Tóm tắt lý thuyết 1. Tập hợp các số nguyên \(\mathbb{Z} = {\rm{\{ }}\underbrace {...{\rm{; - 3; - 2; - 1;}}}_{nguyen\,\,am}\underbrace {{\rm{0;}}}_{so\,\,0}\underbrace {{\rm{1;2;3;}}...}_{nguyen\,\,duong}{\rm{\} }}\) -3; -2; -1 là các số nguyên âm 1, 2, 3 là các số nguyên dương (các số tự nhiên khác 0) Số 0 là số nguyên không dương, không âm. Trục ngang biểu diễn các số nguyên -1 và 1 là hai số đối nhau Tổng quát: a và –a là hai số đối nhau. Hai điểm biểu diễn hai số đối nhau đối xứng nhau qua điểm 0. Chú ý: + \(N \subset \mathbb{Z}\). Đặc biệt \(N = {\mathbb{Z}_ + }\) (các số nguyên dương). + Các số \(a \ge 0\) gọi là các số không âm. a > 0 là số dương. + Các số \(a \le 0\) gọi là các số không âm. a < 0 là số âm. Thứ tự trong \(\mathbb{Z}\) - Mọi số không âm đều lớn hơn mọi số âm. 1 > - 1000; 0 > - 2012 - Số nguyên a bé hơn số nguyên b (a < b) thì điểm biểu diễn số a nhằm bên trái điểm biểu diễn số b trên trục số. Giá trị tuyệt đối của số nguyên \(\left| A \right| = \left\{ \begin{array}{l}A\,\,neu\,\,A\, \ge 0\\ - A\,neu\,\,A\, < 0\end{array} \right.\) \(A\,\,neu\,\,A\, \ge 0\) (tức giá trị tuyệt đối của số dương là chính nó) - A nếu A< 0 (giá trị tuyệt đối của số âm là số đối của nó) Chú ý: Giá trị tuyệt đối của một số a bao giờ cũng là số không âm. Viết: |+3| = -|3| = 3: Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau. |x| = -1 vô nghĩa. \(\left| a \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}4 \Rightarrow a = \pm 4\) Đặc biệt |0| = 0 Ví dụ 1: Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) sao cho: a) -4 < x < 2 b) -2 < x < 2 c) |x| < 3 d) -3 < |x| \( \le 4\) e) |x| > 5. Giải a) \(x \in {\rm{\{ - 3; - 2; - 1;0;1\} }}\) b) \(x \in {\rm{\{ }} - 1;0;1\} \) c) \(|x|\,\, < \,\,3 \Rightarrow - 3 < x < 3 \Rightarrow x \in {\rm{\{ }} - 2; - 1;0;1;2\} .\) d) \( - 3 < \,\,|x|\,\, \le 4\,\, \Rightarrow \,x \in {\rm{\{ }} - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4\} \) e) \(|x|\,\,\, > 5 \Rightarrow x \in {\rm{\{ }}...{\rm{; - 8; - 7; - 6;6;7;8;}}...{\rm{\} }}\) Ví dụ 2: Tìm \(x \in \mathbb{Z}\) sao cho: a) |x| = 9 và x < 0 b) |x| = 5 c) |x| = -12 d) |x| = |-2012| Giải a) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}9 \Rightarrow x = \pm 9\) kết hợp với x < 9 , ta suy ra x = - 9. b) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}5 \Rightarrow x = \pm 5\) c) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }} - 12 \Rightarrow x = \emptyset \,\,\)vì \(|x|\,\, \ge \,\,0\) với mọi \(x \in \mathbb{Z}\) d) \(\left| x \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| { - 2012} \right| = |2012|\, \Rightarrow x = \pm 2012.\) Ví dụ 3: Tính a) (|-24| : |-8|) – 1 b) (|1440| : |-32|) : |-5|. Giải a) |-24| = 24, |-8| = 8 nên (|-24| : |-8|) – 1 = (24 : 8) – 1 = 3 – 1 = 2. b) (|1440| : |-32|) : |-5| = (1440 : 32) : 5 = 45 : 5 = 9. Bài tập minh họa Bài 1: Tìm \(x,{\rm{ }}y \in \mathbb{Z}\) sao cho a) |x| + |y| = 4. b) \(\left| x \right|{\rm{ }} + {\rm{ }}\left| y \right|\,\,\, \le \,\,2\) Giải a) Vì |x| + |y| = 4 \( \Rightarrow \,\,|x|\,\, \le 4;\,\,|y|\,\,\, \le \,\,4.\) Suy ra \(x \in {\rm{\{ }} - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4{\rm{\} }}\) và \(y \in {\rm{\{ }} - 4; - 3; - 2; - 1;0;1;2;3;4{\rm{\} }}\) Kết hợp |x| + |y| = 4 ta suy ra các cặp x, y như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = \pm 4\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 4\\y = 0\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = \pm 2\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\y = \pm 2\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\y = \pm 3\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}x = \pm 3\\y = \pm 1\end{array} \right.\) b) \(|x|\,\, \le \,\,2;\,|y|\,\, \le \,\,2.\) Bài 2: Chứng tỏ với mọi \(a \in \mathbb{Z}\), ta luôn có: a) \(|a| + a \ge 0\) b) \(|a| - a \ge 0.\) Giải a. Vì \(|a| = \left\{ \begin{array}{l}a\,\,neu\,\,a\, > \,0\\ - a\,\,neu\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\) nên \(|a| = \pm a.\) Suy ra \( \pm a + a = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,khi\,\,a\,\, < 0\\2a\,\,khi\,\,a \ge 0\end{array} \right.\) tức \(|a|\,\, + \,\,a\,\, \ge 0.\) b. \(|a|\,\, - \,\,a\,\, = \left\{ \begin{array}{l}0\,\,khi\,\,a \ge 0\\ - 2a\,\,khi\,\,a\,\, < \,\,0\end{array} \right.\) Vậy \(|a|\,\, - \,\,a\,\, \ge 0\) với mọi \(a \in \mathbb{Z}\). Bài 3: a) Tìm x để |x - 1| + 2012 đạt giá trị nhỏ nhất. b) Tìm x, y \( \in \mathbb{Z}\) biết rằng \(|x| + |y|\,\, \le 0\) Giải a) Vì \(|x - 1| + 2012 \ge 2012\) nên |x – 1| + 2012 nhỏ nhất là 2012. Lúc đó x = 1. b) x, y \( \in \mathbb{Z}\) thì \(|x|\,\, \in \,\,\mathbb{N},\,|y|\,\, \in \,\,\mathbb{N}\) nên \(|x|\,\, + \,|y|\,\, \ge 0\) Theo đề bài \(|x|\,\, + \,\,|y|\,\, \le 0\) nên x = 0, y = 0.
