\pi + 2.2\pi = 8\pi \) (cm) Câu 59 trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Tính độ dài cung 36045’ của một đường tròn có bán kính là R. Giải Đổi \({36^0}45' = {{{{147}^0}} \over 4}\) \(l = {{\pi R.n} \over {180}}\) \( \Rightarrow l = {{\pi R.{{{{147}^0}} \over 4}} \over {180}} = {{49} \over {240}}\pi R\) Câu 60 trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Cho tam giác cân ABC có \(\widehat B = {120^0}\), AC = 6cm. Tính độ dài đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Giải ∆ABC cân có \(\widehat B\) = 1200 nên ∆ABC cân tại B \( \Rightarrow \widehat A = \widehat C = {{{{180}^0} - {{120}^0}} \over 2} = {30^0}\) Kẻ \(BH \bot AC \Rightarrow AH = HC = {1 \over 2}AC = 3\) (cm) Trong tam giác vuông BHA ta có \(\widehat {BHA} = {90^0}\) \(AB = {{AH} \over {\cos A}} = {3 \over {\cos {{30}^0}}} = {3 \over {{{\sqrt 3 } \over 2}}} = 2\sqrt 3 \) (cm) \(\widehat C = {1 \over 2}\widehat {AOB}\) (hệ quả góc nội tiếp) \( \Rightarrow \widehat {AOB} = 2\widehat C = {2.30^0} = {60^0}\) OA = OB (bán kính) Suy ra ∆AOB đều nên OA = OB = \(2\sqrt 3 \) (cm) Độ dài đường tròn ngoại tiếp ∆ABC C = \(2\pi R\) \(C = 2\pi .2\sqrt 3 = 4\pi \sqrt 3 \) (cm) Câu 61 trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Trong dân gian Việt Nam có lưu truyền quy tắc sau đây để tìm đường kính sau đây để tìm đường kính khi biết độ dài đường tròn: “Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị”, tức là chia đường tròn thánh tám phần, bỏ đi ba phần, còn lại năm phần, lại chia đôi. a) Theo quy tắc đó thì số π được lấy gần đúng là bao nhiêu? b) Hãy áp dụng quy tắc trên để tính đường kính của một thân cây gần tròn bằng cách dùng dây quấn quanh thân cây. Giải a) Gọi C là độ dài đường tròn, d là đường kính \( \Rightarrow \pi = {C \over d}\) Theo quy tắc trên ta tìm được đường kính d như sau: Lấy C chia làm 8 phần, bỏ đi 3 phần còn lại chia 2. Ta có: \(d = \left( {{C \over 8} - {3 \over 8}C} \right):2\) \( = {5 \over 8}C:2 = {{5C} \over {16}}\) \(\pi = {C \over d} = {C \over {{{5C} \over {16}}}} = {{16} \over 5} = 3,2\) b) Lấy dây quấn quanh thân cây được độ dài đường tròn là C Suy ra đường kính thân cây là \({5 \over {16}}C\) Câu 62 trang 110 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2. Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời theo một quỹ đạo gần tròn. Giả thiết quỹ đạo này tròn và có bán kính khoảng 150 triệu kilomet. Cứ hết một năm thì Trái Đất quay được một vòng quanh Mặt Trời. Biết 1 năm có 365 ngày, hãy tính quãng đường đi được của Trái Đất sau 1 ngày (làm tròn đến 10 000km). Giải Quãng đường đi của trái đất trong 1 ngày là: \({{2.3,14.150000000} \over {365}} \approx 2580822 \approx 2580000\) km Câu 9.1 trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Tính chu vi của hình bên biết OA = OB = R > 0 (h.bs.5). Giải Hình đó gồm một nửa đường tròn bán kính 3R và 3 nửa đường tròn bán kính R Chu vi của hình đó là: \(l = {1 \over 2}.2\pi .3R + 3.{1 \over 2}.2\pi .R = 6\pi R\) Câu 9.2 trang 111 Sách Bài Tập (SBT) Toán 9 Tập 2 Tính chu vi của hình cánh hoa, biết OA = R (h.bs.6). Giải Hình vẽ có 6 cung tròn bằng nhau có bán kính bằng R \(\overparen{BOF}\) của đường tròn (A; R) \(\overparen{AOC}\) của đường tròn (B; R) \(\overparen{BOD}\) của đường tròn (C; R) \(\overparen{COE}\) của đường tròn (D; R) \(\overparen{DOF}\) của đường tròn (E; R) \(\overparen{EOA}\) của đường tròn (F; R) ∆AOB đều, ∆AOF đều nên \(\widehat {BAF} = {120^0}\) \( \Rightarrow \) sđ \(\overparen{BOF}\)= 1200 \(l = {{\pi R.120} \over {180}} = {{2\pi R} \over 3}\) Chu vi cánh hoa: \({{2\pi R} \over 3}.6 = 4\pi R\)
