LTTK TEZ giới thiệu đến bạn đọc bài viết tìm m để hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng xác định thuộc chương trình Toán 12. 1. Phương pháp Nếu $y = f(x,m) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d$ $(a \ne 0)$, $y’ = f'(x,m) = 3{a^2}{x^2} + 2bx + c$ có biệt thức $\Delta .$ + Hàm số đồng biến trên $R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a > 0}\\ {\Delta \le 0} \end{array}} \right. .$ + Hàm số nghịch biến trên $R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a < 0}\\ {\Delta \le 0} \end{array}} \right. .$ Nếu $y = f(x,m) = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}$ có $y’ = f'(x,m) = \frac{{ad – bc}}{{{{(cx + d)}^2}}}.$ + Hàm số đồng biến trên $D$ $ \Leftrightarrow y’ = f'(x,m) > 0$, $\forall x \in D \Leftrightarrow ad – bc > 0.$ + Hàm số nghịch biến trên $D$ $ \Leftrightarrow y’ = f'(x,m) < 0$, $\forall x \in D \Leftrightarrow ad – bc < 0.$ 2. Một số bài toán minh họa Bài toán 1: Tìm tham số $m$ để hàm số: $y = {x^3} – 3{x^2} + 3(m + 2)x + 3m – 1$ đồng biến trên $R.$ Hàm số đã cho xác định trên $D = R.$ Ta có: $y’ = 3{x^2} – 6x + 3(m + 2)$ có $\Delta ‘ = 9 – 9(m + 2).$ Hàm số đồng biến trên $R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a > 0}\\ {\Delta ‘ \le 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3 > 0}\\ {9 – 9(m + 2) \le 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m \ge – 1.$ Kết luận: $m \ge – 1$ thì hàm số đồng biến trên $R.$ Bài toán 2: Tìm tham số $m$ để hàm số: $y = – {x^3} + 3{x^2} + 3\left( {{m^2} – 1} \right)x – 3{m^2} – 1$ nghịch biến trên $R.$ Hàm số đã cho xác định trên $D=R.$ Ta có: $y’ = – 3{x^2} + 6x + 3\left( {{m^2} – 1} \right)$ có $\Delta ‘ = 9 + 3.3\left( {{m^2} – 1} \right) = 9{m^2}.$ Hàm số luôn giảm trên $R \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a < 0}\\ {\Delta ‘ \le 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = – 3 < 0}\\ {\Delta ‘ = 9{m^2} \le 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow m = 0.$ Kết luận: $m = 0$ thì hàm số nghịch biến trên $R.$ Bài toán 3: Tìm tham số $m$ để hàm số: $y = \frac{1}{3}(3 – m){x^3} – (m + 3){x^2} + (m + 2)x – 3$ luôn tăng trên $R.$ Hàm số đã cho xác định trên $D = R.$ Xét $a = 3 – m = 0 \Leftrightarrow m = 3$ khi đó $a \ne 0$ loại $m = 3$ vì hàm số bậc $2$ với hệ số $a \ne 0$ không đồng biến hoặc không nghịch biến trên $R.$ Xét $a = 3 – m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 3.$ Ta có: $y’ = (3 – m){x^2} – 2(m + 3)x + (m + 2)$ có $\Delta ‘ = {(m + 3)^2} – (3 – m)(m + 2)$ $ = 2{m^2} + 5m + 3.$ Hàm số luôn tăng trên $R$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {a = 3 – m > 0}\\ {\Delta ‘ = 2{m^2} + 5m + 3 \le 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {m < 3}\\ { – \frac{3}{2} \le m \le – 1} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow – \frac{3}{2} \le m \le – 1.$ Kết luận: $ – \frac{3}{2} \le m \le – 1$ thì hàm số luôn tăng trên $R.$ Bài toán 4: Tìm tham số m để hàm số: $y = \frac{{mx – 2}}{{x – m + 1}}$ nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. Hàm số đã cho xác định trên: $D = R\backslash \{ m – 1\} .$ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định $ \Leftrightarrow y’ = \frac{{ – {m^2} + m + 2}}{{{{(x – m + 1)}^2}}} < 0$, $\forall x \ne m – 1$ $ \Leftrightarrow – {m^2} + m + 2 < 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {m < – 1}\\ {m > 2} \end{array}} \right. .$ Kết luận: $m \in ( – \infty ; – 1) \cup (2; + \infty )$ thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
