Câu 42 trang 174 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Độ dài các cạnh của một tam giác ABC vuông tại A, thỏa mãn các hệ thức sau: BC = AB + 2a (1) \(AC = {1 \over 2}\left( {BC + AB} \right)\) (2) a là một độ dài cho trước a) Tính theo a, độ dài các cạnh và chiều cao AH của tam giác b) Tam giác ABC nội tiếp được trong nửa hình tròn tâm O. Tính diện tích của phần thuộc nửa đường tròn nhưng ở ngoài tam giác đó c) Cho tam giác ABC quay một vòng quanh cạnh huyền BC. Tính tỉ số diện tích giữa các phần do các dây cung AB và AC tạo ra Giải a) Đặt độ dài cạnh AB = x; điều kiện: x > 0 Theo bài ra theo điều (1) ta có: BC = x + a (3) Từ (2) và (3) \( \Rightarrow AC = {1 \over 2}\left( {x + 2a + x} \right) = x + a\) \(\Delta ABC\) vuông tại A, theo định lí Pitago ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2}\) \(\eqalign{ & \Rightarrow {\left( {x + 2a} \right)^2} = {x^2} + {\left( {x + a} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 4ax + 4{a^2} = {x^2} + {x^2} + 2ax + {a^2} \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 2ax - 3{a^3} = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 2a} \right)^2} - 4.1\left( { - 3{a^2}} \right) = 4{a^2} + 12{a^2} = 16{a^2} > 0 \cr & \Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt {16{a^2}} = 4a \cr & {x_1} = {{2a + 4a} \over {2.1}} = {{6a} \over 2} = 3a \cr & {x_2} = {{2a - 4a} \over {2.1}} = - a \cr} \) Vì x > 0 \( \Rightarrow {x_2} = - a\) (loại) Vậy cạnh AB = 3a; AC = 3a + a = 4a; BC = 3a + 2a =5a AH.BC = AB.AC \( \Rightarrow {\rm A}{\rm H} = {{AB.AC} \over {BC}} = {{3a.4a} \over {5a}} = {{12a} \over 5}\) b) Diện tích của \(\Delta ABC\): \({S_1} = {1 \over 2}AB.AC = {1 \over 2}.3a.4a = 6{a^2}\) (đơn vị diện tích) \(\Delta ABC\) nội tiếp trong (O) bán kính đường tròn: \(R = {{BC} \over 2} = {{5a} \over 2}\) Diện tích nửa hình tròn: \({S_2} = {1 \over 2}\pi .{r^2} = {1 \over 2}\pi .{\left( {{{5a} \over 2}} \right)^2} = {{25\pi {a^2}} \over 8}\) Phần diện tích nửa hình tròn nằm ngoài tam giác: \(S = {S_2} - {S_1} = {{25\pi {a^2}} \over 8} - 6{a^2} = {{{a^2}} \over 8}\left( {25\pi - 48} \right)\) c) Khi quay \(\Delta ABC\) một vòng quanh cạnh BC thì AB và AC vạch nên hai hình nón có bán kính đáy là AH. Diện tích phần do dây cung AB tạo ra: \({S_1} = \pi .AH.AB = \pi .AH.3a\) Diện tích phần do dây cung cung AC tạo ra \(\eqalign{ & {S_2} = \pi .AH.AC = \pi AH.3a \cr & {{{S_1}} \over {{S_2}}} = {{\pi .AH.3a} \over {\pi .AH.4a}} = {3 \over 4} \cr} \) Câu 43 trang 174 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Với một hình nón có bán kính đường tròn đáy là r (cm) và chiều cao 2r (cm) và một hình cầu bán kính r (cm). Hãy tính: a) Diện tích mặt cầu, biết diện tích toàn phần của hình nón là 21,06 \(\left( {c{m^2}} \right)\) b) Thể tích hình nón, biết thể tích hình cầu là 15,8 \(\left( {c{m^3}} \right)\) Giải a) Đường sinh của hình nón: \(\eqalign{ & A{B^2} = A{H^2} + B{H^2} = 4{r^2} + {r^2} = 5{r^2} \cr & AB = r\sqrt 5 \cr} \) Diện tích toàn phần hình nón: \(\eqalign{ & {S_{TP}} = {S_{xq}} + {S_{day}} = \pi .r.r\sqrt 5 + \pi {r^2}\left( {\sqrt 5 + 1} \right) \cr & {S_{TP}} = 21,06 \Rightarrow \pi {r^2}\left( {\sqrt 5 + 1} \right) = 21,06 \cr & \Rightarrow {r^2} = {{21.06} \over {\pi \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} \cr} \) Diện tích mặt cầu: \(\eqalign{ & S = 4\pi {r^2} \cr & S = 4\pi .{{21,06} \over {\pi \left( {\sqrt 5 + 1} \right)}} = 21.06\left( {\sqrt 5 - 1} \right) \approx 26,03\left( {c{m^2}} \right) \cr} \) b) Thể tích hình cầu: \(V = {4 \over 3}\pi {r^3}\) Thể tích bằng \(15,8c{m^3} \Rightarrow {4 \over 3}\pi {r^3} = 47,4 \Rightarrow {r^3} = {{47,4} \over {4\pi }} = {{23,7} \over {2\pi }}\) Thể tích hình nón: \(\eqalign{ & V = {1 \over 3}\pi {r^2}.h = {1 \over 3}\pi {r^2}.2r = {2 \over 3}\pi {r^3} \cr & \Rightarrow V = {2 \over 3}\pi .{{23,7} \over {2\pi }} = {{23,7} \over 3} = 7,9\left( {c{m^3}} \right) \cr} \) Câu 44 trang 174 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Một cái hộp hình trụ được làm ra sao cho một quả bóng hình cầu đặt vừa khít vào hộp đó (h.111) Tỉ số \({{{V_{cau}}} \over {{V_{tru}}}}\) là: (A) \({3 \over 4}\) (C) \({3 \over 2}\) (B) \({4 \over 3}\) (D) \({2 \over 3}\) Hãy chọn kết quả đúng. Giải Hình cầu đặt khít trong hình trụ nên bán kính hình cầu bằng bán kính đáy hình trụ, chiều cao hình trụ bằng đường kính hình cầu Thể tích hình trụ: \({V_1} = \pi .{r^2}.h = \pi {r^2}.2r = 2\pi {r^3}\) Thể tích hình cầu: \({V_2} = {4 \over 3}\pi {r^3}\) \({V_2}:{V_1}\) Chọn (D) \({2 \over 3}\) Câu 45 trang 174 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Một hình trụ được “đặt khít” vào bên trong một hình cầu bán kính r = 12cm như hình 112. Hãy tính: a) Diện tích xung quanh của hình trụ, biết chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy của nó. b) Thể tích hình cầu. c) Diện tích mặt cầu. Giải a) Đường chéo mặt cắt hình trụ đi qua trục là đường kính của hình cầu. Hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy bằng \(12\sqrt 2 \left( {cm} \right)\) Diện tích xung quanh hình trụ: \(\eqalign{ & {S_{xq}} = 2\pi r.h \cr & {S_{xq}} = \pi .12\sqrt 2 .12\sqrt 2 = 288\pi \left( {c{m^2}} \right) \cr} \) b) Thể tích hình cầu: \(V = {4 \over 3}\pi {.12^3} = 2304\left( {c{m^3}} \right)\) c) Diện tích mặt cầu: \(S = 4\pi {.12^2} = 576\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Câu 46 trang 175 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Cho bán kính của Trái Đất và Mặt Trăng tương ứng là 6371 và 1738 kilomet. Trong các số sau đây, số nào là tỉ số thể tích giữa Trái Đất và Mặt Trăng? (A) 3.67 (C) 15,63 (B) 4,93 (D) 49,26 Giải Thể tích trái đất: \({V_1} = {4 \over 3}\pi {.6371^3}\) Thể tích của mặt trăng: \({V_2} = {4 \over 3}\pi {.1738^3}\) \({V_1}:{V_2} = {{{{6371}^3}} \over {{{1738}^3}}} = {\left( {{{6371} \over {1738}}} \right)^3} \approx 49,26\) Chọn (D) 49,26 Câu 47 trang 175 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Với nửa hình cầu bán kính r và một hình trụ có bán kính đường tròn đáy và chiều cao đều bằng h a) Khi r = 12 (cm) và thể tích hai hình bằng nhau thì giá trị h (cm) làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất là bao nhiêu? b) Khi h = 12 (cm) và tổng diện tích nửa mặt cầu và diện tích “hình tròn đáy” gấp ba lần diện tích toàn phần của hình trụ thì r (cm) bằng bao nhiêu? Giải a) Thể tích nửa hình cầu bán kính 12 cm là: \(V = {1 \over 2}.{4 \over 3}\pi {.12^3} = 1152\pi \left( {c{m^3}} \right)\) Bán kính đáy hình trụ: \(r = {h \over 2}\) Thể tích hình trụ: \(V = \pi {r^2}.h\) \(\eqalign{ & V = \pi .{\left( {{h \over 2}} \right)^2}.h = {1 \over 4}\pi .{h^3} \cr & \Rightarrow {1 \over 4}\pi .{h^3} = 1152\pi \cr & \Rightarrow {h^3} = 4608 \cr & h = \root 3 \of {4608} \approx 16,64\left( {cm} \right) \cr} \) Câu 48 trang 175 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Hình bên (h.113) gồm một hình nón được đặt khít vào bên trong một cốc hình trụ, chúng có cùng đáy, cùng chiều cao. Người ta đổ vào đó một lượng nước lên đến một nửa chiều cao của hình. (Giả sử rằng nước không rò rỉ, không thẩm thấu vào bên trong hình nón) Hãy chọn đúng tỉ số giữa các đoạn thẳng \({{QR} \over {XY}}\) (A) \({1 \over 2}\); (B) \({1 \over 3}\); (C) \({2 \over 3}\) (D) Không tính được, vì câu hỏi phụ thuộc vào bán kính đáy. Giải Vì hình trụ và hình nón có cùng chiều cao, người ta đổ nước lên đến nửa chiều cao của hình nên Q là trung điểm của xz, R là trung điểm của yz Nên \({{QR} \over {XY}} = {1 \over 2}\) Chọn (A) \({1 \over 2}\). Câu 49 trang 175 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2. Hai cái lọ có dạng hình trụ, các kích thước như ở hình 114. Lọ nào có dung tích lớn hơn? Giải Thể tích của hình trụ có bán kính đáy là r \({V_1} = \pi {r^2}.3h = 3\pi {r^2}h\) (đơn vị thể tích) Thể tích của hình trụ có bán kính đáy 2r \({V_2} = \pi {\left( {2r} \right)^2}.h = 4\pi {r^2}h\) (đơn vị thể tích) Dung tích hình trụ cao nhỏ hơn dung tích hình trụ thấp.
Câu IV.1 trang 176 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Một bể nước hình trụ có bán kính đáy là 0,8 m và chiều cao là 1,2 m. Người ta muốn làm một bể nước hình trụ mới có thể tích gấp 2 lần bể nước cũ. Bạn An nói: Bể nước mới cần có bán kính dài gấp 2 lần bán kính bể nước cũ. Bạn Ngọc nói: Bể nước mới cần có chiều cao gấp lần chiều cao của bể nước cũ. Bạn Vân nói: Bể nước mới cần có cả chiều cao và bán kính đáy tương ứng gấp 2 lần chiều cao và bán kính đáy của bể nước cũ. Theo em, bạn nào nói đúng, tại sao? Giải Thể tích hình trụ có bán kính r và đường cao h có thể tích: \(V = \pi {r^2}.h\) - Nếu tăng gấp đôi bán kính thì thể tích trụ là \({V_1} = \pi {\left( {2r} \right)^2}h = 4\pi {r^2}h = 4V\) - Nếu tăng gấp đôi chiều cao thì thể tích hình trụ là: \({V_2} = \pi {r^2}.2h = 2\pi {r^2}h = 2V\) - Nếu tăng gấp đôi bán kính và chiều cao thì thể tích hình trụ là: \({V_3} = \pi {\left( {2r} \right)^2}.2h = 8\pi {r^2}h = 8V\) Vậy bạn Ngọc nói đúng. Câu IV.2. trang 176 sách bài tập toán 9 tập 2 Quan sát hình trụ ở hình bs.30 rồi điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau (lấy $\pi = 3,14\)) r6.............12......h158............26Diện tích một đáy......706,578,5............Diện tích xung quanh............439,6............Diện tích toàn phần.......................973,4Thể tích.................9043,2.......Giải r6155125h158142026Diện tích một đáy113,04706,578,5452,1678,5Diện tích xung quanh565,2753,6439,61507,2816,4Diện tích toàn phần791,282166,6596,62411,52973,4Thể tích1695,6565210999043,22041 Câu IV.3 trang 176 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Thể tích của một hình nón thay đổi thế nào nếu: a) Gấp đôi chiều cao của hình nón b) Gấp đôi bán kính của hình nón c) Gấp đôi cả chiều cao và bán kính đáy của hình nón Giải Hình nón có bán kính đáy r, chiều cao h, có thể tích: \(V = {1 \over 3}\pi {r^2}h\) a) Nếu gấp đôi chiều cao thì thể tích hình nón là: \({V_1} = {1 \over 3}\pi {r^2}\left( {2h} \right) = 2.{1 \over 3}\pi {r^2}h = 2V\) b) Nếu gấp đôi bán kính thì thể tích hình nón là: \({V_2} = {1 \over 3}\pi {\left( {2r} \right)^2}.h = 4.{1 \over 3}\pi {r^2}h = 4V\) c) Nếu gấp đôi cả bán kính và chiều cao thì hình nón có thể tích là: \({V_3} = {1 \over 3}\pi {\left( {2r} \right)^2}.2h = 8.{1 \over 3}\pi {r^2}h = 8V\) Câu IV.4 trang 177 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Thể tích và diện tích của hình cầu thay đổi thế nào nếu bán kính hình cầu: a) Tăng gấp 2 lần? b) Tăng gấp 3 lần? c) Giảm đi 2 lần? Giải Hình cầu có bán kính R có thể tích: \(V = {4 \over 3}\pi {R^3}\) và diện tích: \(S = 4\pi {R^2}\) a) Nếu tăng bán kính gấp 2 lần thì Thể tích hình cầu: \({V_1} = {4 \over 3}\pi {\left( {2R} \right)^3} = 8.{4 \over 3}\pi {R^3} = 8V\) Diện tích hình cầu: \({S_1} = 4\pi {\left( {2R} \right)^2} = 4.4\pi {R^2} = 4S\) b) Nếu tăng bán kính gấp 3 lần thì Thể tích hình cầu: \({V_2} = {4 \over 3}\pi {\left( {3R} \right)^3} = 27.{4 \over 3}\pi {R^3} = 27V\) Diện tích hình cầu: \({S_2} = 4\pi {\left( {3R} \right)^2} = 9.4\pi {R^2} = 9S\) c) Nếu giảm bán kính đi 2 lần thì Thể tích hình cầu là: \({V_3} = {4 \over 3}\pi {\left( {{R \over 2}} \right)^3} = {1 \over 8}.{4 \over 3}\pi {R^3} = {1 \over 8}V\) Diện tích hình cầu là: \({S_3} = 4\pi {\left( {{R \over 2}} \right)^2} = {1 \over 4}.4\pi {R^2} = {1 \over 4}S\) Câu IV.5 trang 177 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Quan sát hình nón ở hình bs.31 rồi điền số thích hợp và các ô trống trong bảng sau (lấy \(\pi = 3,14)\)) r.............8............h35.......64,5......l375..................Diện tích xung quanh.........................6735,3Diện tích toàn phần......75,36............10154,76Thể tích..................169,56.......Giải r1238633h35464,556l375107,565Diện tích xung quanh1394,1647,1251,2141,36735,3Diện tích toàn phần1846,3275,36452,16254,3410154,76Thể tích5275,237,68401,92169,5663829,92Câu IV.6 trang 177 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2 Quan sát hình cầu ở hình bs.32 rồi điền số thích hợp vào các ô trống trong bảng sau (lấy \(\pi = 3,14)\)) R4........................d......12..................Độ dài đường tròn lớn........................15,7Diện tích............78,5............Thể tích..................904,32......Giải R462,562,5d8125125Độ dài đường tròn lớn25,1237,6815,737,6815,7Diện tích200,96452,1678,5452,1678,5Thể tích267,95904,3265,42904,3265,42
