Câu 27 trang 169 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. a) Trong hình 102, cho A là giao điểm của đường tròn (0; 6) với tia 90° và kí hiệu là A(6; 90°). Tương tự B là giao điểm của đường tròn (0; 3) với tia 150° và kí hiệu là B(3; 150°). Hãy đánh dấu các điểm C(6; 210°), D(3; 30°) và E(6; 330°) trên hình 102. b) Nối AB, BC, AD, DE và BD em thấy hình gì? Giải a) Ta có hình vẽ: b) Ta thu được hình chữ A Câu 28 trang 170 sách bài tập (SBT) toán 9 tập 2. Trong nửa hình cầu có OR = x (cm), \(\widehat {TOS}\) = 45°. Độ dài đoạn ST nhận giá trị nào trong các giá trị sau: (A) x (cm); (B) \(\sqrt 2 \)x (cm) (C) \({x \over {\sqrt 2 }}\) (cm) (D) 2x (cm) Giải OR là bán kính. OR = x \( \Rightarrow \) OS = x \(\Delta STO\) vuông tại T có \(\widehat {TOS}\) = 45° ST = OS. Sin 45° = \(x.{{\sqrt 2 } \over 2} = {x \over {\sqrt 2 }}\) Chọn (C) \({x \over {\sqrt 2 }}\) (cm) Câu 29 trang 170 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Trong các hình sau đây, hình nào có diện tích lớn nhất? a) Hình tròn có bán kính 2cm b) Hình vuông có độ dài cạnh 3,5cm c) Tam giác với độ dài các cạnh là 3cm, 4cm, 5cm d) Nửa mặt cầu bán kính 4cm Hãy chọn kết quả đúng Giải: a) Hình tròn có bán kính 2cm có diện tích: \(S = 4\pi (c{m^2})\) b) Hình vuông có cạnh bằng 3,5 cm có diện tích: S = 12,25 \((c{m^2})\) c) Tam giác 3 cạnh là 3 cm, 4 cm, 5 cm nên nó là tam giác vuông có \(S = {1 \over 2}.3.4 = 6\) d) Diện tích nửa mặt cầu bán kính 4 cm: \(S = {1 \over 2}\pi {.8^2} = 32\pi (c{m^2})\) Chọn d) Nửa mặt cầu bán kính 4cm. Câu 30 trang 170 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Cho hình quay một vòng xung quanh đường cao AH của tam giác đó, (xem hình 104), ta được một hình nón ngoại tiếp một hình nón ngoại tiếp hình cầu. Tính thể tích phần hình nón bên ngoài hình cầu. Giải: Gọi h là đường cao của tam giác đều, r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác đó Trong \(\Delta \) AHC có \(\widehat {AHC}\) = 90°; \(\widehat C\) = 60° \(AH = AC.\sin C = a.\sin {60^{^0}} = {{a\sqrt 3 } \over 2}\) \(\Delta \) ABC đều, tâm của đường tròn nội tiếp là giao điểm của ba đường phân giác đồng thời là đường trung tuyến là trung trực nên ta có: \(r = {1 \over 3}h = {{a\sqrt 3 } \over 6}\) Thể tích hình nón: \({V_1} = {1 \over 3}\pi .B{H^{^2}}.AH = {1 \over 3}\pi {\left( {{a \over 2}} \right)^2}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}}\) (đơn vị thể tích) Thể tích hình cầu: \({V_2} = {4 \over 3}\pi {r^3} = {4 \over 3}\pi .{\left( {{{a\sqrt 3 } \over 6}} \right)^3} = {4 \over 3}\pi .{{3{a^3}\sqrt 3 } \over {216}} = {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {54}}\) Phần thể tích hình nón nằm ngoài hình cầu: \({{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {24}} - {{\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {54}} = {{9\pi {a^3}\sqrt 3 - 4\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {216}} = {{5\pi {a^3}\sqrt 3 } \over {216}}\) (đơn vị thể tích) Câu 31 trang 171 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Hai hình cầu A và B có các bán kính tương ứng là x và 2x (cm) Tỉ số các thể tích của 2 hình cầu này là: (A) 1: 2 (B) 1: 4 (C) 1: 8 (D) Một kết quả khác Hãy chọn kết quả đúng Giải: Hình cầu A có bán kính r = x có thể tích: \({V_1} = {4 \over 3}\pi {x^3}\left( {c{m^3}} \right)\) Hình cầu B có bán kính r = 2x có thể tích: \({V_2} = {4 \over 3}\pi {\left( {2x} \right)^3} = {{32} \over 3}\pi {x^3}\left( {c{m^3}} \right)\) \({V_1}:{V_2} = {4 \over 3}:{{32} \over 3} = {4 \over 3}.{3 \over {32}} = {1 \over 8}\) Chọn (C) 1: 8 Câu 32 trang 171 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Hình 105 minh họa: hình gồm một nửa hình cầu và một hình nón Thể tích của hình nhận giá trị nào trong các giá trị sau: (A) \({2 \over 3}\pi {x^3}(c{m^3})\) (B) \(\pi {x^3}(c{m^3})\) (C) \({4 \over 3}\pi {x^3}(c{m^3})\) (D) \(2\pi {x^3}(c{m^3})\) Giải: Hình gồm một nửa hình cầu có bán kính là x và một hình nón có bán kính đáy bằng x, chiều cao bằng x. Thể tích nửa hình cầu: \({V_1} = {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi {x^3} = {2 \over 3}\pi {x^3}(c{m^3})\) Thể tích của hình nón: \({V_2} = {1 \over 3}\pi .{x^2}.x = {1 \over 3}\pi {x^3}(c{m^3})\) Tổng thể tích của 2 hình đó là: \({2 \over 3}\pi {x^3} + {1 \over 3}\pi {x^3} = \pi {x^3}(c{m^3})\) Chọn (B) \(\pi {x^3}(c{m^3})\) Câu 33 trang 171 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Một quả bóng hình cầu bên trong một hình lập phương như hình 106 a) Tính tỉ số giữa diện tích toàn phần của hình lập phương với diện tích mặt cầu b) Nếu diện tích mặt cầu là \(7\pi (c{m^2})\) thì diện tích toàn phần của hình lập phương là bao nhiêu? c) Nếu bán kính hình cầu là 4cm thì thể tích phần trống (trong hình hộp ngoài hình cầu) là bao nhiêu? Giải Gọi cạnh hình lập phương là a thì bán kính cầu \(r = {a \over 2}\) a) Diện tích toàn phần của hình lập phương: \({S_1} = 6{a^2}\) (đơn vị diện tích) Diện tích mặt cầu: \({S_2} = 4.\pi .{\left( {{a \over 2}} \right)^2} = 4\pi .{{{a^2}} \over 4} = \pi {a^2}\) (đơn vị diện tích) Tỉ số \({S_1}:{S_2} = 6{a^2}:\pi {a^2} = {6 \over \pi }\) b) Diện tích mặt cầu \(7\pi (c{m^2})\) ta có: \({S_1}:7\pi = {6 \over \pi }\) \( \Rightarrow {S_1} = {6 \over \pi }.7\pi = 42\) \(\left( {c{m^2}} \right)\) c) Bán kính hình cầu r = 4cm thì cạnh hình lập phương 2r = 8cm Thể tích của hình lập phương: \({V_1} = {a^3} = {8^3} = 512\left( {c{m^3}} \right)\) Thể tích hình cầu: \({V_2} = {4 \over 3}\pi {r^3} = {4 \over 3}\pi {.4^3} = {{256} \over 3}\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Thể tích hình lập phương nằm ngoài hình cầu: \(V = {V_1} - {V_2} = 512 - {{256} \over 3}\pi \approx 243,717\left( {c{m^3}} \right)\) Câu 34 trang 171 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Sử dụng các thông tin và hình 107 để trả lời các câu hỏi sau: Mooth đồ chơi “lắc lư” của trẻ em gồm một hình nón gắn với nửa hình cầu (h.107) (chiều cao của hình nón bằng đường tròn đáy). Có hai loại đồ chơi: loại thứ nhất cao 9cm, loại thứ hai cao 18cm a) Tỉ số: \({{thetichdochoiloaithuhai} \over {thetichdochoiloaithunhat}}\) (A) 2 (C) 8 (B) 4 (D) 16 Hãy chọn kết quả đúng. b) Trong các số sau đây: (A) 2 (cm) (C) 4 (cm) (B) 3 (cm) (D) \(4{1 \over 2}\) (cm) Số nào là bán kính đường tròn đáy của đồ chơi loại thứ nhất? c) Trong các số sau đây: (A) \(30\pi \left( {c{m^3}} \right)\) (B) \(36\pi \left( {c{m^3}} \right)\) (C) \(36\pi \left( {c{m^3}} \right)\) (D) \(610\left( {c{m^3}} \right)\) Số nào là thể tích của loại đồ chơi thứ nhất? Giải a) Loại thứ nhất có chiều cao 9cm là bao gồm chiều cao của hình nón và bán kính của hình cầu, mà chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu Suy ra: \(2r + r = 9 \Rightarrow r = 3\left( {cm} \right)\) Chiều cao hình nón: h = 6cm Thể tích hình nón: \({V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}.h = {1 \over 3}\pi {.3^2}.6 = 18\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Thể tích nửa hình cầu: \({V_2} = {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi {.3^3} = 18\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Thể tích loại thứ nhất là \(36\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Loại thứ 2 có chiều cao 18cm là bao gồm chiều cao hình nón và bán kính hình cầu mà chiều cao hình nón bằng đường kính hình cầu. Suy ra: \(2r + r = 18 \Rightarrow r = 6\) Chiều cao hình nón: h = 12cm Thể tích hình nón: \({V_1}' = {1 \over 3}\pi {r^2}.h = {1 \over 3}\pi {.6^2}.12 = 144\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Thể tích nửa hình cầu: \({V_2}' = {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi {r^3} = {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi {.6^3} = 144\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Thể tích loại thứ 2 là: \(288\pi \left( {c{m^3}} \right)\) \({{thetichloaithuhai} \over {thetichloaithunhat}} = {{288\pi } \over {36\pi }} = 8\) Chọn (C) 8 b) Bán kính đường tròn đáy đồ chơi thứ nhất Chọn (B) 3cm c) Thể tích đồ chơi thứ nhất Chọn (B) \(36\pi \left( {c{m^3}} \right)\). Câu 35 trang 172 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Một hình cầu đặt vừa khít vào bên trong một hình tựa như hình 108 (chiều cao của hình trụ bằng độ dài đường kính của hình cầu) thì thể tích của nó bằng \({2 \over 3}\) thể tích hình trụ Nếu đường kính của hình cầu là d (cm) thì thể tích của hình trụ là: (A) \({1 \over 4}\pi {d^3}\left( {c{m^3}} \right)\) (B) \({1 \over 3}\pi {d^3}\left( {c{m^3}} \right)\) (C) \({2 \over 3}\pi {d^3}\left( {c{m^3}} \right)\) (D) \({3 \over 4}\pi {d^3}\left( {c{m^3}} \right)\) Hãy chọn kết quả đúng. Giải Vì bán kính hình cầu bằng bán kính đáy hình trụ, chiều cao hình trụ bằng đường kính hình cầu Khi đường kính hình cầu là d (cm) Thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}.h = \pi .{\left( {{d \over 2}} \right)^2}.d = {1 \over 4}\pi {d^3}\left( {c{m^3}} \right)\) Chọn (A) \({1 \over 4}\pi {d^3}\left( {c{m^3}} \right)\). Câu 36 trang 172 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Chọn dưa hấu. Với hai quả dưa hấu (xem như là 2 hình cầu) một to và một nhỏ, tỉ số các đường kính của chúng là 5: 4, nhưng giá của quả to gấp rưỡi giá của quả nhỏ. Bạn chọn mua quả nào lợi hơn? (xem “chất lượng” của chúng là như nhau) Giải Gọi bán kính quả nhỏ là r thì quả lớn \({5 \over 4}r\) Thể tích quả nhỏ: \(V = {4 \over 3}\pi {r^3}\); Thể tích quả to: \(V = {4 \over 3}\pi {\left( {{5 \over 4}r} \right)^3}\) Tỉ số 2 thể tích: \({4 \over 3}\pi {r^3}{\left( {{5 \over 4}} \right)^3}:{4 \over 3}\pi {r^3} = {\left( {{5 \over 4}} \right)^3} = {{125} \over {64}}\) Mua quả to lợi hơn vì thể tích gần gấp đôi mà giá tền chỉ gấp rưỡi. Câu 37 trang 173 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Đổ đầy nước vào một dụng cụ để đong có dạng hình nón, sau đó đổ hết lượng nước đó vào một hình trụ có bán kính đáy của hình nón và chiều cao bằng chiều cao của hình nón. Việc làm này lặp lại cho đến khi hình trụ đó đầy nước thì số lần múc đầy vào hình nón là: (A) 1 (C) 3 (B) 2 (D) 4 Hãy chọn kết quả đúng. Giải Hình trụ và hình nón có cùng bán kính và chiều cao Thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}.h\) Thể tích hình nón: \(V = {1 \over 3}\pi {r^2}.h\) Chọn (C) 3 (lần) Câu 38 trang 173 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Một khối gỗ dạng một hình trụ đứng, bán kính đường tròn đáy là r (cm), chiều cao 2r (cm), người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 109 Như vậy diện tích toàn bộ của khối gỗ là: (A) \(4\pi {r^2}\left( {c{m^2}} \right)\) (B) \(6\pi {r^2}\left( {c{m^2}} \right)\) (C) \(8\pi {r^2}\left( {c{m^2}} \right)\) (D) \(10\pi {r^2}\left( {c{m^2}} \right)\) Hãy chọn kết quả đúng. Giải Diện tích toàn bộ khối gỗ bằng diện tích xung quanh hình trụ cộng với diện tích hai nửa mặt cầu Diện tích xung quanh hình trụ: \({S_{xq}} = 2\pi r.h = 2\pi r.2r = 4\pi {r^2}\left( {c{m^2}} \right)\) Diện tích hai nửa mặt cầu: \(S = 4\pi {r^2}\left( {c{m^2}} \right)\) Chọn (C) \(8\pi {r^2}\left( {c{m^2}} \right)\) Câu 39 trang 173 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Với một cái thước dây, liệu có thể xác định được thể tích của một vật thể có dạng hình cầu hay không? Giải Dùng thước dây tạo ra đường tròn đặt vừa khít hình cầu, ta có độ dài của đường tròn lớn hơn là \(C \Rightarrow r = {C \over {2\pi }}\) Thể tích: \(V = {4 \over 3}\pi {\left( {{C \over {2\pi }}} \right)^3} = {4 \over 3}\pi .{{{C^3}} \over {8{\pi ^3}}} = {{{C^3}} \over {6{\pi ^2}}}\) Câu 40 trang 173 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Chiều cao của một hình trụ gấp ba lần bán kính đáy của nó. Tỉ số của thể tích hình trụ này và thể tích của hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của hình trụ là: (A) \({4 \over 3}\) (C) \({3 \over 1}\) (B) \({9 \over 4}\) (D) \({4 \over 9}\) Hãy chọn kết quả đúng. Giải Thể tích của hình trụ: \({V_1} = \pi {r^2}.h = \pi {r^2}.3r = 3\pi {r^3}\) Thể tích của hình cầu: \({V_2} = {4 \over 3}\pi {r^3}\) Ta có: \({V_1}:{V_2}\) Chọn (B) \({9 \over 4}\) Câu 41 trang 173 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Một hình cầu đường kính d (cm) được đặt vào trong một hình trụ có chiều cao là 1,5d (cm) như hình 110. Xét các phân số sau đây (A) \({2 \over 3}\) (C) \({2 \over 9}\) (B) \({4 \over 9}\) (D) \({1 \over 3}\) Đâu là tỉ số \({{{V_{cau}}} \over {{V_{tru}}}}\) Giải Thể tích của hình trụ: \({V_1} = \pi {r^2}.h = \pi {r^2}.3r = 3\pi {r^3}\) Thể tích của hình cầu: \({V_2} = {4 \over 3}\pi {r^3}\) Thể tích của hình cầu: \({V_2} = {4 \over 3}\pi {r^3} = {4 \over 3}\pi {\left( {{d \over 2}} \right)^3} = {4 \over 3}\pi .{{{d^3}} \over 8} = {1 \over 6}\pi {d^3}\) Ta có: \({V_2}:{V_1}\) Chọn (B) \({4 \over 9}\)
