Tóm tắt lý thuyết 1. Số nguyên tố - Hợp số Ví dụ 1: Số 7 chỉ có hai ước là 1 và 7, khi đó ta nói 7 là số nguyên tố. Số 6 có các ước số là 1, 2, 3, 6, khi đó ta nói 6 là hợp số. Như vậy, ta có định nghĩa: Cho một số tự nhiên a > 1 a được gọi là số nguyên tố nếu Ư(a) = {1, a} (không có ước nào ngoài 1 và chính nó) a được gọi là hợp số nếu Ư(a) = {1,…,a) (có nhiều hơn 2 ước) Chú ý: Ta cần chú ý rằng: - Số 0 và số 1 không phải là số nguyên tố cũng không phải hợp số. - Số nguyên tố nhỏ nhất là số 2 và là số nguyên tố chẵn duy nhất. Để chứng minh a là một số nguyên tố, ta chỉ cần chỉ ra được nó không chia hết cho mọi số nguyên tố có bình phương nhỏ hơn a. Tổng quát: Số nguyên tooso khác 2 và 3 đều có dạng: \(6n \pm 1\) với \(n \in {N^*}\) 2. Phân tích một số ra thừa số nguyên tố Ta có định nghĩa công việc: Phân tích một số tự nhiên lớn hơn 1 ra thừa số nguyên tố là viết số đó dưới dạng một tích các thừa số nguyên tố. Mọi hợp số đều phân tích được ra thừa số nguyên tố và cách phân tích này là duy nhất. Ví dụ 2: Phân tích số 30 ra thừa số nguyên tố: 60 2 30 2 15 3 5 4 1 Suy ra \(60{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.5{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{.3^1}{.5^1}\) Như vậy, số 30 đã được phân tích ra thừa số nguyên tố. Từ ví dụ trên ta có một số nhận xét sau: Khi viết, các thừa số nguyên tố được sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Ư(60)={2,3,5,6 =2.3.10=2.5.12=23 .3.15 = 3.5.20=22.5.30=2.3.5.60=22.3.5} Số 60 có: (2+1)(1+1)(1+1)=3.2.2=12 (ước số) Nhận xét: 1. Dạng phân tích ra thừa số nguyên tố của mỗi số nguyên tố là chính số đó. 2. Nếu số A được phân tích dưới dạng: \(A = {a^m}.{b^n}.{c^p}...\) Trong đó a, b, c là các số nguyên tố, thì A có tất cả: (m+1)(n+1)(p+1)… Ước số Ví dụ 3: Cho số 420 a. Phân tích 420 ra thừa số nguyên tố. b. Số 420 có tất cả bao nhiêu ước số. c. Liệt kê tất cả các ước đó. Giải a. Ta có: \(420 = {2^2}.3.5.7\) b. Số các ước số của 420 là: (1+2)(1+1)(1+1)(1+1)=24 (ước) c. Ta liệt kê trình tự theo 4 bước sau: B1: 420 có các ước là: \(1,2,{2^2}\) (1) B2: Nhân các số hạng của dãy số (1) với 3, ta được dãy: 3, 6, 12 (2) B3: Nhân các số hạng của dãy (1) (2) với 5, ta được dãy: 5, 10, 20, 15, 30, 60 (3) B4: Nhân các số hạng của dãy (1) (2) (3) với 7, ta được dãy: 7, 14, 28, 21, 42, 84, 53, 70, 170, 105, 210, 420 (4) Vậy ta có đủ 24 ước của 420: 1 2 3 4 5 6 7 10 12 14 15 20 21 28 30 42 53 60 70 84 105 140 210 420 Bài tập minh họa Bài 1: Chứng minh rằng các số sau đây là hợp số: a. \({12^{11}} + {13^{17}} + {17^{19}}\) b. \(1 + {23^{23}} + {29^{29}} + {25^{125}}\) c. \({45^{25}} + {37^{15}}\) d. \({95^{354}} + {51^{25}}\) Giải Chứng minh rằng chữ số tận cùng trong luỹ thừa chia hết cho 2. a. Khi đó \({12^{11}} + {13^{17}} + {17^{19}}\) có chữ số tận cùng là 8 b. Khi đó \(1 + {23^{23}} + {29^{29}} + {25^{125}}\) có chữ số tận cùng là 4 c. Khi đó \({45^{25}} + {37^{15}}\) có chữ số tận cùng là 2 d. Khi đó \({95^{354}} + {51^{25}}\)có chữ số tận cùng là 6. Bài 2: Trong một phép chia, số bị chia bằng 99, số dư bằng 8. Tìm số chia và thương. Giải Giả sử 99 = a . x + 8 (với a là số chia, x là thương, a > 8) \( \Rightarrow \) a . x = 91. Suy ra, a phải là ước của 91 và a > 8 Phân tích ra thừa số nguyên tố, ta được: 91 = 13 . 7 Vậy ta có hai đáp số * Số chia bằng 13, thương bẳng 7 99 = 13 . 7 + 8 * Số chia bằng 91, thương bằng 1 99 = 91 . 1 + 8. Bài 3: Tìm số tự nhiên n thoả mãn: n, n + 2, n + 6 đều là số nguyên tố. Giải Từ giả thiết: n là số nguyên tố Suy ra: n = 3 hoặc n = 5 Với n = 3 suy ra n + 6 = 3 + 6 = 9 (không phải là số nguyên tố) Với n = 5 ta được: n = 5 suy ra n + 2 = 7, n + 6 = 11 (đều là số nguyên
